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屯溪一中2015届高三上学期数学第四次月考试题（理科含答案）‎ ‎【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。‎ ‎【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎【题文】1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【知识点】复数的基本概念．L4‎ ‎【答案】【解析】A 解析：由，得．‎ ‎∴在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．‎ ‎【思路点拨】由复数的除法运算化简复数，得到对应点的坐标得答案．‎ ‎【题文】2. 命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是 （ ）‎ A．和不为偶数的两个整数都为偶数 B．和为偶数的两个整数都不为偶数 C．和不为偶数的两个整数不都为偶数 D．和为偶数的两个整数不都为偶数 ‎【知识点】命题的否定．A2‎ ‎【答案】【解析】D 解析：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选：D．‎ ‎【思路点拨】直接利用命题的否定写出结果即可．‎ ‎【题文】3．已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法．A1 ‎ ‎【答案】【解析】B 解析：={x|（x+3）（x﹣1）＜0}={x|﹣3＜x＜1}，‎ ‎={x|﹣3＜x＜1}∪{x|x≤﹣3}={x|x＜1}，∴{x|x≥1}．故选B．‎ ‎【思路点拨】先利用分式不等式解法化简，再进行计算，得出结果．‎ ‎【题文】4.“”是“函数的最小正周期为”的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【知识点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．A‎2 C3‎ 16第 页 ‎【答案】【解析】A 解析：函数，它的周期是，;显然“”可得“函数的最小正周期为”‎ 后者推不出前者，故选A．‎ ‎【思路点拨】化简，利用最小正周期为，求出，即可判断选项．‎ ‎【题文】5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【知识点】定积分在求面积中的应用．B13‎ ‎【答案】【解析】D 解析：作出对应的图象如图：‎ 则对应的区域面积，故选：D ‎【思路点拨】先根据题意画出直线及所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式．‎ ‎【题文】6．函数的图像大致为（ ）‎ ‎【知识点】函数的图象．B8‎ ‎【答案】【解析】B 解析：因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A．‎ 当x=1时，y＞0，所以排除C．‎ 16第 页 因为，所以当x→+∞时，y→1，所以排除D．‎ 故选B．‎ ‎【思路点拨】利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可．‎ ‎【题文】7. 在中，是边上的一点，．‎ 若记，则用表示所得的结果为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【知识点】平面向量的基本定理及其意义．F2‎ ‎【答案】【解析】C 解析：如图，B，D，C三点共线，存在μ，使；‎ ‎∴；∴；‎ 又；∴；∴；‎ ‎∴；∴．‎ 故选C．‎ ‎【思路点拨】B，D，C三点共线，所以根据已知条件对于，能够得到，所以得到，所以．‎ ‎【题文】8．以表示等差数列的前项的和，若，则下列不等关系不一定成立的是（ ） ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【知识点】等差数列的性质．D2‎ ‎【答案】【解析】B 解析：∵表示等差数列的前项的和，，‎ 16第 页 ‎∴S6﹣S5=a6＜0，则有可能成立，即A有可能成立；‎ ‎∵‎5a5﹣（a1+‎6a6）=5（a1+4d）﹣[a1+6（a1+5d）]=﹣‎2a1﹣10d=﹣‎2a6＜0，‎ ‎∴不成立，即B不成立；‎ ‎∵a5＞0，a4＞0，a3＞0，∴有可能成立，即C是有可能成立；‎ ‎∵a3+a6+a12﹣‎2a7=（‎3a1+18d）﹣（‎2a1+12d）=a1+6d=a7＜0，∴，故D成立．故选：B．‎ ‎【思路点拨】a5＞0，a6＜0，这个数列是递减数列，公差d＜0．由此入手对各个选项逐个进行分析，能求出结果．‎ ‎【题文】9． 已知二次函数的导数为，，对于任意的实数都有，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【知识点】导数的运算．B11‎ ‎【答案】【解析】B 解析：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；‎ ‎∵对于任意实数x都有，∴a＞0且b2﹣‎4ac≤0，‎ ‎∴b2≤‎4ac，∴c＞0；‎ ‎∴，‎ 当a=c时取等号．故选C．‎ ‎【思路点拨】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣‎4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．‎ ‎【题文】10．已知函数，则关于的方程（）的根的个数不可能为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【知识点】函数与方程的综合运用．B9‎ ‎【答案】【解析】A 解析：画图，和y=2x2+x图象，‎ 16第 页 结合两个函数的图象可知或a＞3，4个根，‎ ‎，5个根，，6个根．故选A．‎ ‎【思路点拨】先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．‎ ‎【题文】二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎【题文】11.在极坐标系中，点到直线的距离为 ．‎ ‎【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3‎ ‎【答案】【解析】 解析：点P化为直角坐标P（0，1）．‎ 直线化为2x﹣y+2=0．‎ ‎∴点P到直线的距离d==．故答案为：．