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‎2015届高三数学立体几何专题训练（有解析）‎ ‎1、（2014广东高考）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.‎ ‎（1）证明： （2）求二面角的余弦值 ‎2、（2013广东高考）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.‎ ‎(Ⅰ) 证明:平面； (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎.‎ C O B D E A C D O B E 图1‎ 图2‎ ‎3、（2012广东高考）如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求二面角的正切值.‎ ‎4、（2011广东高考）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，‎ 分别是的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ 图5‎ ‎5、 （2014广州一模）如图5，在棱长为的正方体中，点是棱的 中点，点在棱上，且满足．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在棱上确定一点， 使，，，四点共面，并求 此时的长；‎ ‎（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．‎ ‎6、（珠海2015届高三9月摸底）如图，长方体中，分别为中点，‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）求二面角的正切值．‎ 第18题图 ‎7、（广州海珠区2015届高三8月）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，‎ 为棱的中点．‎ ‎（1）求证：// 平面；‎ ‎（2）求证：平面平面； ‎ ‎（3）求二面角的余弦值．‎ ‎8、（2014届肇庆二模）如图5，在四棱锥中，底面ABCD是边长为 ‎2的菱形，且ÐDAB=60°. 侧面PAD为正三角形，其所在的平 面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.‎ ‎（1）求证：BG^平面PAD；‎ ‎（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的 余弦值；‎ ‎（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，‎ 使平面DEF^平面ABCD，并证明你的结论.‎ ‎9．（2014届深圳二模）如图5,已知△ABC为直角三角形,∠ACB为直角.以AC为直径作半圆O,使半圆O所在平面⊥平面ABC,P为半圆周异于A,C的任意一点.‎ (1) 证明:AP⊥平面PBC (2) 若PA=1,AC=BC=2,半圆O的弦PQ∥AC,求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值.‎ ‎10图,三棱柱中,,,平面平面,‎ C C1‎ B1‎ A A1‎ B D 图5‎ 与相交于点.‎ ‎(Ⅰ) 求证:平面；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值.‎ ‎11(2014广州二模)图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面，‎ ‎ ，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎ ‎ ‎12、（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）如图,在直角梯形中,已知,,,.将沿对角线折起(图),记折起后点的位置为且使平面平面.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求平面与平面所成二面角的平面角的大小.‎ ‎13、（茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理）如图,在边长为4的菱形ABCD中,,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,点D不重合,, ,沿EF将折起到的位置,使得平面 平面 (1)求证:平面 ‎(2)设AOBD=H,当O为CH中点时,若点Q满足,求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值.‎ ‎14、（揭阳市2013高三第二次高考模拟考试理科数学）在图(4)所示的长方形ABCD中, AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的中点, M 、N两点分别在AF和CE上运动,且AM=EN=把长方 形ABCD沿EF折成大小为的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中 ‎(1)当时,求三棱柱BCF-ADE的体积;(2)求证:不论怎么变化,直线MN总与平面BCF平行; (3)当且时,求异面直线MN与AC所成角余弦值.‎ ‎15、（珠海市2013届高三上学期期末）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 ‎ （1）求证：； （2）求证：； ‎ ‎88‎ ‎4‎ 主视图 侧视图 俯视图 ‎4‎ ‎48‎ ‎ （3）设为中点，在边上找一点，‎ 使平面,并求的值.‎ ‎16、(2013广州一模)如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点. ‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，‎ 求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.‎ ‎17．