重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题.doc

- 1 - 2015-2016 学年度杨家坪中学高 2017 级期中考试 数 学 试 题 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．直线 1 0x y   不经过的象限是( ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．已知圆 C：x2＋y2＋mx－4＝0 上存在两点关于直线 x－y＋3＝0 对称，则实数 m 的值为( ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 3．直线 被圆 所截得的弦长为( ) A. B.1 C. D. 4．已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积 为（ ） A. 32 3  B 4 3  C. 2 D. . 4 5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等 腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ） A. B.4 C. D.2 6.在正三棱柱 中，若 ，则点 A 到平面 的距离为（ ） A． B． C． D． 7．已知四棱锥 S－ABCD 的所有棱长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成的角的正弦值为( ) A． B． C． D． 8．设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直线 xsinA+ay+c=0 与直线 bx﹣ysinB+sinC=0 的位置关系是（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 9．．直线 ax＋by＋c＝0 与圆 x2＋y2＝9 相交于两点 M、N，若 c2＝a2＋b2，则OM  · ON  (O 为 坐标原点)等于( ) A．－7 B．－14 C．7 D．14 10．曲线 24 1( 2 2)y x x      与直线 2 4y kx k   有两个不同的交点时，实数 k 的- 2 - 取值范围是 （ ） （A） 5 3( , ]12 4 (B) 5( , )12  (C) 1 3( , )3 4 (D) 5 3( , ) ( , )12 4    11．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 为线段 1AD 上一动点，点Q 为底面 ABCD内 （含边界）一动点， M 为 PQ 的中点，点 M 构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为 （ ） A 棱柱 B 棱锥 C 棱台 D 球 12．(文科做)已知圆    2 2: 3 4 1C x y    和两点  ,0A m ，    ,0 0B m m  ，若圆C 上存在点 P ，使得 90APB   ，则 m 的最大值为（ ） A． 7 B．6 C．5 D． 4 12.（理科做）如果直线  2 14 0 0, 0ax by a b     和函数    1 1 0, 1xf x m m m    的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆    2 21 2 25x a y b      的内部或圆上， 那么 b a 的取值范围是（ ） A．      3 4 4 3 ， B．     3 4 4 3 ， C．     3 4 4 3 ， D．      3 4 4 3 ， 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．直线 1 0x y   的倾斜角为 ． 14．已知正 ABC 的边长为１，那么在斜二侧画法中它的直观图 A B C   的面积为 15.（文科做）已知三条直线 2 8 0,4 3 10ax y x y     和 2 10x y  中没有任何两条平行， 但它们不能构成三角形的三边，则实数 a 的值为____________． 15（理科做）已知点    2,0 , 0,2A B ，若点C 是圆 2 22 0x x y   上的动点，则 ABC△ 面 积的最小值为 ． 16．在三棱锥 P-ABC 中侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，Q 为底面△ABC 内一点，若点 Q 到三个侧 面的距离分别为 3,4,5，则过点 P 和 Q 的所有球中，表面积最小的球的表面积为 . 三、解答题（70 分）- 3 - 17．（10 分）已知直线 02431  yxl ： 和 014522  yxl ： 的相交于点 P。 求：（Ⅰ）过点 P 且平行于直线 072  yx 的直线方程； （Ⅱ）过点 P 且垂直于直线 072  yx 的直线方程。 18．（12 分）如图，三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC，∠ACB = 90°，E 是棱 CC1 上中 点，F 是 AB 中点，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4. （1）求证：CF∥平面 AEB1； （2）求三棱锥 A－CB1E 的体积. 19．