陕西省西安市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 文.doc

西安市第一中学2015-2016学年度第一学期期中 高三数学(文科)试题 ‎ ‎ ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于 ( 　)‎ A．U　　 B．{1,3,5} C．{2,4,6} D．{3,5,6} ‎ ‎2．－870°角的终边在第几象限 (　　)‎ A．一　 　 B．二　　　 　C．三　　 　D．四 ‎3．命题“，”的否定是 （ ）‎ A．， B．，‎ C．， D． ，‎ ‎4．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为 (　　)‎ A．e1－3e2‎ B．－2e1－4e2‎ C． 3e2－e1‎ D．3e1－e2‎ ‎5．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是 (　　)‎ ‎6．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 (　　)‎ A．64　　　 　B．49 C．16 D．15　‎ ‎7．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是 (　　)‎ A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 ‎ ‎8．若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是 ( 　)‎ ‎ A．8 B．7 C．4 D．2‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于 (　　)‎ A．30°　 B．60° C．120° D．150°‎ ‎10．如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O 9‎ 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎11. 椭圆M: 左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且 最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知函数，若存在，当时，，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） ‎ ‎13．若（其中为虚数单位），则是______________．‎ ‎14．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是______________．‎ ‎15．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是___________.‎ ‎16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．‎ 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) ‎ ‎17．(本小题满分12分)函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示．‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．‎ ‎18．(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 9‎ ‎19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC A1B‎1C1中，侧棱垂直于底 ‎ ‎ 面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A‎1C1，BC的中点．‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证：C‎1F∥平面ABE；‎ ‎(3)求三棱锥E ABC的体积．‎ ‎20．(本小题满分12分)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ ‎(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数 ．‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间；‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．‎ 请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．‎ ‎22.(选修4—1几何证明选讲) （本小题满分10分）‎ 如图，过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点,PE是圆的切线，CP平分∠，‎ 分别与AE、BE交于点. ‎ 求证：(1) ； （2）‎ ‎23.(选修4─4坐标系与参数方程选讲) （本小题满分10分）‎ 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为 参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎ （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．‎ ‎ 24.(选修4—5不等式选讲)（本小题满分10分）设函数 9‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的定义域为R,求实数的取值范围.‎ 西安市第一中学 ‎2015-2016学年度第一学期期中 ‎ 高三数学(文科)答案 一、选择题： DCBAAD CBACBB 二、填空题 13. 14. 8 15.　 16. (0,1)‎ 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) ‎ ‎17． 函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示．‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)f(x)的最小正周期为π.‎ x0＝，y0＝3. ---------------------------------------------------------6‎ ‎(2)因为x∈[－，－]，所以2x＋∈[－，0]．‎ 于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.-----------------------12‎ ‎18．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 9‎ ‎[解]　(1)设{an}的公比为q，依题意得 解得 因此，an＝3n－1. ------------------------------------------------------------------6‎ ‎(2)因为bn＝log3an＝n－1，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.---------------------------12‎ ‎　19． 如图，‎ 在三棱柱ABC A1B‎1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A‎1C1，BC的中点．‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证：C‎1F∥平面ABE；‎ ‎(3)求三棱锥E ABC的体积．‎ ‎(1)[证明]　在三棱柱ABCA1B‎1C1中，BB1⊥底面ABC，‎ 所以BB1⊥AB.‎ 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.‎ 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.--------------------------------------------------------------------4‎ ‎(2)[证明]　取AB的中点G，连接EG，FG.‎ 因为E，F，G分别是A‎1C1，BC，AB的中点，‎ 所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A‎1C1.‎ 因为AC∥A‎1C1，且AC＝A‎1C1，‎ 所以FG∥EC1，且FG＝EC1，‎ 所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C‎1F∥EG.‎ 9‎ 又因为EG平面ABE，C‎1F⃘平面ABE，‎ 所以C‎1F∥平面ABE. -----------------------------------------------------------------8‎ ‎(3)解：因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，‎ 所以AB＝＝.‎ 所以三棱锥E ABC的体积 V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.----------------------------------------------12‎ ‎20．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ ‎(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．‎ ‎[解]　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．‎ ‎∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.----------------------------------------------------------------------6‎ ‎(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则 kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，‎ ‎∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.‎ 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①‎ y＝4x2，②‎ ‎∴＝，∴y1＋2＝－(y2＋2)．‎ ‎∴y1＋y2＝－4.‎ 由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，‎ ‎∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．--------------------------------------------------12‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数 ．‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间；‎ 9‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．‎ ‎【解析】：‎ ‎(1)当时 ‎ ‎,在上单调递增.---------------------------------------------------------6‎ ‎（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 ‎ ‎-k k ‎ k ‎（i）当，即时，，在上单调递增，‎ 从而当时， 取得最小值 ,‎ 当时， 取得最大值.‎ ‎（ii）当，即时，令 解得：,注意到,‎ ‎(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值,‎ 的最大值 综上所述，当时，的最小值,最大值 9‎ ‎------------12‎ 解法2（2）当时，对，都有，故 故，而 ，‎ 所以 ，‎ ‎ ‎ 做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ A.选修4－1：几何证明选讲 ‎　　如图所示，为圆的直径，，为 圆的切线，，为切点.‎ ‎　 （Ⅰ）求证： ；‎ ‎　 （Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.‎ 解：(I)连接是圆的两条切线， ，‎ ‎,又为圆的直径，，‎ ‎,,即得证，‎ ‎(II),,△∽△，‎ ‎。 ‎ B.选修4－4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求△面积的最大值.‎ 解：（I）圆的参数方程为（为参数）‎ 所以普通方程为 ‎ 9‎ 圆的极坐标方程：‎ ‎（II）点到直线：的距离为 △的面积 所以△面积的最大值为 ‎ C．选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（I）若，解不等式；‎ ‎（II）如果，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 由得 当时，不等式可化为即，其解集为 当时，不等式化为，不可能成立，其解集为；‎ 当时，不等式化为，其解集为 综上所述，的解集为 ‎ ‎（Ⅱ），∴要成立，‎ 则，，‎ 即的取值范围是。‎ 9‎