（2015广州海珠区等四区调研二）‎ 如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且,， ‎ ‎（1）求证：⊥；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎18、（2015届执信中学高三上期中）在三棱柱ABC—A1B‎1C1中，已知，，在底面的射影是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：在侧棱上存在一点，使得⊥平面，并求出的长；‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ ‎19、（2015江门高三调研）如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC．E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ ‎⑴求证：PA//平面EDB；‎ ‎⑵求证：PF=PB；‎ ‎⑶求二面角C-PB-D的大小．‎ ‎20、（2013•广州二模）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A‎1C （如图2）．‎ ‎（1）求证：A1D丄平面BCED；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为600？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．‎ 答案：‎ ‎1、（1）证明： 平面，平面 ① ‎ 四边形为正方形 ②‎ 平面 平面 ③‎ 即 ④ 且 平面 ‎（2）方法1（传统法）过作交于，过作 交于，连接 就是所求二面角的平面角（过程略）‎ 方法2（向量法）‎ 由（1）可得，，建立空间直角坐标系，如图所示.设 在中，，则；‎ 由（1）知，所以，‎ 因为，所以，所以，，所以，‎ 所以，‎ 则设平面的法向量为，则 ‎，得，取，则，所以 由（1）可知，平面的法向量为，‎ 所以 设二面角为，则 ‎ ‎2、(Ⅰ) 在图1中,易得 C D O B E H 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知,所以,所以,‎ 理可证, 又,所以平面.‎ ‎(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,‎ 因为平面,所以,‎ 所以为二面角的平面角.‎ 结合图1可知,为中点,故,从而 C D O x E 向量法图 y z B 所以,所以二面角的平面角的余弦值为.‎ 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,‎ 则,,‎ 所以,‎ 设为平面的法向量,则 ‎,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,‎ 所以,即二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎3、解析：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.又因为平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，而平面，所以，而为矩形，所以为正方形，于是.‎ 法1：以点为原点，、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、、、，于是，.设平面的一个法向量为，则，从而，令，得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为，于是二面角的正切值为3.‎ 法2：设与交于点，连接.因为平面，平面，平面，所以，，于是就是二面角的平面角.又因为平面，平面，所以是直角三角形.由∽可得，而，所以，，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值为.‎ ‎4、 （1）证明：取的中点，连接 ‎∵，∴‎ ‎∵在边长为1的菱形中，‎ ‎∴△是等边三角形 ‎∴，‎ ‎∴平面　∴‎ ‎∵分别是的中点　∴∥，∥‎ ‎∴，，‎ ‎∴平面 ‎（2）解：由（1）知，　∴是二面角的平面角 易求得 ‎∴∴二面角的余弦值为 ‎5、推理论证法：‎ ‎（1）证明：连结，，因为四边形是正方形，所以． ‎ 在正方体中，平面，平面，所以． 因为，，平面，‎ 所以平面． 因为平面，所以．‎ ‎（2）解：取的中点，连结，则． ‎ 在平面中，过点作，则．‎ 连结，则，，，四点共面． ‎ 因为，，‎ 所以．故当时，，，，四点共面． ‎ ‎（3）延长，，设，连结，‎ ‎ 则是平面与平面的交线．‎ 过点作，垂足为，连结，‎ 因为，，所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 所以为平面与平面所成二面角的平面角． ‎ 因为，即，所以． ‎ 在△中，，，所以 ‎ ．即．‎ 因为，‎ 所以．‎ 所以．所以．‎ 故平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ 空间向量法：‎ ‎（1）证明：以点为坐标原点，，，所在的直线 分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 所以，． ‎ 因为，所以．所以． ‎ ‎（2）解：设，因为平面平面，‎ 平面平面，平面平面，所以．（‎ 所以存在实数，使得．‎ 因为，，所以．‎ 所以，．所以．‎ 故当时，，，，四点共面．‎ ‎（3）解：由（1）知，．‎ 设是平面的法向量，则即 取，则，．所以是平面的一个法向量．‎ 而是平面的一个法向量，‎ 设平面与平面所成的二面角为，则．‎ 故平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ ‎6、解：(1)．证明：在长方体中，‎ 分别为中点，且 四边形是平行四边形 ………………3分 ‎， ………5分 ‎ ‎(2)．长方体中，分别为中点， ‎ ‎ ……………7分 过做于，又 ‎ ‎ ‎ 就是二面角的平面角 …………9分 ‎，在中，………………11分 直角三角形中 …………………13分 二面角的正切值为 …………………14分 ‎7．‎ ‎8、（1）证明：连结BD. 因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以DABD为正三角形. （1分）‎ 又G为AD的中点，所以BG⊥AD. （2分）‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴BG⊥平面PAD. （4分）‎ 解：（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.‎ ‎∵PGÌ平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD.