安徽省屯溪第一中学2016届高三数学上学期第四次（12月）月考试题 理.doc

屯溪一中 2016届高三12月份月考 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数的实部和虚部相等，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）‎ A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著 ‎ B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 ‎ C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 ‎ D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 ‎4.已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 在△ABC中，，则△ABC为（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 ‎6.已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.设为坐标原点，，若满足，则的最大值为（ ）‎ A．4 B．‎6 C．8 D．10‎ ‎8. 不等式组的解集记为，有下面四个命题：：，：，：，：.其中真命题是（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎9. 设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）‎ - 8 -‎ A． B． C． D．‎ ‎10.甲罐中5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）‎ A． B. 事件与事件相互独立 C． D.的值不能确定，它与中哪一个发生都有关 ‎11．设，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数中，常数那么的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13.已知向量是单位向量，若向量满足，则的取值范围是 .‎ ‎14.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)‎ ‎15.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 .‎ ‎16.若曲线在点处的切线与曲线相切，则a= ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设 均为正数,且.证明：（1）若 ,则；‎ ‎（2）是的充要条件.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 若为的三内角，且其对边分别为．若向量，，向量，，且.‎ ‎(1)求的值； (2)若，三角形面积，求的值．‎ - 8 -‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，曲线 （t为参数,且 ），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 （1）求与交点的直角坐标；（2）若与 相交于点A,与相交于点B，求最大值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求S的最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某中学号召学生在春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图．‎ ‎（1）求合唱团学生参加活动的人均次数； ‎ ‎（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率； ‎ - 8 -‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 10‎ ‎ 20‎ ‎ 30‎ ‎ 40‎ ‎50‎ 参加人数 活动次数 ‎（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，，满足，.‎ ‎(1)求，的值；‎ ‎(2)若各项为正的数列的前项和为，且有，设，求数列的前项和；‎ ‎(3)在(2)的条件下，证明：.‎ - 8 -‎ 屯溪一中 2016届高三12月份月考 数学（理科）答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D C C A B C A C B B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. -20 15. 5 16. 8‎ ‎16.分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：（I）因为 ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵向量，向量，且.‎ ‎∴， …………………………………………………………………3分 得，又，所以. …………………………………………5分 ‎（2），∴. ……………………………8分 又由余弦定理得：.………………………… 10分 - 8 -‎ ‎∴，所以. …………………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以(1)‎ 又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，‎ 由方程组 得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋‎16a=0．‎ 于是代入（1）式得：，；　‎ 令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 分析：（I）把与的方程化为直角坐标方程分别为,联立解 - 8 -‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．‎ ‎（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为．‎ ‎（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．‎ ‎（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知 ‎； ；‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的分布列：‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：(1)由 ，‎ 由代入可得，且.……………………………………………………2分 当时，（成立），当时，（舍去）.‎ - 8 -‎ 所以，.…………………………………………………………………………4分 ‎(2)，即.‎ 时， .‎ 所以，当时，由可得，‎ 整理得，.‎ 又得，且，‎ 所以是首项为1，公差为1的等差数列，即，.‎ ‎. ………………………………………………………………………………6分 ‎，‎ ‎，‎ 由上两式相减得 .‎ ‎. ……………………………………………………………………8分 ‎(3)由(2)知，只需证.设(且).‎ 则，‎ 可知在上是递减，.‎ 由，则，‎ 故. …………………………………………………………………………12分 - 8 -‎