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日照一中2015届高三数学12月检测试题（有答案文科）‎ 文 科 数 学 ‎【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思 辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.‎ ‎【题文】第I卷(共50分)‎ ‎【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎【题文】1.设集合，则 A. B. C. D.‎ ‎【知识点】交、并、补集的混合运算．A1‎ ‎【答案】【解析】B 解析：,∴ ,又∵ ,∴.故选B.‎ ‎【思路点拨】利用集合的并集定义，求出；利用补集的定义求出．‎ ‎【题文】2.若角的终边过点，则的值为 A. B. C. D.‎ ‎【知识点】任意角的三角函数的定义．C1‎ ‎【答案】【解析】B 解析：因为角的终边过点，所以，‎ 所以故选B.‎ ‎【思路点拨】利用任意角的三角函数的定义可求得，再利用二倍角的余弦即可求得答案．‎ ‎【题文】3.设为平面，为直线，则的一个充分条件是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【知识点】直线与平面垂直的判定．G5‎ ‎【答案】【解析】D 解析：对于选项A：，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；‎ 14第 页 对于选项B：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；‎ 对于选项C：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；‎ 对于选项D：因为，所以，又因为所以.故选D ‎【思路点拨】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．‎ ‎【题文】4.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎ ‎【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。C4‎ ‎【答案】【解析】C 解析：由题意知，，故选C.‎ ‎【思路点拨】由已知中已知函数的最小正周期为，我们易得到函数f（x）、g（x）的解析式，根据函数图象平移变换的法则，我们可以求出平移量，进而得到答案．‎ ‎【题文】5.已知函数，则 A. B‎.0 ‎ C.1 D.2‎ ‎【知识点】分段函数求值；对数的运算.B1 B7‎ ‎【答案】【解析】D 解析：由得，即，于是.故选D.‎ ‎【思路点拨】先由得出，再计算出结果即可。‎ ‎【题文】6.函数的图象大致为 14第 页 ‎【知识点】函数的图象．B8‎ ‎【答案】【解析】A 解析：首先由为奇函数，得图象关于原点对称，排除C、D，又当时，知，选A.‎ ‎【思路点拨】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．‎ ‎【题文】7.已知四棱锥的三视图如图所示，则围成四棱锥的五个面中，最大的面积是 A.3 B.6‎ C.8 D.10 ‎ ‎【知识点】由三视图求面积、体积．G2‎ ‎【答案】【解析】C 解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2,4，底面面积为8，‎ 可以求得四个侧面的面积分别为，于是最大面积为8. 故选C.‎ ‎【思路点拨】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出棱锥的高及侧面SBC的斜高，代入面积公式计算，比较可得答案．‎ ‎【题文】8.在R上定义运算：.若关于的不等式的解集是集合 14第 页 的子集，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【知识点】一元二次不等式的应用．E3‎ ‎【答案】【解析】D 解析：由题意得，，‎ 所以，即. 当时，不等式的解集为空集，符合题意；‎ 当时，不等式的集解为，又解集为的子集，所以，得；‎ 当时，不等式的集解为，又解集为的子集，所以，‎ 得.综上所述，的取值范围是..故选D.‎ ‎【思路点拨】首先理解*运算的定义，得到不等式的具体形式，然后解不等式．不等式中有参数a，需要对参数的取值进行讨论，得到不等式的解集，然后再根据子集关系，确定出a的范围．‎ ‎【题文】9.实数满足，若的最大值为13，则实数k的值是 A.2 B. C. D.5‎ ‎【知识点】简单线性规划.E5‎ ‎【答案】【解析】C 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由得，所以直线的截距最大，对应的也取得最大值，‎ 即平面区域在直线的下方，且(当时，经验证不合 题意).平移直线，由图象可知当直线经过点A时，‎ 直线的截距最大， 此时取最大值13，由解得，‎ 14第 页 即，此时，解得故选C.‎ ‎【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【题文】10.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，数列满足（其中为的前项和），则 A.3 B‎.2 ‎ C. D.‎ ‎【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．