‎ ‎∴PG、BG、AD两两垂直. （5分）‎ 故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系，‎ ‎，， （6分）‎ 所以，， ， ，‎ ‎ （7分）‎ 设平面PCD的法向量为， 即 ‎ 令，则 （8分）‎ 又平面PBG的法向量可为， （9分）‎ 设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则∴‎ 即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为. （10分）‎ ‎（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD. （11分）‎ 取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.‎ 因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，‎ 故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG. （12分）‎ 由（2），得PG^平面ABCD，所以FH^平面ABCD. （13分）‎ 又FHÌ平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD. （14分）‎ ‎9、‎ ‎10. 18.【解析】(Ⅰ)依题意,侧面是菱形,是的中点,因为,所以,‎ 又平面平面,且平面,平面平面 C C1‎ B1‎ A A1‎ B D H 第18题传统法图 所以平面.……………………………5分 ‎(Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知平面,面,所以,‎ ‎ 又,,所以平面,‎ 过作,垂足为,连结,则,‎ 所以为二面角的平面角. …………9分 在中,,‎ 所以,……12分 所以,即二面角的余弦值是. ………………………14分 ‎ [向量法]以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………………………………6分 由已知可得 ‎ C1‎ B1‎ A C A1‎ B D x z y 第18题向量法图 故,‎ ‎ 则,………………8分 设平面的一个法向量是,‎ 则,即,解得 令,得………………………………………11分 显然是平面的一个法向量, ……………12分 所以,即二面角的余弦值是.………14分 ‎11. （1）证明：取的中点，连接，则，‎ ‎ ∵∥平面，平面，平面平面，‎ ‎ ∴∥，即∥. ……………1分 ‎ ∵ ∴四边形是平行四边形. …………2分 ‎ ∴∥，. 在Rt△中，，又，得. ∴. ……………3分 ‎ 在△中，，，，‎ ‎ ∴，∴. ……………4分 ‎∴，即.∵四边形是正方形，∴. ………5分 ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面. ……………6分 ‎（2）证法1：连接，与相交于点，则点是的中点，‎ ‎ 取的中点，连接，，‎ ‎ 则∥，.‎ ‎ 由（1）知∥，且，‎ ‎ ∴∥，且.‎ ‎ ∴四边形是平行四边形.‎ ‎ ∴∥，且 .……………7分 ‎ 由（1）知平面，又平面， ∴. ………8分 ‎ ∵，平面，平面，‎ ‎ ∴平面. ……………9分 ‎ ∴平面. ∵平面， ∴. ………10分 ‎ ∵，平面，平面， ‎ ‎ ∴平面. ……………11分 ‎ ∴是直线与平面所成的角. ……………12分 ‎ 在Rt△中，. ……………13分 ‎ ∴直线与平面所成角的正切值为. ……………14分 证法2：连接，与相交于点，则点是的中点，‎ ‎ 取的中点，连接，，‎ ‎ 则∥，.‎ ‎ 由（1）知∥，且，‎ ‎ ∴∥，且.‎ ‎ ∴四边形是平行四边形.‎ ‎ ∴∥，且. ……………7分 ‎ 由（1）知平面，又平面， ∴. ‎ ‎ ∵，平面，平面，‎ ‎ ∴平面. ∴平面. ……………8分 ‎ 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，‎ ‎ 建立空间直角坐标系，则，，，.‎ ‎ ∴，，. ……………9分 ‎ 设平面的法向量为，由，，‎ ‎ 得，，得.‎ ‎ 令，则平面的一个法向量为. ……………10分 ‎ 设直线与平面所成角为， 则. ……11分 ‎ ∴，. …………13分 ‎ ∴直线与平面所成角的正切值为. ……………14分 ‎12、解:(1)∵平面平面,, ‎ 平面,平面平面, ∴平面, ‎ 即是三棱锥的高, ‎ 又∵,,, ‎ ‎∴ , ‎ ‎∴, , ‎ ‎∴三棱锥的体积. ‎ ‎(2)方法一: ∵平面,平面,∴ ‎ 又∵,,∴平面, ‎ ‎∵平面,∴ ∴ ‎ ‎∵,∴ ‎ ‎∴ ∴,即 由已知可知, ‎ ‎∵,∴平面 ∵平面,∴平面平面 ‎ 所以平面与平面所成二面角的平面角的大小为. ‎ 方法二: ‎ 过E作直线,交BC于G,则, ‎ 如图建立空间直角坐标系,则, ‎ ‎, ‎ 设平面的法向量为, ‎ 则,即化简得 ‎ 令,得,所以是平面的一个法向量. ‎ 同理可得平面PCD的一个法向量为 ‎ 设向量和所成角为,则 ‎ ‎∴平面与平面所成二面角的平面角的大小为. ‎ ‎ ‎ ‎13、 ‎ ‎14、解:(1)依题意得平面,= ‎ 由得,, ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)证法一:过点M作交BF于, ‎ 过点N作交BF于,连结, ‎ ‎∵∴ ‎ 又∵ ∴ ‎ ‎∴四边形为平行四边形, ‎ ‎ ‎ ‎【法二:过点M作交EF于G,连结NG,则 ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 同理可证得,又, ∴平面MNG//平面BCF ‎ ‎∵MN平面MNG, 】 ‎ ‎(3)法一:取CF的中点为Q,连结MQ、NQ,则MQ//AC, ‎ ‎∴或其补角为异面直线MN与AC所成的角, ‎ ‎∵且∴, ‎ ‎ 即MN与AC所成角的余弦值为 ‎ 法二:且 分别以FE、FB、FC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 ‎ 则 ‎ ‎, 所以与AC所成角的余弦值为 ‎ C B A C1‎ B1‎ N M P ‎15、解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两互相垂直。