‎ ‎【思路点拨】点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x﹣y+2=0．再利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【题文】12.已知平面向量满足：，且，则向量与的夹角为 ．‎ ‎【知识点】数量积表示两个向量的夹角．F3‎ ‎【答案】【解析】 解析：将两边平方，得，化简整理得,‎ 因为，‎ 16第 页 由向量的夹角公式，所以向量与的夹角为.‎ 故答案为：.‎ ‎【思路点拨】将两边平方，整理得出，再根据，求出夹角余弦值，最后求出夹角大小．‎ ‎【题文】13.在数列中，若，且、、、成公比为的等比数列，、、成公差为的等差数列，则的最小值是 ． ‎ ‎【知识点】等差数列与等比数列的综合．D5‎ ‎【答案】【解析】 解析：∵； 、、成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，‎ 此时a1=1，且、、、成公比为的等比数列，必有q＞0，‎ ‎∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，故答案为。‎ ‎【思路点拨】利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．‎ ‎【题文】14.把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 ．‎ ‎【知识点】函数的图象变换．C4‎ ‎【答案】【解析】 解析：把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y=sin（x+）的图象；‎ 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）的图象；‎ 故得到的图象所表示的函数解析式为，‎ 故答案为：．‎ ‎【思路点拨】由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．‎ 16第 页 ‎【题文】15.定义全集的子集的特征函数为，这里表示集合在全集中的补集．已知，给出以下结论：‎ ①若,则对于任意，都有≤；‎ ②对于任意，都有；‎ ③对于任意，都有；‎ ④对于任意，都有．‎ 其中正确的结论有 ．（写出全部正确结论的序号）‎ ‎【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1‎ ‎【答案】【解析】①②③ 解析：∵，fB（x）=，‎ 而CUA中可能有B的元素，但CUB中不可能有A的元素 ‎∴≤，即对于任意x∈U，都有fA（x）≤fB（x）故①正确；‎ 对于B，∵，‎ 结合fA（x）的表达式，可得f∁UA（x）=1﹣fA（x），故②正确；‎ 对于C，fA∩B（x）==•=fA（x）•fB（x），‎ 故③正确；‎ 对于D，fA∪B（x）=‎ 当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故fA∪B（x）=1，‎ 而fA（x）=1且fB（x）=0，可得fA∪B（x）≠fA（x）•fB（x）‎ 由此可得④不正确．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎【思路点拨】根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对①②③④各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．‎ ‎【题文】三．解答题：（本大题共6小题，共75分）‎ ‎【题文】16．（本小题满分12分）‎ 已知函数，点、分别是函数图像上的最高点和最低点．‎ ‎（1）求点、的坐标以及的值；‎ 16第 页 ‎（2）设点、分别在角、（）的终边上，求的值．‎ ‎【知识点】函数的图象变换；平面向量数量积的运算．C‎4 F3‎ ‎【答案】【解析】（1）-2；（2）‎ 解析：（1）∵，∴，‎ ‎∴．‎ 当，即时，f（x）取得最大值1，‎ 当，即时，f（x）取得最小值﹣2．‎ 因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，﹣2）．‎ 则,．‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵点A（0，1）、B（4，﹣2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，‎ 则， ，，‎ 则sin2β=2sinβcosβ=，‎ cos2β=2cos2β﹣1=．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎【思路点拨】（1）由x的范围求出的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则 16第 页 的值可求；（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得的值．‎ ‎【题文】17．（本小题满分12分）‎ 在中, ，,，为内一点,.‎ ‎(1)若,求；‎ ‎(2)若,求的面积.‎ ‎【知识点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．C8‎ ‎【答案】【解析】(1) ; (2) .‎ ‎ 解析：（1）∵在中, ，,，‎ ‎∴sin∠PBC ，可得∠PBC=60°，BP=BCcos60°=．‎ ‎∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°，‎ ‎∴△APB中，由余弦定理PA2=PB2+AB2﹣2PB•AB•cos∠PBA，‎ 得PA2= ，‎ 解得（舍负）．‎ ‎（2）设∠PBA=α，可得∠PBC=90°﹣α，∠PAB=180°﹣∠PBA﹣∠APB=30°﹣α，‎ 在Rt△BPC中，PB=BCcos∠PBC=cos（90°﹣α）=sinα，‎ ‎△ABP中，由正弦定理得，‎ ‎∴sinα=2sin（30°﹣α）=2（cosα﹣sinα），‎ 化简得4sinα=cosα，‎ ‎∴结合α是锐角，解得sinα=，‎ 16第 页 ‎∴PB=sinα=，‎ ‎∴△ABP的面积S=AB•PB•sin∠PBA=．‎ ‎【思路点拨】（1）在Rt△BPC中利用三角函数的定义，算出sin∠PBC=，可得∠PBC=60°，从而BP=BCcos60°=．然后在△APB中算出∠PBA=30°，利用余弦定理即可算出PA的大小．（2）设∠PBA=α，从而算出PB=sinα，∠PAB=30°﹣α．在△APB中根据正弦定理建立关于α的等式，解出sinα的值，得到PB长．