江西省丰城中学2016届高三数学上学期第四次月考试题 理.doc

- 1 - 丰城中学 2015-2016 学年上学期高三月考试卷 数 学 理 科（课改实验班） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．函数 f(x)＝ln(x＋1)－2 x 的零点所在的可能区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 2．已知某一随机变量 X 的分布列如下，且 E(X)＝6．3，则 a 的值为( ) X 4 a 9 P 0．5 0．1 b A．5 B．6 C．7 D．8 3．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查．现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号．已知从 33～48 这 16 个数中取的数是 39，则在 第 1 小组 1～16 中随机抽到的数是( ) A．5 B．7 C．11 D．13 4．一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到 红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X＝12)等于( ) A．C10 12 3 8 10 5 8 2 B．C9 12 3 8 5 8 23 8 C．C9 11 5 8 2 3 8 2 D．C9 11 3 8 10 5 8 2 5．已知平面α的一个法向量 n＝(－2，－2,1)，点 A(－1,3,0)在α内，则 P(－2,1,4)到α的 距离为( ) A．10 B．3 C.8 3 D.10 3 6．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定 安排两位爸爸，另外，两个小孩一定排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为( ) A．48 B．36 C．24 D．12 7．若圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，则由点(a，b)向圆所作的 切线长的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．6 8．已知非零向量 a，b，满足 a⊥b，则函数 f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是( ) A．既是奇函数又是偶函数 B．非奇非偶函数 C．偶函数 D．奇函数 9．已知 1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c 对一切 n∈N*都成立，则 a，b， c 的值为( ) A．a＝1 2 ，b＝c＝1 4 B．a＝b＝c＝1 4- 2 - C．a＝0，b＝c＝1 4 D．不存在这样的 a，b，c 10．F1，F2 分别是双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右 两支分别交于 A，B 两点．若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A．2 B． 7 C． 13 D． 15 11． 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 m 的正方形，PD⊥底面 ABCD，且 PD＝ m，PA＝PC＝ 2m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是( ) A.1 3 (2－ 2)m B.1 2 (2＋ 2)m C.1 2 (2－ 2)m D.1 6 (2＋ 2)m 12．已知△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若 3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，则△AOC 的面积为 ( ) A．2 5 B．1 2 C． 3 10 D．6 5 二、填空题（每小题 5 分，共２0 分） 13．已知函数 f(x－2)＝ 1＋x2，x＞2， 2－x，x≤2， 则 f(1)＝________. 14. 已知 1 x ＋x2 3 的展开式中的常数项为 a，则直线 y＝ax 与曲线 y＝x3 所围成的图形的面积 为________． 15．在区间[－1,1]上任取两数 m 和 n，则关于 x 的方程 x2＋mx＋n2＝0 有两个不相等实根的概 率为________． 16．已知双曲线 x2－y2 3 ＝1 上存在两点 M，N 关于直线 y＝x＋m 对称，且 MN 中点在抛物线 y2＝ 18x 上，则实数 m 的值为________． 三、解答题（共７0 分） 17．（本小题满分 12 分）请认真阅读下列程序框图，然后回答问题，其中 n0∈N． (1)若输入 n0＝0，写出所输出的结果；- 3 - (2)若输出的结果中，只有三个自然数，求输入的自然数 n0 的所有可能的值． 18．（本小题满分 12 分）如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱长为 a，E 为棱 CC1 上的动点． (1)求异面直线 BD 与 A1E 所成的角； (2)确定 E 点的位置，使平面 A1BD⊥平面 BDE. 19．（本小题满分 12 分）甲袋中装有大小相同的红球 1 个，白球 2 个；乙袋中装有与甲袋中 相同大小的红球 2 个，白球 3 个．先从甲袋中取出 1 个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出 2 个小球． (1)求从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率； (2)记从乙袋中取出的 2 个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 20．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1： 2 2 2 2 b y a x  =1（a＞b＞0）的左、右焦 点分别为 F1，F2．