以分别为轴建立空间直角坐标系，则， ， …… 2分 ‎ ∵，，，∴‎ ‎∵，， ∴…… 4分 ‎（2），‎ ‎，又 ……… 8分 （3） 设为上一点，为的中点，，，‎ 设平面的一个法向量为，则有，则有 ‎∴，得，∴，…10分 ‎//平面，，于是 解得： ……………………… 12分 平面，//平面，此时， …… 14分 ‎16、【解析】（1）证明：延长交的延长线于点，连接.‎ ‎ ∵∥，且， ∴为的中点. ‎ ‎ ∵为的中点，∴∥. ‎ ‎∵平面，平面，∴∥平面。 ‎ ‎（2）∵平面，平面， ∴ ‎ ‎ ∵△是边长为的等边三角形，是的中点，‎ ‎ ∴，。 ‎ ‎ ∵平面，平面，，∴平面. ‎ ‎∴为与平面所成的角. ∵，‎ 在Rt△中，，‎ ‎∴当最短时，的值最大，则最大. ‎ ‎∴当时，最大. 此时，.‎ ‎∴. ∵∥，平面，∴平面. ‎ ‎∵平面，平面，∴，. ‎ ‎∴为平面 与平面所成二面角（锐角）. ‎ 在Rt△中，，。‎ ‎∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为。‎ ‎17．解：（1）由, ，知，，点为的中点．……1分连接．∵，∴为等边三角形． ……………2分 又点为的中点，∴．……………3分 ‎∵平面，平面，‎ ‎∴． ……………4分 又，平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面． ……………5分 又平面，‎ ‎∴⊥． ……………6分 ‎（2）解法1:过点作，垂足为，连接．‎ 由（1）知，平面，又⊂平面，∴⊥．……………7分 又，∴⊥平面． ‎ 又⊂平面，∴⊥． ……………8分 ‎∴为二面角的平面角． ……………9分 因为， ∴，则．……………12分 在中，由（1）可知，∴， ………13分 ‎∴，即二面角的余弦值为． ……………14分 解法2: 由（1）可知，三线两两垂直，以原点，以分别为轴建立空间直角坐标系. ………7分 则,,, ………8分 ‎∴,, ………9分 ‎ 设平面与平面的法向量分别为,‎ 显然平面法向量为，………10分 由，,‎ ‎∴，解得 ………11分 ‎∴ ………12分 ‎，………13分 ‎∴二面角的余弦值为．………14分 ‎18、解析：(Ⅰ)证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以,‎ 因为,所以,所以,所以，又得.‎ ‎(Ⅱ)如图,分别以OA,OB, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ 由,得点E的坐标是,‎ 由(Ⅰ)知平面的一个法向量为 设平面的法向量是,‎ 由得可取,‎ 所以.‎ ‎19、⑴连接AC，交BD于O，连接OE，则O是AC的中点……1分 OE是△PAC的中位线，OE//PA……2分 OE平面EDB，PA平面EDB，，∴PA//平面EDB……4分 ‎⑵∵PD⊥底面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC……5分 ‎∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDCD=D，∴BC⊥平面PCD……6分 BC⊥PC，EF⊥PB，∠BPC是公共角，∴△PEF～△PBC……7分 设PD=DC，则PC，PB，=PB……8分 ‎⑶由⑵知BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE……9分 ‎∵PD=DC，E是PC的中点，∴PC⊥DE，∵PCBC=C，∴DE⊥平面PBC……10分 DE⊥PB，EF⊥PB，DEEF=E，∴PB⊥平面DEF……11分 ‎∴PB⊥DF，∠DFE是二面角C-PB-D的平面角……12分 在△DFE中，∵DE⊥平面PBC，∴DE⊥EF，DE……13分 ‎，tan∠DFE，∠DFE……14分 ‎（方法二）⑴以D为原点，、、分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系……1分，设PD=DC=1，则，，，，……2分，‎ 连接AC，交BD于O，连接OE，则O是AC的中点，……3分 E是PC的中点，∴，……4分 ‎，，PA//OE……5分 OE平面EDB，PA平面EDB，，∴PA//平面EDB……6分 ‎⑵设……7分，‎ 则……8分 ‎∵EF⊥PB，∴……9分 即，解得，PF=PB……10分 ‎⑶由⑵知，……11分 ‎，∴DF⊥PB，∠DFE是二面角C-PB-D的平面角……12分，……13分，∠DFE……14分 ‎⑶（方法三）平面PBD的一个法向量是……11分 平面PBC的一个法向量是……12分 ‎……13分 所以，，二面角C-PB-D的大小为……14分 ‎20、 解：（1）∵正△ABC的边长为3，且==‎ ‎∴AD=1，AE=2，‎ ‎△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得 DE==‎ ‎∵AD2+DE2=4=AE2，∴AD⊥DE．‎ 折叠后，仍有A1D⊥DE ‎∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE 又∵平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE ‎∴A1D丄平面BCED；‎ ‎（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°‎ 如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P 由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED 所以A1D丄PH ‎∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，‎ ‎∴PH⊥平面A1BD 由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°‎ 设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x 在Rt△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，‎ 在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2﹣x 由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2﹣x）2=（x）2‎ 解之得x=，满足0≤x≤3符合题意 所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=．‎