绥化九中2015--2016学年上学期高三理科数学学科月考试题
试卷分值：150分 答题时间：120分钟
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.复数（i是虚数单位），则|z|=( )
A.1 B. C. D.2
2.已知集合，则AB =( )
A. B. C. D.(-1，4)( )
3.已知,是第二象限角，则 ( )
A． B． C． D．
4.“a=-2”是“直线l1 :ax-y+3=0与l2：2x-(a+1)y+4=0互相平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.圆与直线相切于点，则直线l的方程为( )
A．
B．
C．
D．
6．下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是 ( )
A． B．
C． D．
7.在等差数列中，若，则的值为（ ）
A..20 B.22 C.24 D.28
8.已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
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9.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）
A.4π B.π C.π D.20π
10.设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（ ）
A. B.2 C.3 D.4
11．设函数在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.(-ln3,-ln2) B.(0,ln2) C.(ln2,ln3) D.(ln2,+ ∞)
12..若对于任意实数不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
15．已知变量满足,则的取值范围是 ．
16．直线与圆x2+y2=1相交于A、B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值为_____
三、解答题（共6小题，满分70分）
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17．数列各项均为正数，其前项和为，且满足 ．
（1）求证：数列为等差数列
（2）设， 求数列的前n项和，并求使 对所有的都成立的最大正整数m的值．
18.已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且
（1）求角A的值；
（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积。
19. 如图4，在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC＝，M为AB的中点．
（1）证明：AC⊥SB;
（2）求二面角S一CM－A的余弦值
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20.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
21．设函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果对于任意的，都有成立，试求a的取值范围．
22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．
（1）求曲线C1、C2的普通方程；
（2）若曲线C1、C2有公共点，求a的取值范围．
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高三理数答案
一． B D A A D D C D B C C D
二． 13. 14. 15. 16.
三． 17.：（1）∵，∴当n≥2时，，
整理得，（n≥2），（2分）又，
∴数列为首项和公差都是1的等差数列．
（2）由（1）
∵
∴
=
∴，依题意有，解得，
故所求最大正整数的值为3
18. 解：(Ⅰ)由
变形为
因为
所以
又
（Ⅱ）在中，，，
利用余弦定理，
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解得， 又D是的中点
图4
19．方法一：几何法
（Ⅰ）证明：如图4，取AC的中点D，连接DS，DB．
因为，，
所以，
所以，又，
所以．
（Ⅱ）解：因为，所以.
如图4，过D作于E，连接SE，则，
所以为二面角的平面角.
由已知有，又，，所以，
在中，，
所以．
方法二：向量法
（Ⅰ）证明：如图5，取AC的中点O，连接OS，OB．
因为，，
所以，且，
又，，
所以，所以．
图5
如图5，建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为，，
所以，
．
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（Ⅱ）解：因为M是AB的中点，所以，，
，设为平面SCM的一个法向量，
则得，所以，
又为平面ABC的一个法向量，
．
又二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
20.（1）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为
（3＋2，0），（3－2，0）．
故可设圆C的圆心为（3，t），
则有32＋（t－1）2＝（2）2＋t2，解得t＝1．
则圆C的半径为 ＝3．
则圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋（2a－8）x＋a2－2a＋1＝0．
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0．从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝． ①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a（x1＋x2）＋a2＝0．②
由①②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1．
21.（Ⅰ）函数的定义域为，，
当时，，函数在区间上单调递增；
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当a>0时，若，则，函数单调递增；
若，则，函数单调递减；
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（Ⅱ），，
可见，当时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减，
而，所以，在区间上的最大值是1，
依题意，只需当时，恒成立，
即恒成立，亦即；
令，
则，显然，
当时，，，，
即在区间上单调递增；
当时，，，，上单调递减；
所以，当x=1时，函数取得最大值，
故，即实数a的取值范围是
22.解答： 解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t可得x+y﹣a=0，
又曲线C2的极坐标方程为ρ=2，
∴=2，平方可得x2+y2=4，
∴曲线C1、C2的普通方程分别为：x+y﹣a=0，x2+y2=4；
（2）若曲线C1、C2有公共点，
则圆心（0，0）到直线x+y﹣a=0的距离d≤2，
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∴≤2，解得﹣≤a≤
∴a的取值范围为：
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