F2 也是抛物线 C2： 2 4y x 的焦点，点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点， 且｜MF2｜= 3 5 ． （Ⅰ）求 C1 的方程；- 4 - （Ⅱ）平面上的点 N 满足 21 MFMFMN  ，直线 l∥MN，且与 C1 交于 A，B 两点，若 0OBOA ，求直线 l 的方程． 21．（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，其图象在 y 轴上的截距为－5，在 区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当 x＝0，x＝2 时取得极小值． （Ⅰ）求函数 f(x)的解析式； （Ⅱ）能否找到垂直于 x 轴的直线，使函数 f(x)的图象关于此直线对称，并证明你的结论； （Ⅲ）设关于 x 的方程 f(x)＝λ2x2－5( 2 )的两个非零实根为 x1、x2．问是否存在实数 m，使得不等式 m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意 t∈[－3，3]恒成立？若存在，求 m 的取值范 围；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分 10 分）已知函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－3|. ①解不等式 f(x)≤4； ②若存在 x 使得 f(x)＋a≤0 成立，求实数 a 的取值范围. 四、附加题（共 10 分） 23．（每小题 5 分） (1)已知三棱锥 ABCP  的底面是边长为 34 的正三角形, 5,4,3  PCPBPA .若 O 为 ABC 的中心,则 PO 的长为 ． (2)若函数 1 1 16)(,73)( 2 22    x xxgxxf ,则 ))(( xfg 的最小值是 ．- 5 - 丰城中学 2015-2016 学年上学期高三月考试卷 数 学 理 科（课改实验班） 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．函数 f(x)＝ln(x＋1)－2 x 的零点所在的可能区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：容易知道，原函数单调递增，f(1)＝ln 2－20，故零点在区间(1,2)上，故选 B. 2．已知某一随机变量 X 的分布列如下，且 E(X)＝6．3，则 a 的值为( ) X 4 a 9 P 0．5 0．1 b A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题意得 0．5＋0．1＋b＝1，且 E(X)＝4×0．5＋0．1a＋9b＝6．3，因此 b＝0．4， a＝7．故选 C． 3．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查．现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号．已知从 33～48 这 16 个数中取的数是 39，则在 第 1 小组 1～16 中随机抽到的数是( ) A．5 B．7 C．11 D．13 解析：间隔数 k＝800 50 ＝16，即每 16 人抽取一个人．由于 39＝2×16＋7，所以第 1 小组中抽 取的数值为 7．故选 B． 4．一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到 红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X＝12)等于( ) A．C10 12 3 8 10 5 8 2 B．C9 12 3 8 5 8 23 8 C．C9 11 5 8 2 3 8 2 D．C9 11 3 8 10 5 8 2 解析：“X＝12”表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球，2 次取到白球，因此 P(X ＝12)＝3 8 C9 11 3 8 9 5 8 2＝C9 11 3 8 10 5 8 2．故选 D． 5．已知平面α的一个法向量 n＝(－2，－2,1)，点 A(－1,3,0)在α内，则 P(－2,1,4)到α的 距离为( ) A．10 B．3 C.8 3 D.10 3 解析：PA→＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为 n＝(－2，－2,1)，所以 P 到α的距离为- 6 - |PA→||cos〈PA→，n〉|＝|PA→·n| |n| ＝|－2－4－4| 3 ＝10 3 . 故选 D. 6．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定 安排两位爸爸，另外，两个小孩一定排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为 ( ) A．48 B．36 C．24 D．12 解析：由题意得，爸爸排法为 A 2 2种，两个小孩排在一起有 A 2 2种排法，妈妈和孩子共有 A 3 3种 排法，∴排法种数共为 A2 2×A2 2×A3 3＝24(种)．答案：C 7．若圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，则由点(a，b)向圆所作的 切线长的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：由 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2， 依题意得圆心 C(－1,2)在直线 2ax＋by＋6＝0 上， 所以有 2a×(－1)＋b×2＋6＝0， 即 a＝b＋3. ① 又由点(a，b)向圆所作的切线长为 l＝ a＋1 2＋ b－2 2－2 ， ② 将①代入②，得 l＝ b＋4 2＋ b－2 2－2＝ 2 b＋1 2＋16， ∵b∈R，∴当 b＝－1 时，lmin＝4. 故选 C. 8．已知非零向量 a，b，满足 a⊥b，则函数 f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是( ) A．既是奇函数又是偶函数 B．非奇非偶函数 C．偶函数 D．奇函数 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2. 又∵f(－x)＝a2(－x)2＋b2＝a2x2＋b2，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．