（12 分）已知圆 2 2: 2 4 3 0C x y x y     . （1）若圆C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； （2）从圆C 外一点 P 向该圆引一条切线，切点为 M ，O 为坐标原点，且有 PM PO ，求 使 PM 的长取得最小值的点 P 的坐标. 20.（文科做 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，AC=BC，D、E、F 分别 为棱 AB、BC、A1C1 的中点。 （Ⅰ）证明：EF//平面 A1CD； （Ⅱ）证明：平面 A1CD⊥平面 ABB1A1- 4 - S ED C B A 20.( 理 科 做 12 分 ) 如 图 ， 在 三 棱 锥 S ABC SB 中， 底 面 ABC ， 且 SB= 2, 6, ,2AB BC ABC D E    、 分别是 SA、SC 的中点． （Ⅰ）求证：平面 ACD  平面 BCD； （Ⅱ）求二面角 S BD E  的平面角的大小． 21．（12 分）如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC AB ， 12AB AA ， M 是 AB 的中 点，△ 1 1A MC 是等腰三角形， D 为 1CC 的中点， E 为 BC 上一点． （1）若 DE ∥平面 1 1A MC ，求 CE EB ； （2）求直线 BC 和平面 1 1A MC 所成角的余弦值． 22．（12 分）已知圆 C 过点 P（1，1），且与圆 M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)关于直线 x+y+2=0 对 称． ⑴求圆 C 的方程； ⑵设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 PQ MQ  的最小值； ⑶过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A，B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为 坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由． 命题人 余龙举 校题人 李燕- 5 - 2015-2016 学年度杨家坪中学高 2017 级期中考试 数 学 试 题 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．直线 1 0x y   不经过的象限是( ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．已知圆 C：x2＋y2＋mx－4＝0 上存在两点关于直线 x－y＋3＝0 对称，则实数 m 的值为( ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 3．直线 被圆 所截得的弦长为( ) A. B.1 C. D. 4．已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积 为（ ） A. 32 3  B 4 3  C. 2 D. . 4 5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等 腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ） A. B.4 C. D.2 6.在正三棱柱 中，若 ，则点 A 到平面 的距离为（ ） A． B． C． D． 7．已知四棱锥 S－ABCD 的所有棱长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成的角的正弦值为( ) A． B． C． D． 8．设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直线 xsinA+ay+c=0 与直线 bx﹣ysinB+sinC=0 的位置关系是（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 9．．直线 ax＋by＋c＝0 与圆 x2＋y2＝9 相交于两点 M、N，若 c2＝a2＋b2，则OM  · ON  (O 为 坐标原点)等于( ) A．－7 B．－14 C．7 D．14 10．曲线 24 1( 2 2)y x x      与直线 2 4y kx k   有两个不同的交点时，实数 k 的 取值范围是 （ ）- 6 - （A） 5 3( , ]12 4 (B) 5( , )12  (C) 1 3( , )3 4 (D) 5 3( , ) ( , )12 4    11．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 为线段 1AD 上一动点，点Q 为底面 ABCD内 （含边界）一动点， M 为 PQ 的中点，点 M 构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为 （ ） A 棱柱 B 棱锥 C 棱台 D 球 12 ． ( 文 科 做 ) 已 知 圆    2 2: 3 4 1C x y    和 两 点  ,0A m ，    ,0 0B m m  ，若圆 C 上存在点 P ，使得 90APB   ，则 m 的最大值为（ ） A． 7 B．6 C．5 D． 4 12.（理科做）如果直线  2 14 0 0, 0ax by a b     和函数    1 1 0, 1xf x m m m    的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆    2 21 2 25x a y b      的内部或圆上， 那么 b a 的取值范围是（ ） A．      