广东省广州增城市增城中学2016届高三数学12月五校联考试题 理.doc

‎2015-2016学年度12月月考五校联考高三年级数学（理）科试题 本试卷共4页， 24小题（其中22，23，24是选作题），满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．‎ ‎　　2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．‎ ‎　　3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．‎ 参考公式：①锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．‎ ‎②方差，其中为样本的平均数．‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知集合，．若，则实数的值是( ）．‎ ‎ A． B． C．或 D．或或 ‎2.在复平面内，复数对应的点位于( ）．‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：‎ ‎ ‎ 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( ）．‎ ‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ‎4．已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为( ）．‎ A． B． C． D． - 10 -‎ ‎5.已知函数 ，在区间上随机取一个实数，若事件“”发生的概率为，则的值为( ）．‎ ‎ A． B． C． D． ‎6.已知实数满足约束条件，则的取值范围是( ）．‎ A． B． C． D． ‎7．函数的部分图象如图所示,则的值分别是( ）．‎ 开始 S=1，k=1‎ k>a?‎ S=S+ k=k+1‎ 输出S ‎ 结束 是 否 A． B． C． D．‎ ‎8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是，则( ）．‎ A． B． C． D． ‎9．已知数列的首项，数列为等比数列，且，若，则( ）．‎ ‎ A． B． C． D． ‎10.设点为球的球面上三点，为球心．球的表面积为，且是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为( ）．‎ A．12　　 B．‎12‎ 　C. 24　 D. 36 ‎11.已知的面积为1，为直角顶点，设向量，，，则的最大值为( ）．‎ ‎　　A．1　　　 B．2　　　 C. 3　　　 D. 4‎ ‎12. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，‎ - 10 -‎ 则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( ）．‎ A． B． C． D． 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13．若的展开式中项的系数为，则 ．‎ ‎14．函数（）的最大值为 ．‎ ‎15．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16．在中，，，则 ．‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的值和的表达式.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值．即日均值在微克／立方米以下空气质量为一级；在微克／立方米——微克／立方米之间空气质量为二级；在微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．‎ ‎(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天的平均值和方差；‎ ‎(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求的分布列和数学期望．‎ - 10 -‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，点是的中点，∥平面. ‎ ‎（1）求证：点是的中点；‎ ‎（2）若时，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的右焦点，且经过点. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相切，过作，垂足为，求证：为定值（其中为坐标原点）. ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中为实数．‎ ‎(1)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. ‎ ‎22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，为⊙的直径，为圆弧的中点，为弦的中点. ‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）求证：. ‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 - 10 -‎ ‎ 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎ （l）求曲线与的交点的直角坐标；‎ ‎（2）设点分别为曲线，上的动点，求的最小值．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知，．‎ ‎ （1）当时，解不等式；‎ ‎ （2）若恒成立，求的取值范围. ‎ - 10 -‎ ‎2015-2016学年度12月月考五校联考高三年级数学（理）科试题答案 一. CDBAD DAACB AA 二.13．；14．；15．；16． ‎17．解：（1），.…5分；（2），即： ‎ 所以：当时，，当时， ………6分 ，， 所以： ………8分 时，；时，.‎ 即. ………12分 ‎18. 解：（1） ………4分 根据样本估计今年9月份该市区每天的平均值为：微克／立方米，方差为137。………5分 ‎（2）从茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则可能取的值为，其中，，，…10分 所以的分布列为 ，的数学期望为。………12分 ‎19．证明：（1）取的中点，连结，，设 ………1分 - 10 -‎ 由作图过程易得：四边形为平行四边形， 在中，点是的中点，点是的中点，………3分 又∥平面. 平面，且平面平面 ，又 四边形为平行四边形， 点是的中点。 ………6分 ‎（2）由（1）知，又平面 平面 又是边长为的等边三角形，点是的中点，‎ 且 如图建立空间直角坐标系，设，………7分 则，，，， ，，由可知：………8分 由轴平面可得：平面的一个法向量………9分 设平面的一个法向量为，由 得： 令，则， ………10分 ，………11分 所以，平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为 ………12分 ‎20．解：（1）由题意可设椭圆的左焦点为，则半焦距 ………1分 ‎ 由椭圆定义可知： - 10 -‎ 所以，，所以椭圆的方程为 ………4分 ‎（2）①当直线的斜率不存在时，的方程为：，或，此时；‎ ②当直线的斜率为时，的方程为：，或，此时；…5分 ③当直线的斜率存在且不为时，设为，其方程可设为（）‎ ，直线的方程可设为： 由消去可得： ………6分 直线与椭圆相切， 整理得：（*） ………7分 由，解得 ………9分 所以 将（*）式代入： ‎ 综上所述：，为定值. ………12分 ‎21．解：⑴时，，， ………‎ - 10 -‎ ‎1分 ‎，又，所以切线方程为. ………4分 ‎⑵①当时，，则 令，， ………6分 再令，‎ 当时，∴在上递减，∴当时，，‎ ‎∴，所以在上递增，，所以………8分 ‎②时，，则 由①知当时，在上递增，当时，，‎ ‎，所以在上递增，∴，∴；………11分 综合①②得：.………12分 ‎22．证明：（1）（略）5分；（2）因为为圆弧的中点，所以，又，‎ 则，又因为 所以∽，所以，‎ ，，………10分 ‎23．（l）曲线，消去参数，得：，①‎ 曲线②，‎ 联立①②，消去可得：或（舍去），所以………‎ - 10 -‎ ‎5分 ‎（2）曲线，是以为圆心，半径的圆 设圆心，点到直线的距离分别为，则： ‎ ，所以的最小值为．………10分 ‎24．解：（1）当时， ，当时，不等式不成立；当时，由，得；当x＞2时，不等式必成立．‎ 综上，不等式的解集为． ………5分 ‎（2）因为，当且仅当时取等号．‎ 所以的最大值为12．故k的取值范围是．………10分 - 10 -‎