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黄冈市2015年高三数学1月质量检测（理科有答案）‎ ‎2015.1.12‎ 第Ⅰ卷（选择题　共50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。）‎ ‎1．已知集合，i为虚数单位，，若，则复数z的共轭复数的虚部是 A． B． C． D．‎ ‎2．对于一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则 A． B． C． D．‎ ‎3．下列命题中，正确的一个是 A． ‎ B． ‎ C．若成立的必要不充分条件，则 成立的充分不必要条件 D．若，则 ‎4．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，‎ 得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是 第4题图 A． B． C． D．‎ ‎6．已知O是坐标原点，点，若点为平面区域 8‎ 上的一个动点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎7．设分别是等差数列的前n项和，若，则 A． B． C． D．‎ ‎8．若a和b是计算机在区间上产生的随机数，那么函数的值域为R（实数集）的概率为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知双曲线，直线过点，若原点O到直线的距离为（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为 A． B． C． D．2‎换 ‎10.定义：如果函数在上存在满足，则称函数是上的“双中值函数”。已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题（5×5＝25分）‎ ‎11．已知点，则与向量方向相反的单位向量的坐标为 。‎ ‎12．函数的最大值为 。‎ ‎13．设函数则时，表达式中的展开式中的常数项为　‎ 8‎ ‎ 。（用数字作答）‎ ‎14．定义：曲线C上点到直线的距离的最小值称为曲线C到的距离。已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数 。‎陈题 ‎15．设集合，对M的任意非空子集A，定义中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的的和为，则① 　　　　　　；② 　　　。‎ 三、解答题（75分）‎ ‎16．（本题满分12分）设函数 ‎（Ⅰ）求函数的最大值及此时x的取值集合；‎ ‎（Ⅱ）设为的三个内角，若，，且C为锐角，求的值。‎ ‎17．（本题满分12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为和P，若在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为 ‎（Ⅰ）求P的值；‎ ‎（Ⅱ）设系统乙在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的数学期望 ‎18．（本题满分12分）若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．‎ ‎(1)证明数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；‎ ‎(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(‎2a1＋1)(‎2a2＋1)…(2an＋1)，求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；‎ ‎(3)记，求数列{bn}的前n项和Sn，并求使Sn＞2 012的n的最小值．‎ 8‎ ‎19．（本题满分12分）香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失3500亿港元，相等于平均每名港人承受了5万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量t万件满足(其中,为正常数).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件.‎ ‎⑴ 将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;‎ ‎⑵ 促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.‎ ‎20．（本题满分13分）已知抛物线的焦点为，点关于坐标原点对称，以为焦点的椭圆C，过点 ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设，过点作直线l与椭圆C交于两点，且，若，求的最小值。‎ ‎21．（本题满分14分）已知函数，，其中 ‎（Ⅰ）若函数有极值1，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：‎ 黄冈市2015年高三年级元月质量检测 参考答案（理科）‎ 8‎ 一、选择题 ‎1、D　　2、A　　3、C　　4、B　　5、C　　6、B　　7、D　　‎ ‎8、A　　9、A　　10、B 二、填空题 ‎11、 12、 13、－160 14、4 15、①17，②‎ 三、解答题 ‎16、解：（Ⅰ）………………2分 时，……………………………………………………4分 此时的取值集合为…………………6分 ‎（Ⅱ），，为锐角，……8分 由，‎ ‎………………………………12分 ‎17、解：（Ⅰ）记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件A、B，‎ ‎“任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件C。‎ 则，……………………5分 ‎（Ⅱ）依题意，……………………………………8分 ‎…………………………………………………………………12分 ‎18、解：(1)∵an＋1＝2an2＋2an,2an＋1＋1＝2(2an2＋2an)＋1＝(2an＋1)2，‎ ‎∴数列{2an＋1}是“平方递推数列”．‎ 由以上结论lg(2an＋1＋1)＝lg(2an＋1)2＝2lg(2an＋1)，‎ ‎∴数列{lg(2an＋1)}为首项是lg 5，公比为2的等比数列……4分 ‎(2)lg(2an＋1)＝[lg(‎2a1＋1)]×2n－1＝2n－1lg 5＝，‎ ‎∴2an＋1＝，∴an＝(－1)．‎ ‎∵lg Tn＝lg(‎2a1＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝(2n－1)lg 5，∴Tn＝.……8分 8‎ ‎(3)∵bn＝＝＝2－，‎ ‎∴Sn＝2n－2＋.‎ ‎∵Sn＞2 014，∴2n－2＋＞2 014.‎ ‎∴n＋＞1 008.∴nmin＝1 008.……12分 ‎19、解:(1)由题意知,该产品售价为万元, ‎ ‎, ‎ 代入化简得 ,() ……5分 ‎(2) ‎ 当且仅当时,上式取等号 ……8分 当,即或时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 9分 ‎ 当，即时,,故在上单调递增,所以在时,函数有最大值.促销费用投入万元时,厂家的利润最大 ……11分 综上述,当或时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; ‎ 当时,促销费用投入万元时,厂家的利润最大 …………12分 ‎20、解：（Ⅰ）易知，椭圆方程为……………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由题意可设，由……（6分）‎ 8‎ 设 将得…………………………（8分）‎ 由得，…………（9分）‎ ‎，‎ ‎（11分）‎ 令 的最小值是4……………………………………………………（13分）‎ ‎21、解：（Ⅰ）‎ ‎①当时，，递减，无极值；‎ ‎②当时，令，得，递增，‎ ‎……………………………………4分 ‎（Ⅱ）上是增函数，‎ 恒成立，‎ ‎，时，恒成立，‎ 当时，等价于，‎ 8‎ 设递增，，‎ 故的取值范围是……………………………………………………………9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，上是增函数，‎ ‎，‎ 令，则，‎ ‎，‎ 故………………………………………………………………14分 ‎ ‎ 8‎