吉林省长春市十一中2016届高三数学上学期12月月考试题 理.doc

长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期阶段考试 数 学 试 题 （理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若复数满足：，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．或 D．或7‎ ‎5. 已知，，，则（ ）‎ A．22 B．‎48 C． D．32‎ ‎6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ - 10 -‎ D．‎ ‎8.设，且，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9.曲线与直线围成的封闭图形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知为区域（）内的任意一点，当该区域的面积为时，的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.是椭圆：上的动点，以为切点做椭圆的切线，交圆于两点，当的面积最大时，直线的斜率（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 10 -‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . ‎ ‎14.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.‎ ‎15.设为等差数列，从中任取个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有 个.‎ ‎16.给定下列四个命题：‎ ‎（1）若，，则；‎ ‎（2）是等比数列的前项和，则必有：；‎ ‎（3）函数的图像有对称轴；‎ ‎（4）是所在平面上一定点，动点P满足：，‎ ‎，则直线一定通过的内心；‎ 其中正确命题的序号为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，已知，‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若边上的高，求面积的最小值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 设数列满足：，， ，‎ ‎（1）设，求证：为等差数列；‎ - 10 -‎ ‎（2）设，且的前项和为，证明：.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形， 为等边三角形，，点为中点，平面平面.‎ ‎（1）求异面直线和所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知曲线的图形如图所示，其上半部分是半椭圆，下半部分是半圆，（），半椭圆内切于矩形，且交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）连接分别交于，求证：是定值.‎ - 10 -‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 设函数，‎ ‎（1）证明：是上的增函数；‎ ‎（2）设，当时，恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（是参数，是常数）‎ ‎（1）求的直角坐标方程和的普通方程；‎ ‎（2）若与有两个不同的公共点，求的取值范围.‎ - 10 -‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知：‎ ‎（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且，求的取值范围.‎ 体验 探究 合作 展示 长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期阶段（12月）‎ 考试数 学 试 题 （理）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B C A B C A D D C D 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13. 且 14. 15. 16. ①②‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.解析：（1）在中，，……..2分,由，都是锐角，所以，当时……5分 有最小值，故……..6分 ‎（2）设，则，……….8分 所以，即：，且，……分10‎ 所以：，当时“等号”成立 面积的最小值为………..12分 ‎18.解析：（1）由条件知：时，，所以：………….3分 - 10 -‎ 由于，即：，故是首项为，公差的等差数列…………5分 ‎（2）由（1）知：，………….6分 所以：…………8分 所以：‎ ‎………….12分 ‎19.解析：‎ ‎_‎ O ‎_‎ M ‎_‎ D ‎_‎ C ‎_‎ B ‎_‎ A ‎_‎ z ‎_‎ y ‎_‎ x ‎_‎ P 解：取的中点，连接，为等边三角形，‎ ‎，又平面平面，……2分 以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系. ，不妨设,依题意可得：‎ ‎……… 3分 ‎（1）,从而 ,‎ ‎……… 5分 于是异面直线和所成角的余弦值为………….6分 ‎（2）因为，所以是平面的法向量，……….8分 设平面的法向量为，又，‎ 由 即，令得…………. 10分 - 10 -‎ 于是 ………….11分 从而二面角的大小为. ……………12分 ‎20.解析 ‎（1）已知点在半圆上，所以，……………2分 当半圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，‎ 此时的面积最大.‎ 所以，由于，所以，由，‎ 所以…………4分 曲线C的方程为：或………5分 ‎（2），设，则有：：，‎ 令，，所以：‎ 同理：………8分 所以：‎ ‎，‎ 又由，得，代入上式得 - 10 -‎ ‎………12分 所以为定值 ‎21.解：若证明是上的增函数，只需证明在恒成立，‎ 即：-------4分 设，‎ 所以：在上递减，上递增，最小值 故：，所以：是上的增函数.------6分 ‎（2）由得：‎ 在上恒成立，------------8分 设, 则，‎ 所以在递增，递减，递增------------9分 所以的最小值为中较小的，，‎ 所以：，即：在的最小值为，--------11分 只需-------12分 ‎22. 解：（1）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线 依据切割线定理得 ………………2分 另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，‎ 同样依据切割线定理得 ………………4分 故 ………………5分 ‎（2）连结，∵BC为圆O直径，‎ ‎∴‎ 在RT△EBC中，有 ……………7分 又在中，由射影定理得 ‎ ……………10分 ‎23.解：（1）由极直互化公式得，所以；---------------2分 - 10 -‎ 消去参数得的方程： ----------------------4分 ‎（2）由（1）知是双曲线，是直线，把直线方程代入双曲线方程消去得：‎ ‎，-------------------------7分 若直线和双曲线有两个不同的公共点， 则，‎ 解得：-----------10分 ‎24.解：（1），所以，若，只需，即：---------------------5分 ‎（2）由于，所以，，又，所以，这样，所以---------------------10分 - 10 -‎