故选 C． 9．已知 1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c 对一切 n∈N*都成立，则 a，b， c 的值为( ) A．a＝1 2 ，b＝c＝1 4 B．a＝b＝c＝1 4 C．a＝0，b＝c＝1 4 D．不存在这样的 a，b，c 解析：由题意知，等式对一切 n∈N*都成立，可取 n＝1,2,3，代入后构成关于 a，b，c 的方 程组，求解即得．令 n＝1,2,3 分别代入已知得 1＝3 a－b ＋c， 1＋2×3＝32 2a－b ＋c， 1＋2×3＋3×32＝33 3a－b ＋c， 即 3a－3b＋c＝1， 18a－9b＋c＝7， 81a－27b＋c＝34， 解得，a＝1 2 ，b＝1 4 ，c＝1 4 . 故选 A.- 7 - 10．F1，F2 分别是双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右 两支分别交于 A，B 两点．若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A．2 B． 7 C． 13 D． 15 解析：如图所示， 由双曲线的定义，得|BF1|－|BF2|＝|AF2|－|AF1|＝2a，因为△ABF2 是正三角形， 所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|，因此|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，且∠F1AF2＝120°， 在△F1AF2 中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×1 2 ＝28a2，所以 e＝ 7．故选 B． 11． 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 m 的正方形，PD⊥底面 ABCD，且 PD＝ m，PA＝PC＝ 2m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是( ) A.1 3 (2－ 2)m B.1 2 (2＋ 2)m C.1 2 (2－ 2)m D.1 6 (2＋ 2)m 解析：由题知，此球内切于四棱锥时，半径最大， 设该四棱锥的内切球的球心为 O，半径为 r，连接 OA，OB，OC，OD，OP，易知 VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD， 即1 3 ×m2×m＝1 3 ×m2×r＋1 3 ×1 2 ×m2×r＋1 3 ×1 2 × 2m2×r＋1 3 ×1 2 × 2m2×r＋1 3 ×1 2 ×m2×r， 解得 r＝1 2 (2－ 2)m， 所以此球的最大半径是1 2 (2－ 2)m. 故选 C. 12．已知△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若 3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，则△AOC 的面积为 ( ) A．2 5 B．1 2 C． 3 10 D．6 5 解析：依题意，得(3OA→＋5OC→)2＝(－4OB→)2,9OA→2＋25OC→2＋30OA→·OC→＝16OB→2，即 34＋30cos∠- 8 - AOC＝16，cos∠AOC＝－3 5 ，sin∠AOC＝ 1－cos2∠AOC＝4 5 ，△AOC 的面积为1 2 |OA→||OC→|sin ∠AOC＝2 5 ，故选 A． 二、填空题（每小题 5 分，共２0 分） 13．已知函数 f(x－2)＝ 1＋x2，x＞2， 2－x，x≤2， 则 f(1)＝________. 解析：令 x－2＝1，则 x＝3，∴f(3)＝1＋32＝10. 答案：10 14.已知 1 x ＋x2 3 的展开式中的常数项为 a，则直线 y＝ax 与曲线 y＝x3 所围成的图形的面积为 ________． 解析：Tk＋1＝Ck 3 1 x 3－k(x2)k＝Ck 3x3k－3，令 3k－3＝0，得 k＝1， 即常数项 a＝3，直线 y＝3x 与曲线 y＝x3 交点的横坐标分别为－ 3，0， 3，所以所围成 图形的面积为 2错误!(3x－x3)dx＝2 3 2 x2－1 4 x4 | 3 0 ＝9 2 ．答案：9 2 15．在区间[－1,1]上任取两数 m 和 n，则关于 x 的方程 x2＋mx＋n2＝0 有两个不相等实根的概 率为________． 解析：由题意知－1≤m≤1，－1≤n≤1．要使方程 x2＋mx＋n2＝0 有两个不相等实根，则Δ ＝m2－4n2>0，即(m－2n)(m＋2n)>0．作出可行域，如图，当 m＝1 时，nC＝1 2 ，nB＝－1 2 ， 所以 S△OBC＝1 2 ×1× 1 2 － －1 2 ＝1 2 ，所以方程 x2＋mx＋n2＝0 有两个不相等实根的概率为 2S△OBC 2×2 ＝ 2×1 2 4 ＝1 4 ．答案：1 4- 9 - 16．已知双曲线 x2－y2 3 ＝1 上存在两点 M，N 关于直线 y＝x＋m 对称，且 MN 中点在抛物线 y2＝ 18x 上，则实数 m 的值为________． 解析：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 P(x0，y0)，则 x2 1－y2 1 3 ＝1，① x2 2－y2 2 3 ＝1，② 由①－②，得 x2 1－x2 2＝y2 1－y2 2 3 ， 即(x1－x2)(x1＋x2)＝1 3 (y1－y2)(y1＋y2)，也即 2x0＝1 3 ·y1－y2 x1－x2 ·2y0＝1 3 ·(－1)·2y0， ∴y0＝－3x0， ③ 又 P 在直线 y＝x＋m 上，∴y0＝x0＋m， ④ 由③④解得 P －m 4 ，3 4 m ． 代入抛物线 y2＝18x，得 9 16 m2＝18· －m 4 ， ∴m＝0 或－8． 经检验 m＝0 或－8 均符合题意． 答案：0 或－8 三、解答题（共７0 分） 17．（本小题满分 12 分）请认真阅读下列程序框图，然后回答问题，其中 n0∈N． (1)若输入 n0＝0，写出所输出的结果； (2)若输出的结果中，只有三个自然数，求输入的自然数 n0 的所有可能的值． 解：(1)若输入 n0＝0，则输出的数为 20,10,5,4,2． (2)要使结果只有三个数，只能是 5,4,2．所以应使 5≤ 20 n0＋1