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2015届高三数学概率与统计专题训练（有解析）
一、选择题
1、（2014广东高考）已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A. 100，10 B. 200,10 C. 100，20 D. 200，20
2、（2013广东高考）已知离散型随机变量的分布列为
则的数学期望 ( )
A . B． C． D．
3.（2012广东高考）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）
A. B. C. D.
4、（2011广东高考）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A． B． C． D．
5、（惠州市2015届高三第二次调研考试）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则( )
A． B．
C． D．
6、（惠州市2015届高三第一次调研考试）某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )
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7、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中高一的同学有30名，则n=（ ）
A． 65 B． 75 C． 50 D． 150
8、（广东省中山市第一中学等七校2015届高三第一次联考）右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
1、（2014广东高考）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
(45,50]
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.
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2、（2013广东高考）某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
第17题图
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；
(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.
3、（2012广东高考）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：、、、、、.
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.
4、（2011广东高考）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
169
178
166
175
180
75
80
77
70
81
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．
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5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）
为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．
(1)写出这组数据的众数和中位数；
(2)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．
6、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）为增强市民的环保意思，某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的名志愿者中随机抽取名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄（岁）分成五组:第组,第组,第组,第组,第组.得到的频率分布直方图(局部)如图所示.
（1）求第组的频率,并在图中补画直方图；
（2）在抽出的名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取名参加中心广场的宣 传活动,再从这名志愿者中采用简单随机抽样方法选取名志愿者担任主要负责人.记这名志愿者中“年龄低于岁”的人数为,求的分布列和数学期望．
7、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；
8、（惠州市2015届高三第二次调研考试）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上
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件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量；
（2）在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列；
（3）从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．
9、（惠州市2015届高三第一次调研考试）去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
(1) 求的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；
（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）
空气质量指数
频率
组距
0.032
0.020
0.018
O
5
15
25
35
45
(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.
10、（韶关市十校2015届高三10月联考）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立．
（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列与方差．
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11、（深圳市2015届高三上学期第一次五校联考）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球.
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望
12、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）某校1为老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机安排2名学生，教师可任意选择一个城市．“学生a与老师去同一个城市”记为事件A，“学生a和b去同一城市”为事件B．
（1）求事件A、B的概率P（A）和P（B）；
（2）记在一次安排中，事件A、B发生的总次数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
13、（广东省中山市第一中学等七校2015届高三第一次联）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
（1） 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2） 当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3） 从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。
答案：
一、选择题
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1、【解析】D.考查分层抽样.总人数为10000人，，其中高中生抽取人，故抽取的高中生近视人数为人
2、A
3、解析：D.两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为.
4、解析：（D）．乙获得冠军的概率为，则甲队获得冠军的概率为
5、【解析】由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即＝5.5,5出现的次数最多，
故＝5，≈5.97
于是得.
6、【答案解析】B 解析 ：解：三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选.
7、 解：由题意得：
，解得n=75．故选：B．
8、【答案解析】C解析：解：由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，由于[10，15]的组中值为12.5，所以由图可估计样本重量的中位数12．
故选：C
二、解答题
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25
30
35
40
45
50
0
1、解：（1）
（2）先计算 频率/组距；然后作图即可
（3）由（1）知，任取一人，日加工零件数落在区间（30,35］的概率为
设该厂任取4人，没有人日加工零件数落在区间（30,35］的事件为，
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则，所以
答：在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率为
2、解析】(Ⅰ) 样本均值为；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.
(Ⅲ) 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.
3、解析：（Ⅰ）由，解得.
（Ⅱ）分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2.
，，，所以的数学期望是.
4、解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得
所以乙厂生产的产品数量为35件
（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品
由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）
（3）可能的取值为0，1，2
∴的分布列为：
0
1
2
∴
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5、【答案解析】(1) 众数为4.6和4.7，中位数为4.75；(2) （3）.
解析：解：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75；
(2)这是一个古典概型，设至少有2人是“好视力”记为事件A，则事件A包含的基本事件个数为：，总的基本事件个数为： ，所以；
（3）X的可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B(3，)．
P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝××()2＝，
P(X＝2)＝×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝，
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
故X的数学期望E(X)＝3×＝ .
6、【答案解析】(1)0.3 , 图见解析；（2）
解析：（1）第4组的频率为().....1分
, ............................2分,
则补画第4组的直方图如图所示：
.............................................4分
（2）用分层抽样的方法，从中选取20名志愿者，则其中年龄“低于35岁”的人有12人，“年龄不低于35岁”的人有8人，故X的可能取值为0,1,2,3。 -------7分
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因为,,,
--------9分
所以x的分布列为:
x
0
1
2
3
p
所以 --------12分
7、【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：(Ⅰ) 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B，则事件A和B是对立事件。
,
答：一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为………….5分
（2）由题意
,
所以随机变量的概率分布列为
2
3
4
5
P
…………14分
8、解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为
(件)． ..............（2分）
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(2)的可能取值为0,1,2. .............（3分）
..............（4分）
..............（5分）
...............（6分）
0
1
2
P
Y的分布列为
..........（7分）
(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3........（8分）
令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，
则， .........（10分）
故所求概率为........（12分）
9、【答案解析】(1) (2)24.6 (3)
解析 ：解：
(1) 由题意，得， ……………1分
解得. ……………2分
（2）个样本中空气质量指数的平均值为
……………3分
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分
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（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为，则. ……………5分
的取值为， ……………6分
，， ，. ……………10分
∴的分布列为：
……………11分∴. ……………12分
（或者）
10、解：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则………………2分
那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率………………4分
（2）可能取值为1，2，3．………………5分
，，…………8分
1
2
3
P
的分布列为：
………………9分
的数学期望为……………10分
的方差为…………………12分
11、【答案解析】D 解析：解：（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“
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连续取球四次，至少取得两次白球”，则：. ……2分
……4分
……5分
或者：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知 ……2分
则……5分
（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 ……6分
，
， ……10分
∴随机变量X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
……11分
∴随机变量X的期望为：
12、解答： 解：（1）P（A）==，
P（B）==．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=2）=P（a，b与老师去同一城市）==，
P（ξ=1）=P（a，b同城，但a与老师不同）+P（a，b不同，a与老师同）
==，
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P（ξ=0）=P（a，b不同，a与老师也不同）==，
∴Eξ=2×+1×+0×=．
13、解析：解：（1）乙厂生产的产品总数为；………….2分
（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；…………4分
（3）， ……………………..5分
，………….8分
的分布列为
0
1
2
……………….11分
均值………………….12分
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