再利用三角形面积公式加以计算，即可得出△ABP的面积S．‎ ‎【题文】18．（本小题满分12分）‎ 设公差不为的等差数列的首项为，且、、构成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，，求的前项和．‎ ‎【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．D4 D5‎ ‎【答案】【解析】(1) an＝2n－1； (2) Tn＝3－． ‎ ‎ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则 ‎∵a2，a5，a14构成等比数列，‎ ‎∴a＝a‎2a14，‎ 即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，‎ 解得d＝0（舍去），或d＝2．‎ ‎∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．………………………………………4分 ‎(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，‎ 当n＝1时，＝；‎ 当n≥2时，＝1－－(1－)＝．‎ ‎∴＝，n∈N*．‎ 由（Ⅰ），知an＝2n－1，n∈N*，‎ ‎∴bn＝，n∈N*．‎ 又Tn＝＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋…＋＋．‎ 16第 页 两式相减，得 Tn＝＋(＋＋…＋)－＝－－，‎ ‎∴Tn＝3－．……………………………………………………………12分 ‎【思路点拨】(1) 设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an； (2) 由条件可知，n≥2时，＝1－－(1－)＝，再由（Ⅰ）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn.‎ ‎【题文】19．（本小题满分12分）‎ 对于定义域为上的函数，如果同时满足下列三条：①对任意的 ，‎ 总有≥；②；③若≥，≥，≤，都有 ‎≥成立，则称函数为理想函数．‎ ‎(1) 若函数为理想函数，求的值；‎ ‎(2) 判断函数（）是否为理想函数，并给出证明；‎ ‎(3) 若函数为理想函数，假定存在，使得，‎ 且，求证：．‎ ‎【知识点】函数的值；抽象函数及其应用．B1 B14‎ ‎【答案】【解析】(1) ； (2) 见解析；(3)见解析.‎ ‎ 解析：（1）取得≥，则≤，‎ 又≥，故；‎ ‎（2）当时，函数≥，满足条件①；又满足条件②；‎ 若≥，≥，≤，‎ 则≥，满足条件③，故函数是理想函数．‎ ‎（3）由条件③，任给，当时，，且≥≥．‎ 若，则≤，矛盾．‎ 16第 页 若，则≥，矛盾．‎ 故．‎ ‎【思路点拨】（1）取可得≥⇒≤，由此可求出f（0）的值．（2）在满足条件①≥，也满足条件②．若≥，≥，≤，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．（3）由条件③知，任给，当时，，且≥≥．由此能够推导出．‎ ‎【题文】20．（本小题满分13分）‎ 现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为.‎ ‎(1) 求出、的值，并写出与≥的关系式；‎ ‎(2) 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎(3) 当≥时，证明：.‎ ‎【知识点】数列与不等式的综合．D5 E9‎ ‎【答案】【解析】(1) ,， ;(2) (3) 见解析.‎ ‎ 解析：（1）,， ‎ 第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，‎ ‎∴当≥时， ……5分 ‎（2）由=－＋得，，‎ 又，则数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ 从而，故. …………9分 ‎（3）.当≥为奇数时, 则为偶数 16第 页 ‎＜‎ ‎ ‎ 当≥为偶数时, 则为奇数,从而 ‎ ‎ 综上，当≥时,. …………分 ‎【思路点拨】（1）第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，由此能求出,，即可写出与≥的关系式．‎ ‎（2）由=－＋得，，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列.，从而能求出．‎ ‎（3）当≥为奇数时, 则为偶数，；当≥为偶数时, 则为奇数,从而 ，由此能证明当≥时,.‎ ‎【题文】21．（本小题满分14分）‎ 16第 页 已知函数，（）.‎ ‎(1) 若时，函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎(2) 在（1）的结论下，设函数的最小值；‎ ‎(3) 设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点 作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定.B11 B‎12G4‎ ‎【答案】【解析】(1) (2) 当当 (3) C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.‎ ‎ 解析：（1）依题意：‎ ‎∵上是增函数，‎ ‎∴恒成立， ‎ ‎∴∵ ∴b的取值范围为 …………4分 ‎（2）设，即 ，‎ ‎∴当上为增函数，当t=1时，‎ 当 …………7分 当上为减函数，当t=2时，‎ 综上所述，当 16第 页 当 ‎ ………8分 ‎（3）设点P、Q的坐标是 则点M、N的横坐标为 C1在M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，‎ 即 则 ‎ ，‎ ‎ ‎ 设…………………………①‎ 令则 ‎∵ ∴ ‎ 所以上单调递增，故 ， 则，‎ 这与①矛盾，假设不成立,‎ 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行． .……13分 ‎【思路点拨】(1) 根据时，函数在其定义域内是增函数，知道 h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；(2)‎ 16第 页 ‎ 先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可； (3) 先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．‎ 16第 页