3 4 4 3 ， B．     3 4 4 3 ， C．     3 4 4 3 ， D．      3 4 4 3 ， 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．直线 1 0x y   的倾斜角为 ． 14．已知正 ABC 的边长为１，那么在斜二侧画法中它的直观图 A B C   的面积为 15.（文科做）已知三条直线 2 8 0,4 3 10ax y x y     和 2 10x y  中没有任何两条平行， 但它们不能构成三角形的三边，则实数 a 的值为____________． 15（理科做）已知点    2,0 , 0,2A B ，若点C 是圆 2 22 0x x y   上的动点，则 ABC△ 面 积的最小值为 ． 16．在三棱锥 P-ABC 中侧棱 PA，PB，PC 两两垂直，Q 为底面△ABC 内一点，若点 Q 到三个侧 面的距离分别为 3,4,5，则过点 P 和 Q 的所有球中，表面积最小的球的表面积为 . 三、解答题（70 分） 17．（10 分）已知直线 02431  yxl ： 和 014522  yxl ： 的相交于点 P。- 7 - 求：（Ⅰ）过点 P 且平行于直线 072  yx 的直线方程； （ Ⅱ ） 过 点 P 且 垂 直 于 直 线 072  yx 的直线方程。 18．（12 分）如图，三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC，∠ACB = 90°，E 是棱 CC1 上中 点，F 是 AB 中点，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4. （1）求证：CF∥平面 AEB1； （2）求三棱锥 A－CB1E 的体积. 19．（12 分）已知圆 2 2: 2 4 3 0C x y x y     . （1）若圆C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； （2）从圆C 外一点 P 向该圆引一条切线，切点为 M ，O 为坐标原点，且有 PM PO ，求 使 PM 的长取得最小值的点 P 的坐标. 20.（文科做 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，AC=BC，D、E、F 分别 为棱 AB、BC、A1C1 的中点。 （Ⅰ）证明：EF//平面 A1CD； （Ⅱ）证明：平面 A1CD⊥平面 ABB1A1- 8 - S ED C B A 20.( 理 科 做 12 分 ) 如 图 ， 在 三 棱 锥 S ABC SB 中， 底 面 ABC ， 且 SB= 2, 6, ,2AB BC ABC D E    、 分别是 SA、SC 的中点． （Ⅰ）求证：平面 ACD  平面 BCD； （Ⅱ）求二面角 S BD E  的平面角的大小． 21．（12 分）如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC AB ， 12AB AA ， M 是 AB 的中 点，△ 1 1A MC 是等腰三角形， D 为 1CC 的中点， E 为 BC 上一点． （1）若 DE ∥平面 1 1A MC ，求 CE EB ； （2）求直线 BC 和平面 1 1A MC 所成角的余弦值． 22．（12 分）已知圆 C 过点 P（1，1），且与圆 M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)关于直线 x+y+2=0 对 称． ⑴求圆 C 的方程； ⑵设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 PQ MQ  的最小值； ⑶过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A，B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为 坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由． 参考答案 1．C 2．C 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．A 11 ． A 试 题 分 析 ： 先 固 定 P 点 位 置 ， Q 点 在 底 面 A B C D 的 边 界 上 运 动 时 ， 连 接 , , ,PA PB PC PD ，则 PQ 的中点 M 就在 , , ,PAB PBC PC D PAD    的中位线上运动，- 9 - 如图中 2 2 2 2A B C D ，当 Q在底面 A B C D 内部运动时， M 就在 2 2 2 2A B C D 内部运动；且 2 2 2 2A B C D ∥ A B C D ， 2 2 2 2A B C D 与 A B C D 相似， 2 2 2 2A B C D 的面积是 A B C D 的面积一半； 当 P 点运动到 'P 时，同理可知 M 点轨迹是 3 3 3 3A B C D 内部及边界，且 3 3 3 3A B C D ∥ A B C D ， 3 3 3 3A B C D 与 A B C D 相似， 3 3 3 3A B C D 的面积是 A B C D 的面积一半，所以 3 3 3 3A B C D ∥ 2 2 2 2A B C D ， 2 2 2 2A B C D ≌ 3 3 3 3A B C D ，则 M 构成的点集是一个空间几何体是棱柱，故选 A. 考点：对空间图形的认识. 12.(文科)B 12．