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‎2015届高三数学圆锥曲线专题训练（含解析）‎ 一、选择、填空题 ‎1、（2014广东高考）实数k满足则曲线与曲线的 A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 ‎2、（2013广东高考）已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 ( )‎ A . B． C． D．‎ ‎3、（2010广东高考）若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 ．‎ ‎4、（2009广东高考）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．‎ ‎5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． 　　C． D．‎ ‎7、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系中，点A为椭圆E ：的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于 ．‎ ‎8、（惠州市2015届高三第二次调研考试）双曲线的实轴长是(　　)‎ A．2 B．‎2 C．4 D．4 ‎9、（惠州市2015届高三第一次调研考试）以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .‎ ‎10、（江门市普通高中2015届高三调研测试）在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（　　）‎ ‎　 A．直线经过圆心 B． 相交但不经过圆心 ‎　 C．相切 D． 相离 ‎11、（韶关市十校2015届高三10月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,则的最大值是（ ）‎ A. ；B．；C.；D. ‎ ‎12、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为（　　）‎ ‎　 A． 2 B． ‎4 ‎C． D． 2‎ ‎13、（广东省阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ 二、解答题 ‎1、（2014广东高考）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.‎ ‎2、（2013广东高考）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；‎ ‎(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎3、（2012广东高考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.‎ ‎4、（2011广东高考）设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切．‎ ‎（1）求的圆心轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标．‎ ‎5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．‎ ‎(1)求点的轨迹的方程；‎ ‎(2)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎6、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.‎ ‎7、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.‎ ‎8、（惠州市2015届高三第二次调研考试）‎ 如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、、构成等差数列.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）记△的面积为，△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．‎ ‎9、（惠州市2015届高三第一次调研考试）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．‎ ‎(1) 求椭圆的标准方程；‎ ‎(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎10、（江门市普通高中2015届高三调研测试）在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，﹣3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣．‎ ‎（1）求点M的轨迹L的方程；‎ ‎（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．‎ ‎　‎ ‎11、（韶关市十校2015届高三10月联考）如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.‎ ‎ （I）求曲线的方程；‎ ‎ （II）若过定点的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.‎ ‎12、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）如图，点F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，定点P的坐标为（﹣8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：∠AFM=∠BFN；‎ ‎（3）记△ABF的面积为S，求S的最大值．‎ ‎13、（广东省阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考）如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. ‎ 参考答案 一、选择、填空题 ‎1、【解析】D.