B4‎ ‎【答案】【解析】A 解析：由函数为奇函数得，又所以，所以，，‎ 即函数是以3为周期的周期函数. 由两式相减并整理得，，即，所以数列是以2为公比的等比数列，首项为，故，所以，‎ 所以故选A.‎ ‎【思路点拨】先由函数f（x）是奇函数和，推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．‎ ‎【题文】第II卷（共100分）‎ ‎【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎【题文】11.设向量是夹角为60°的两个单位向量，则___________.‎ ‎【知识点】向量的模．F2‎ ‎【答案】【解析】 解析：因为向量是夹角为60°的两个单位向量，所以可得：‎ 故答案为：‎ ‎【思路点拨】由已知中，向量是夹角为60°的两个单位向量，根据公式可以求出向量的模.‎ 14第 页 ‎【题文】12.在中，角A，B，C的对边分别为，且，面积，则b=___________.‎ ‎【知识点】三角形面积公式;余弦定理.C8‎ ‎【答案】【解析】5 解析：由面积公式，带入已知条件得，再由余弦定理得故答案为：5.‎ ‎【思路点拨】先由面积公式，带入已知条件得，再由余弦定理可解得b.‎ ‎【题文】13.已知函数，若函数的图象在点处切线的倾斜角为，则___________.‎ ‎【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11‎ ‎【答案】【解析】4 解析：由题意，函数在点处的切线斜率是，即，又，‎ 所以，即.故答案为：4.‎ ‎【思路点拨】先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可．‎ ‎【题文】14.请阅读下列材料：‎ 若两个正实数满足，求证：.‎ 证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以.‎ 根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论是__________________.‎ ‎【知识点】类比推理．M1‎ ‎【答案】【解析】 解析：类比给出的材料，构造函数，由对一切实数，恒有，所以，即可得到结论.故答案为：‎ ‎【思路点拨】类比给出的材料，构造函数，由对一切实数，恒有，所以，即可得到结论.‎ 14第 页 ‎【题文】15.已知函数满足，当时，在区间上，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【知识点】函数零点的判定定理．B9‎ ‎【答案】【解析】 解析：当时，，‎ 则.在坐标系内画出分段函数图象：‎ ‎ 由题意可知：.当直线与曲线相切时，‎ 解得；所以的取值范围是.故答案为：‎ ‎【思路点拨】根据题意画出图形，结合.当直线与曲线相切时，可解得；进而求出的取值范围。‎ ‎【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.‎ ‎【题文】16.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）求函数的单调递减区间；‎ ‎（II）当时，函数的最小值是，求的最大值.‎ ‎【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．C‎3 C7‎ ‎【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） ‎ ‎ 解析：（Ⅰ）‎ ‎，‎ 14第 页 令，得，‎ 的单调递减区间 . ……6分 ‎（Ⅱ），,‎ ‎； ，令 ‎ 所以. ……………12分 ‎【思路点拨】（Ⅰ）利用三角恒等变换，将函数整理，即可求得函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）依题意，即可求得a的值，继而可得的最大值．‎ ‎【题文】17.（本小题满分12分）‎ 已知函数在区间上有最小值1和最大值4，设.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.‎ ‎【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．B5 B9‎ ‎【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎ ‎ 解析：（Ⅰ），因为，所以在区间上是增函数，‎ 故，解得． …………………………6分 ‎（Ⅱ）由已知可得，所以,可化为，‎ 化为，令，则，因，故，‎ 记，因为，故， ‎ 所以的取值范围是 . ……………………12分 14第 页 ‎【思路点拨】（Ⅰ）由函数，，所以在区间上是增函数，故，由此解得a、b的值．（Ⅱ）不等式可化为，故有，，进而求出的最大值，从而求得k的取值范围．‎ ‎【题文】18.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中.平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2,E为PC的中点，CB=3CG..‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）AD边上是否存在一点M，使得PA//平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，说明理由.‎ ‎【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．