（理科）C 试题分析：函数   1 1xf x m   恒过定点  1,2 ．将点  1,2 代入直线 2 14 0ax by   可 得 2 2 14 0a b    , 即  7, 0, 0a b a b    ． 由 点  1,2 在 圆    2 21 2 25x a y b      内 部 或 圆 上 可 得    2 21 1 2 2 25a b       即 2 2 25a b   0, 0a b  ． 2 2 7 3 425 a b a ba b         或 4 3 a b    ．所以点 ,a b 在以  3,4A 和  4,3B 为端点的线段上运动． b a 表示以  3,4A 和  4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点 连线的斜率．所以 min 3 0 3 4 0 4 b a        , max 4 0 4 3 0 3 b a        ．所以 3 4 4 3 b a   ．故 C 13． 45 14． 16 6 15．(文科)－1 （理科）3 2 16． 50  【解析】根据题意：点 Q 到三个侧面的垂线与侧棱 PA、PB、PC 围成一个棱长为 3、4、5 的长 方体，则其外接球的直径即为 PQ 且为长方体的体对角线．过点 P 和 Q 的所有球中，以 PQ 为- 10 - 直径的球的表面积最小，2r= 2 2 23 4 5 5 2   ∴r＝ 5 2 2 ,由球的表面积公式得：S=4π r2=50π 17．（1） 2 6 0x y   （2） 2 2 0x y   。 试题分析：解、由 3 4 2 0 2 5 14 0 x y x y        解得 2 2 x y     ，即点 P 坐标为 ( 2, 2)P  ，直线 072  yx 的斜率为 2 （Ⅰ）过点 P 且平行于直线 072  yx 的直线方程为 2 2( 2)y x   即 2 6 0x y   ； （Ⅱ）过点 P 且垂直于直线 072  yx 的直线方程为 12 ( 2)2y x    即 2 2 0x y   。 18．（1）详见试题解析;（2） 2 3V  试题解析：（1）证明：取 1AB 的中点G，联结 ,EG FG ∵ ,F G 分别是棱 A B 、 1AB 的中点， ∴ 1 1 1// , 2FG BB FG BB 又∵ 1 1// , ,2FG EC EC CC FG EC  ∴四边形 F G E C 是平行四边形， ∴ //CF EG ∵CF  平面 1ABE， EG  平面 1ABE ∴ //CF 平面 1ABE （2）解： 因为 1AA  底面 ABC ，所以 1CC  底面 ABC ， 1CC CB 又 90AC B   ，所以 BC AC 所以 BC  面 1 1ACC A ，即 BC  面 ACE 所以点 B 到平面 1AEB 的距离为 2B C  又因为 1 //BB 平面 ACE ，所以点 1B到平面 ACE 的距离等于点 B 到平面 ACE 的距离，即为 2 所以 1 1 1 1 21 2 23 2 3C AB E B ACEV V        . 19．（1） 1 0x y   或 3 0x y   ；（2） 3 3( , ) 10 5 P  ． 试题解析：（1）切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零， ∴设切线方程为 x y a  （ 0a  ）， 又圆 C： 2 2( 1) ( 2) 2x y    ， ∴圆心 C ( 1, 2 ) 到切线的距离等于圆的半径 2 ，∴ 1 2 2 2 a    ，解得 1a   或 3a  ， 故所求切线的方程为： 1 0x y   或 3 0x y   ． （2）设 1 1( , )P x y ， 切线 PM 与半径 C M 垂直， ∴ 2 2 2PM PC CM  ， ∴ 2 2 2 2 1 1 1 1( 1) ( 2) 2x y x y      ，整理得 1 12 4 3 0x y   ，- 11 - 故动点 P在直线 2 4 3 0x y   上，由已知 PM 的最小值就是 PO 的最小值， 而 PO 的最小值为O到直线 2 4 3 0x y   的距离 3 5 10d  ， ∴ 2 2 1 1 1 1 9 ,20 2 4 3 0, x y x y        解得 1 1 3 ,10 3.5 x y      ∴所求点坐标为 3 3( , ) 10 5 P  ． 20.（文科）试题解析：（1）证明：连接 DE ED, 分别为 AB , BC 的中点， 1/ / 2DE AC F 为 11CA 的中点， 111 2 1 CAFA  ,而 ACCA //11 ACFA 2 1//1 FADE 1// 四边形 DEFA1 是平行四边形 EFDA //1 EF 平面 DACDA 11 , 平面 CDA1 //EF 平面 CDA1 (Ⅱ)证明： AA1 平面 ABC , CD 平面 ABC , CDAA  1 BCAC  , D 为 AB 的中点， CDAB  , AABAA  1 CD 平面 11 AABB 又因为 CD 平面 CDA1 平面 CDA1  平面 11 AABB 20．（理科）1．（Ⅰ）证明过程详见解析；（Ⅱ） 3  ． 试题解析：（Ⅰ） BCBA2ABC  ， ． 又因 ABC平面SB ，所以建立如上图所示的坐标系． 所以 A（2，0，0）， ），，（ 060B ，D（1，0，1）， ），，（ 12 60E ，S（0，0，2） 易得， AD -1 0 1 （ ，，）， BC 0 6 0 （ ， ，）， BD 1 0 1 （ ，，） 又 AD BC 0 AD BD 0      ， ， AD BC AD BD AD BC AD BD        ， ， ， 又 BCDADBBDBC 平面，  又因 ACDAD 平面 ， 所以平面 ACD  平面 BCD．