高2013级高三第三次段考试题
数 学
（全卷共120分钟，满分150分。命题人：）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填入到答题卷相应的方格内。）
1、已知集合A＝{x|x2+x－2≤0}，集合B为正整数集，则A∩B等于
A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{1,2} D．{1}
2、设，且，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
3、已知向量，．若向量满足，，则
A． B． C． D．
4、已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前6项的和为
A.126 B．63 C.64 D．127
5、若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值为
A．3 B．4 C．5 D．6
6、已知命题p：若a>b>0，则ax>bx恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下面选项中真命题是
A．()∧() B．()∨()
C．p∨() D．p∧q
7、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为8，则输出的值为
A、546 B、547 C、1067 D、1066
8、函数y＝ln (2-x-x2)的单调递减区间为
A．(－∞,] B．(-2,] C．[，＋∞) D．(，1)
9、设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，a＋b＝4，则＋的最大值为
A．2 B. C．1 D.
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10、（理科）已知等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围是( )
A. B. C. D.
（文科）设D是函数定义域内的一个子区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填入到答题卷上相应的横线上。）
11、设i为虚数单位，则＝ ▲ ．
12、已知f(x)是定义在R上的奇函数，并且f(x＋2)＝，当0≤x≤3时，f(x)＝x，则f(-105)＝ ▲ ．
13、在棱长为2的正方体内任取一点，则这点到正方体某一顶点的距离小于1的概率为 ▲ ．
14、（理科）已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ▲ ．
（文科）已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ▲ ．
15、（理科）在梯形中，，，为梯形所在平面上一点，且满足，，为边上的一个动点，则的最小值为 ▲ ．
（文科）已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cosα，sinα)，则向量与向量的夹角的取值范围是 ▲ ．
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三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题12分）
在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数；
（Ⅱ）若等级分别对应分,分,分,分,分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）（理科）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为. 在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，设这两人中两科成绩均为的人数为，求的分布列及数学期望.
（文科）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为. 在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.
17. (本小题满分12分)
四边形的内角与互补,,,.
（Ⅰ）求角的大小和线段的长度;
(Ⅱ)求四边形的面积.
18、（本小题12分）
（理科）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：。
（文科）已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2)。
（1）求{an}的通项公式
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(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：。
19、（本小题12分）
已知函数，其导函数的图象过原点.
(Ⅰ)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(Ⅱ)若存在，使得，求的最大值。
20、（本小题13分）
已知向量，函数的图象的一条对称轴为直线。
（1）求a的值；
（2）求函数的单调增区间；
（3）作出函数在上的图象简图（列表，画图）。
21、（本小题14分）
已知函数.
（I）当时，求函数的单调增区间；
（II）若函数在上的最小值为，求实数的值；
（Ⅲ）若函数在上恒成立，求实数的取值范围．
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高2013级高三第三次段考试题答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
B
A
B
A
D
A
D（理）B（文）
二、 填空题
11、 3-3i 12、 -1,3 13、14、 (0,1) 15、（理）（文）
10
10、
16、【解析】 (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有人，
所以该考场有人
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为
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.................................3分
0
1
2
P
（理）
17、
18、（1）∴当n＝1时，a1＝S1＝ (an>0)，∴a1＝1.
当n≥2时，由得2an＝a＋an－a－an－1.
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2)．
∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．（理）
（文）∵an＝an－1 (n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.
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以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.当n＝1时也满足此等式，∴an＝.
（2)（理）（文）
证明 当n＝1时，＝1
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