考查双曲线，注意到两条双曲线的相等，故而选D.‎ ‎2、B　　3、　　4、　‎ ‎5、【答案】C解析：因为直线与两坐标轴的交点分别为，所以c=2，b=1，a= ,则离心率为，所以选C .‎ ‎6、【答案解析】D 解析：根据题意得：从而所以解得 ‎，因为需使，所以，从而，所以 ‎.故选：D．‎ ‎7、【答案】【解析】 解析：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a，四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a 可设代入椭圆方程解得： 设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形，所以∠COD=30° 对C点：，解得：a=3b，根据：得：， ，故答案为：．‎ ‎8、C【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。双曲线方程可变形为，‎ 所以.‎ ‎9、【答案解析】解析 ：解：抛物线焦点，则双曲线中：，且，得，又得，则双曲线的标准方程为：.‎ ‎10、解答： 解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即 （x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．‎ 由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，‎ 故直线和圆相交但不经过圆心，‎ 故选：B．‎ ‎11、[解析]若椭圆的方程知其长半轴的长为，则 因为（当且仅当时取“=”）‎ 故选 ‎12、 解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线﹣=1的一条渐近线方程为x﹣y=0，‎ ‎∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为=2，‎ 故选：D．‎ ‎13、【答案解析】B 解析：解：由题意可知抛物线的焦点坐标为，由抛物线的概念可知点到点的距离与点到该抛 物线准线的距离之和的最小值即为M点到焦点的距离，所以 二、解答题 ‎1、解：（1）依题意有故所求椭圆C的标准方程为 ‎ ‎（2）当两条切线的斜率存在时，设过点的切线为 联立消去得 判别式 化简得，即 依题意得，即 ‎ 当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得是直线 ‎ 的四个交点，也满足，故点的轨迹方程为 ‎2、(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.‎ ‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎ (Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),则切线的斜率分别为,,‎ 所以切线的方程为,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以,‎ 所以为方程的两组解.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,‎ 所以 联立方程,消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得,‎ 所以 又点在直线上,所以,‎ 所以 所以当时, 取得最小值,且最小值为.‎ ‎3、解析：（Ⅰ）因为，所以，于是.设椭圆上任一点，则 ‎（）.‎ 当时，在时取到最大值，且最大值为，由解得，与假设不符合，舍去.‎ 当时，在时取到最大值，且最大值为，由解得.于是，椭圆的方程是.‎ ‎（Ⅱ）圆心到直线的距离为，弦长，所以的面积为，于是.而是椭圆上的点，所以，即，于是，而，所以，，所以，于是当时，取到最大值，此时取到最大值，此时，.‎ 综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为.‎ ‎4、解：（1）设，圆的半径为，‎ 则 ‎∴的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，，，‎ ‎∴的圆心轨迹的方程为 ‎（2）‎ ‎∴的最大值为2，此时在的延长线上，‎ 如图所示，必在的右支上，且，‎ 直线的斜率 ‎　　　　‎ ‎∵，∴，‎ ‎ ∴的最大值为2，此时为 ‎5、【答案解析】(1) (2) =0‎ 解析：（1）椭圆右焦点的坐标为， ‎ ‎．，由，得．设点的坐标为，由，有，‎ 代入，得．‎ ‎（2）设直线的方程为，、，‎ 则，．由，得， 同理得． 所以 ，则 ，由 得，所以 ，则，所以是定值，且定值为0 .‎ ‎6、【答案解析】（1）；（2）存在△面积的最大值；（2）‎ 解析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）‎ 故曲线C的方程为． …（5分）‎ ‎（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）‎ 因为直线过点，设直线的方程为或y=0（舍）．‎ 则整理得．…（7分）‎ 由．设．‎ 解得，．‎ 则． ‎ 因为． …（10分）‎ 设，，．则g（t）在区间上为增函数．‎ 所以．所以，‎ 当且仅当m=0时取等号，即．‎ 所以的最大值为．…（14分）‎ ‎7、【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）圆上存在两个不同点，满足 ‎ ‎ 解析：（1）因为直线的方程为，令，得，即 ……1分 ‎∴ ，又∵，∴ ， ‎ ‎∴ 椭圆的方程为.……………４分 ‎（2）存在点P，满足 ‎∵ 圆心到直线的距离为，‎ 又直线被圆截得的弦长为，‎ ‎∴由垂径定理得，‎ 故圆的方程为.…………８分 设圆上存在点，满足即，且的坐标为，‎ 则， ‎ 整理得，它表示圆心在，半径是的圆。‎ ‎∴ ………………１２分 故有，即圆与圆相交，有两个公共点。‎ ‎∴圆上存在两个不同点，满足.………１４分 ‎8、解：（1）因为、、构成等差数列，‎ ‎ 所以，所以. ……（2分）‎ ‎ 又因为，所以， ……（3分）‎ ‎ 所以椭圆的方程为. ……（4分）‎ ‎（2）假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．