G‎4 G5 G7‎ ‎【答案】【解析】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 ‎ 解析：(Ⅰ)证明：因为平面，所以. ‎ ‎ 又因为是正方形, 所以 ‎ 又, 所以平面. ‎ 又因为面，所以 ………………………4分 ‎(Ⅱ) 连结、交于点，连结，延长交于点，‎ 14第 页 则//平面. ‎ 证明如下：‎ 因为为的中点，是的中点，‎ 所以//， ……………………………………8分 又因为平面， ‎ 所以//平面. ‎ 又≌,所以 所以所求的长为 …12分 ‎【思路点拨】（Ⅰ）由PD⊥BC，BC⊥CD，推出BC⊥平面PCD，从而证明 PC⊥BC．（Ⅱ）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG，由三角形相似可得 ‎【题文】19.（本小题满分12分）‎ 设公比大于零的等比数列的前项和为，且，数列的前项和为，满足.‎ ‎（I）求数列、的通项公式；‎ ‎（II）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围.‎ ‎【知识点】等差数列与等比数列的综合．D5‎ ‎【答案】【解析】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎ 解析：（Ⅰ）当时，经验证不符合题意；‎ 当且时，由，，解得，‎ 又, 所以. …………………3分 又 两式相减得（，‎ 所以,‎ 14第 页 当时，也满足上式，所以． …………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，要使数列是单调递减数列，‎ 则对恒成立， ‎ 即恒成立，所以， ……10分 ‎ 因为，‎ 所以当或时， 所以． ……………12分 ‎【思路点拨】（Ⅰ）利用，求出数列的公比，即可求数列的通项公式；通过，推出，利用累积法求解{bn}的通项公式．（Ⅱ）求出等比数列的前n项和，化简，推出Cn+1﹣Cn，利于基本不等式求出数列是单调递减数列，求实数λ的取值范围．‎ ‎【题文】20.（本小题满分13分）‎ 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：‎ ‎，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.‎ ‎（I）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？‎ ‎（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．B10 E6‎ ‎【答案】【解析】（Ⅰ）元；（Ⅱ）吨 ‎ 解析：（Ⅰ）当时，设该项目获利为，则 14第 页 ‎ . …………………………4分 所以当时，.因此，该项目不会获利.‎ 当时，取得最大值，‎ 所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损. ………6分 ‎（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：‎ ‎ . ………………8分 ‎ 当时，‎ ‎ 所以当时，取得最小值; ……………………10分 ‎ 当时，‎ ‎ 当且仅当，即时，取得最小值 ‎ 因为，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 ……13分 ‎【思路点拨】（Ⅰ）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（Ⅱ）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．‎ ‎【题文】21.（本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）当时，求的极值；‎ ‎（II）当时，求的单调区间；‎ ‎（III）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.‎ 14第 页 ‎【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．B11 B12‎ ‎【答案】【解析】（Ⅰ）极小值为无极大值.（Ⅱ）当时，的递减区间为和，递增区间为；当时，在上单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为 （Ⅲ）‎ ‎ 解析：（Ⅰ）当时，，.‎ 令，得令，得，即在上递减，在上递增，‎ 所以的极小值为无极大值. …………………4分 ‎（Ⅱ），‎ ‎ 当即时，‎ 令, 得或.令得 ‎ 当即时，‎ 令, 得，令, 得 当时，.‎ 综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；‎ 当时，在上单调递减；‎ 14第 页 当时，的递减区间为和，递增区间为.…9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在区间上单调递减.‎ 当时，取得最大值；当时，取得最小值.‎ ‎.‎ 因为恒成立，‎ 即，整理得，‎ 又所以恒成立. ‎ 由 得所以………………14分 ‎【思路点拨】（Ⅰ）当时，，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意，恒有成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．‎ 14第 页