- 12 - （Ⅱ）又 ），，（ 12 60BE  设平面 BDE 的法向量为 ),,( zyxn  ，则 6BE 0 1 0 20 1 0 n y BD n x                 所以 )1,3 6,1( n ,又因平面 SBD 的法向量为 BC 0 6 0 （ ， ，） 所以 2 1cos , 286 3 BC nBC n BC n              所以二面角 S BD E  的平面角的大小为 3  ． 21．（1） 1 3 CE EB  ；（2） 6 3 . 试题解析：『法一』(1)取 B C 中点为 N ，连结 1,MN C N ， 1 分 ∵ ,M N 分别为 ,AB C B 中点, ∴ M N ∥ AC ∥ 1 1AC ， ∴ 1 1, , ,A M N C 四点共面， 3 分 且平面 1 1BCC B I 平面 1 1A MNC 1C N= 又 DE Ì 平面 1 1BCC B ， 且 D E ∥平面 1 1AMC ∴ D E ∥ 1C N ∵ D 为 1CC 的中点，∴ E 是 CN 的中点， 5 分 ∴ 1 3 CE EB  ． 6 分 （2）连结 1B M ， 7 分 因为三棱柱 1 1 1ABC A B C 为直三棱柱，∴ 1AA ^ 平面 ABC ∴ 1AA AB^ ，即四边形 1 1ABB A 为矩形，且 12AB AA- 13 - ∵ M 是 A B 的中点，∴ 1 1B M A M^ ，又 1 1AC ^ 平面 1 1ABB A ， ∴ 1 1 1AC B M^ ，从而 1B M ^ 平面 1 1AMC 9 分 ∴ 1MC 是 1 1B C 在平面 1 1AMC 内的射影 ∴ 1 1B C 与平面 1 1AMC 所成的角为∠ 1 1B C M 又 1 1B C ∥ B C ， ∴直线 B C 和平面 1 1AMC 所成的角即 1 1B C 与平面 1 1AMC 所成的角 10 分 设 12 2AB AA  ，且三角形 1 1AMC 是等腰三角形 ∴ 1 1 1 2A M AC= = ，则 1 2MC = ， 1 1 6B C = ∴ 1 1 1 1 1 6cos 3 MCB C M B C Ð = = ∴直线 B C 和平面 1 1AMC 所成的角的余弦值为 6 3 ． 12 分 『法二』（1）因为三棱柱 1 1 1ABC A B C 为直三棱柱， ∴ 1AA ^ 平面 ABC ，又 AC AB ∴以 A 为坐标原点，分别以 1, ,AB AA AC 所在直线为 , ,x y z 轴， 建立如图空间直角坐标系． 1 分 设 12 2AB AA  ，又三角形 1 1AMC 是 等腰三角形，所以 1 1 1 2A M AC= = 易得 1(0,1,0)A ， (1, 0, 0)M ， 1(0,1, 2)C ， 所以有 1 (1, 1,0)A M = - uuuur ， 1 1 (0,0, 2)A C = uuuur 设平面 1 1AMC 的一个法向量为 ( , , )n x y z= r ，则有 1 1 1 0 0 n A M n AC ìï × =ïïíï × =ïïî r uuuur r uuuur ，即 0 2 0 x y z ì - =ïïíï =ïî ，令 1x = ，有 (1,1,0)n = r 4 分 （也可直接证明 1B M  为平面 1 1AMC 法向量） 设 CE EB  ， 2 2( ,0, )1 1E     ，又 1(0, , 2)2D ， ∴ 2 1 2( , , 2)1 2 1DE        若 D E ∥平面 1 1AMC ，则 n r ^ DE uuur ，所以有 2 1 01 2     ， 解得 1 3   ，∴ 1 3 CE EB  6 分 （2）由（1）可知平面 1 1AMC 的一个法向量是 (1,1,0)n = r ，- 14 - (2, 0, 0)B ， (0,0, 2)C ，求得 ( 2,0, 2)BC   设直线 B C 和平面 1 1AMC 所成的角为 ， [0, ]2   ， 则 | | 2 3sin 3| | | | 2 6 n BC n BC           ， 11 分 所以 6cos 3 q = ∴直线 B C 和平面 1 1AMC 所成的角的余弦值为 6 3 ． 12 分 22．（1） 222  yx ；（2）-4；（3）OP∥AB；理由祥见解析． 试 题 解 析 ：（ 1 ） 设 圆 Ｃ 的 圆 心 Ｃ 的 坐 标 为 (x0,y0 ） , 由 于 圆 M 的 圆 心 M(-2,-2), 则 有:              0 0 1)1(2 2 022 2 2 2 0 0 0 0 00 y x x y yx ,所以圆 C 的方程为: 222 ryx  ,又因为圆 C 过点 P （1，1）,所以有 211 222  rr ,故知:⊙C 的方程为： 222  yx （2）设 Q（x、y），则 222  yx ，从而可设  sin2,cos2  yx )( R 则 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 2 sin( ) 24PQ MQ x x y y x y               所以 PQ MQ  的最小值为-4. （3）设 PA 的方程为： )1(1  xky ，则 PB 的方程为： )1(1  xky 由      2 )1(1 22 yx xky 得 2 2 1 12 k kkx A   ，同理可得： 2 2 1 12 k kkxB   OP AB AB AB AB AB AB AB k k k k kkk xx xxkk xx xkx xx yyk          1 1 4 1 222)(2)1()1(k 2 2 2 OP∥AB．