‎ ‎ 设方程为 …（5分）‎ 将其代入，整理得 …（6分）‎ 设，，所以 ． ‎ 故点的横坐标为．所以 ．……（8分）‎ 因为 ，所以 ， 解得 ，‎ 即 ……（10分）‎ 和相似，若，则 ……（11分）‎ 所以 ， ……（12分）‎ ‎ 整理得 ． ……（13分）‎ ‎ 因为此方程无解，所以不存在直线，使得 ． ……（14分）‎ ‎9、【答案解析】(1) (2)恒过定点 (,0) ．‎ 解析 ：解：（1）由题： ①‎ 左焦点 (－c,0) 到点P(2,1) 的距离为：d = ② …………………2分 由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3． …………………3分 ‎ ‎ O x y P A B F1‎ F2‎ A2‎ l ‎∴所求椭圆 C 的方程为 ． ………………4分 ‎（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 ‎ (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + ‎4m 2－12 = 0．‎ ‎∴x1 + x2 = －，x1x2 = ， ………………6分 且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．‎ ‎∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 •= 0． ………………7分 所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)‎ ‎= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4‎ ‎= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ． ………………10分 整理得 ‎7m 2 + ‎16km + 4k 2 = 0．‎ ‎∴m = －k 或 m = －2k 都满足 △ > 0． ………………12分 若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，‎ 不合题意舍去； ………13分 若 m = －k 时，直线 l 为 y = kx－k = k (x－)， 恒过定点 (,0) ．………14分 ‎10、 解：（1）设M（x，y），则：‎ ‎（x≠0）；‎ ‎∴点M的轨迹方程为：x2+2y2=18（x≠0）；‎ ‎（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；‎ x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；‎ ‎∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx﹣4k+1，带入轨迹方程并整理得：‎ ‎（1+2k2）x2+4k（1﹣4k）x+16（2k2﹣k﹣1）=0；‎ ‎∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：‎ ‎△=16k2（1﹣4k）2﹣64（1+2k2）（2k2﹣k﹣1）=0；‎ 解得k=﹣2；‎ ‎∴直线L的方程为：y=﹣2x+9．‎ 点评： 考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．‎ ‎11、【解】（Ⅰ）因为 所以直线为线段的垂直平分线，∴……………1分 又因为，所以 ‎∴动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………3分 且椭圆长轴长为焦距，……………4分 ‎∴曲线E的方程为……………5分 ‎（Ⅱ）当直线斜率存在时，设直线方程为……………6分 代入椭圆方程得到………………………7分 依题意得，即，得……………8分 设，则是方程的两根 所以，………………………9分 因为，所以 故，所以，，‎ 所以，‎ 从而，将代入并整理得………10分 因为，所以，从而 即，解得………………11分 由题意知，所以………………12分 又当直线斜率不存在时，，故………13分 所以的取值范围是…………………………14分 ‎12、解答： （1）解：∵|MN|=8，且该椭圆的离心率为，‎ ‎∴，‎ 解得a=4，b=，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）证明：当直线AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFM=0°，成立；‎ 当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my﹣8，‎ 代入椭圆方程整理，得：（‎3m2‎+4）y2﹣48my+144=0，‎ ‎∴△=576（m2﹣4），设A（xA，yA），B（xB，yB），‎ ‎，yAyB=，‎ ‎∴kAF+kBF==‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∵﹣6•=0，‎ ‎∴kAF=﹣kBF，‎ ‎∴∠AFM=∠BFN．‎ ‎（3）解：S=S△PBF﹣S△PAF=‎ ‎===≤=3，‎ 当且仅当3=，即m=±（此时△＞0）时取等号，‎ ‎∴△ABF的面积S的最大值为3．‎ ‎13、【答案解析】（1） （2）略 解析：解：（1）解：∵椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为，‎ ‎∴=，解得a2=3，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）解：由=0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，‎ 由A（0，1），直线AP的斜率为1，得直线AP的方程为y=x+1，直线AQ的方程为y=﹣x+1，‎ 将y=x+1代入椭圆C的方程，并整理得：4x2+6x=0，‎ 解得x=0或x=﹣，因此P的坐标为（﹣，﹣），同理，得Q（，﹣）． ‎ 直线l的方程为y=﹣．代入椭圆的方程并整理得 , ‎ 设直线与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而 ‎ …………………………………7分 ‎ 由得 ‎， ‎ 整理得： 由知. ‎ ‎ 此时, 因此直线过定点. ………………………14分