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‎ ‎ ‎2015届高三数学数列专题训练（附解析）‎ 一、选择题:‎ ‎1、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）设等比数列的前n项和为，若则 A．31 B．‎32 C．63 D．64‎ ‎【答案】C 解析：由等比数列的性质可得成等比数列， 即成等比数列，∴，解得63，故选A.‎ ‎2、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）已知数列{}为等差数列，公差，为其前n项和.若，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 解析：因为，所以，即，代入可解得=20，故选B。‎ ‎3、（深圳市2015届高三上学期第一次五校联考）已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ 解析：由  故选：A． ‎ 二、填空题:‎ ‎1、（2014广东高考）若等比数列的各项均为正数，且，‎ 则 ‎ ‎2. （2013广东高考）在等差数列中,已知,则_____.‎ ‎3. （2012广东高考）已知递增的等差数列满足，，则______________.‎ ‎ ‎ ‎4．（2011广东高考）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则 ．‎ ‎5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）若等比数列的各项均为正数，且，则 ‎ ‎ .‎ ‎6、（惠州市2015届高三第二次调研考试）在正项等比数列中，，，‎ 则满足的最大正整数的值为_______‎ ‎7、（江门市普通高中2015届高三调研测试）已知数列{an}满足a1=﹣，an=1﹣（n＞1），计算并观察数列{an}的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，a2015=　5　．‎ ‎8、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=　3n﹣5　（n∈N+）‎ 三、解答题 ‎1、（2014广东高考）设数列的前和为,满足，且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式.‎ ‎2、（2013广东高考）设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值；‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎3、（2012广东高考）设数列的前项和为，满足，，且、、成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）证明：对一切正整数，有.‎ ‎4、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）已知数列中，，前项和．‎ ‎(1)设数列满足，求与之间的递推关系式；‎ ‎(2)求数列的通项公式.‎ ‎5、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若,且成等比数列. （1）求数列的通项公式；‎ ‎（2），证明:对一切正整数,有．‎ ‎6、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）已知，点在函数的图像上，其中 ‎（Ⅰ）证明：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求 ‎（Ⅲ）记，求数列的前项和 ‎7、（惠州市2015届高三第二次调研考试）设数列的前项和为，已知，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对一切正整数，有.‎ ‎8、（江门市普通高中2015届高三调研测试）已知{an}是等差数列，a2=3，a3=5．‎ ‎ ‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）对一切正整数n，设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎9、（韶关市十校2015届高三10月联考）已知在数列中，，当时，其前项和满足。‎ ‎(Ⅰ) 求的表达式；‎ ‎(Ⅱ) 设，数列的前项和．证明 ‎10、（深圳市2015届高三上学期第一次五校联考）已知数列满足，，是数列的前n项和，且有.‎ ‎（1）证明：数列为等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，记数列的前n项和，求证：.‎ ‎11、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）数列{an}的前n项和为Sn，a1=a（a≠0），且2Sn=（n+1）•an．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an与Sn；‎ ‎（2）记An=+++…+，Bn=+++…+，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．‎ ‎12、（中山市第一中学等七校2015届高三第一次联考）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.‎ ‎ ‎ ‎（1）求 ‎(2) 求数列的通项；‎ ‎(3) 若,，求证：＜‎ 答案 一、选择题（答案见题目下）‎ 二、填空题 ‎1、【解析】.考查等比数列的基础知识.依题意有，所求等式左边 ‎2、20　　3、　　4、10　　　‎ ‎5、解析：因为，所以，则.‎ ‎6【解析】本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．‎ 设等比数列的公比为．由可得 即所以，所以，数列的前项和，所以，由可得，由，可求得的最大值为12，而当时，不成立，所以的最大值为12.‎ ‎7、解：∵a1=﹣，an=1﹣，‎ ‎∴a2=5，a3=，a4=﹣，‎ ‎∴数列{an}是以3为周期的周期数列，‎ ‎∴a2015=a2=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎8： 解：∵等差数列{an}中，a5=10，a12=31，‎ ‎∴，‎ ‎ ‎ 解得a1=﹣2，d=3，‎ ‎∴an=﹣2+3（n﹣1）=3n﹣5．‎ 故答案为：3n﹣5．‎ 三、解答题 ‎1、解：（1）当时， ①‎ 当时， ②‎ ‎ ③‎ 由①②③解得 ‎(2)当时，①‎ ②‎ ①—②化简得(当时也成立)‎ 方法1：（凑配）‎ 令，求得即 令，则，即 因为，故必有，即 方法2：（数学归纳法）由（1），猜想，‎ 下面用数学归纳法证明对：‎ 当时，成立 假设当时成立，即有，‎ 当时， ‎ 所以，成立 综上所述，对 ‎ ‎ ‎2、(Ⅰ) 依题意,,又,所以；‎ ‎ (Ⅱ) 当时,,‎ ‎ 两式相减得 ‎ 整理得,即,又 ‎ 故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.‎ ‎ (Ⅲ) 当时,；当时,；‎ ‎ 当时,‎ ‎ 此时 综上,对一切正整数,有.‎ ‎3、解析：（Ⅰ）由，解得.‎ ‎（Ⅱ）由可得（），两式相减，可得，即，即，所以数列（）是一个以为首项，3为公比的等比数列.由可得，，所以，即（），当时，，也满足该式子，所以数列的通项公式是.‎ ‎（Ⅲ）因为，所以，所以，于是.‎ 下面给出其它证法.‎ ‎ ‎ 当时，；当时，；当时，.‎ 当时，，所以.‎ ‎ 综上所述，命题获证.‎ 下面再给出的两个证法.‎ 法1：（数学归纳法）‎ ‎①当时，左边，右边，命题成立.‎ ‎②假设当（，）时成立，即成立.为了证明当时命题也成立，我们首先证明不等式：（，）.‎ 要证，只需证，只需证，只需证，只需证，该式子明显成立，所以.‎ 于是当时，，所以命题在时也成立.‎ 综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数，有.‎ 备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识.‎ 法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供）‎ 当时，显然成立.当时，显然成立.‎ 当时，‎ ‎，又因为，所以（），所以（），所以 ‎.‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述，命题获证.‎ ‎4、(1) ；(2) ‎ 解析：（1） ∵，∴‎ ‎∴，整理得， 等式两边同时除以得 ， 即，‎ ‎(2)由（1）知即，所以 ‎，得.‎ ‎5、 解析：（1） ⑴ ------1分 ‎， -----2分 由题意得： ---------3分 即 ⑵ ‎ 联立⑴、⑵解得 4分 ‎ -------5分 ‎（2）证明：由（1）得 ------6分 ‎①当n=1时，，原不等式成立。‎ ‎②当n=2时，，原不等式成立。‎ ‎③当n 3时， ---------9分 ‎ ‎ ‎