静安区2015届高三数学上学期期末考试卷（含解析）
一、填空题（本大题满分44分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．计算：= ．
考点： 极限及其运算．
专题： 导数的概念及应用．
分析： 利用数列极限的运算法则即可得出．
解答： 解：原式==．
故答案为：．
点评： 本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．
2．已知集合M={y|y=2x，x≥0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N= （0，2） ．
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 利用交集的定义和对数函数的性质求解．
解答： 解：∵集合M={y|y=2x，x≥0}={y|y≥0}，
N={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，
∴M∩N=（0，2）．
故答案为：（0，2）．
点评： 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．
3．设（1﹣x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|= 256 ．
考点： 二项式系数的性质．
专题： 二项式定理．
分析： 由题意可得 （1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|的值．
解答： 解：由题意可得 （1+x）8=|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，
在此等式中，令x=1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|=28=256，
故答案为：256．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
4．已知等差数列{an}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和Sn= 2n2+n ．
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意代入等差数列的求和公式可得．
解答： 解：由题意可得a1=3，公差d=4，
∴Sn=na1+d
=3n+2n（n﹣1）=2n2+n
故答案为：2n2+n．
点评： 本题考查等差数列的求和公式，属基础题．
5．不等式1﹣＜0的解集是 （，4） ．
考点： 其他不等式的解法．
专题： 计算题；不等式的解法及应用．
分析： 原不等式即为或，分别解出它们，再求交集即可．
解答： 解：不等式1﹣＜0
即为＜0，
即为或，
即有x∈∅或＜x＜4，
则解集为（，4）．
故答案为：（，4）．
点评： 本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．
6．一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 45 种不同结果（用数值作答）．
考点：
组合及组合数公式．
专题：
概率与统计．
分析：
由题意可得共有种不同结果．
解答：
解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有=45种不同结果．
故答案为：45．
点评：
本题考查了组合数的计算公式，属于基础题．
7．（4分）理：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，PA=1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是 ．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据几何体的性质得出Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，AC=，运用体积公式求解即可．
解答： 解：∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
PC与底面ABCD所成角的大小为，
∴Rt△PAC中，PA=1，∠PCA=，
AC=，
∵底面ABCD是正方形，
∴AB=，
V=×1=
故答案为：；
点评： 本题考查了空间直线平面的几何性质，夹角，体积计算问题，属于中档题．
8．不等式的解集是 （，4） ．
考点： 其他不等式的解法．
专题： 计算题；不等式的解法及应用．
分析： 不等式即为或，分别求出它们，再求并集即可．
解答： 解：不等式即为
或，
即x∈∅或＜x＜4，
则解集为（，4）．
故答案为：（，4）．
点评： 本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．
9．文：已知数列{an}的通项公式an=22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和Sn= ．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用等比数列的前n项和公式进行求解．
解答： 解：数列数列{an}的通项公式：
整理得：
则：+2（21+22+…+2n）
=4•+2
=
=
故答案为：
点评： 本题考查的知识要点：数列通项公式的应用，等比数列前n项和的应用．属于基础题型．
10．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若，则t= ﹣2 ．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 运用平面向量的数量积的定义和向量垂直的条件即为数量积为0，计算即可得到t．
解答： 解：两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，
则=||•||•cos30°==，
由，若，
则•（t+（1﹣t））=0，
即t+（1﹣t）=0，即有t+1﹣t=0，
解得，t=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．
11．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 3π ．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据已知中圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，计算出圆锥母线的长度，进而可得该圆锥的侧面积．
解答： 解：∵圆锥底面的半径r=1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
故圆锥的母线l满足：，
解得：l=3，
∴该圆锥的侧面积S=πrl=3π．
故答案为：3π
点评： 本题考查的知识点是旋转体，圆锥的侧面积，其中根据，求出圆锥的母线长度，是解答的关键．
12．（4分）已知f（x）=x|x﹣1|+1，f（2x）=（其中x＞0），则x= ．
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知得，由此能求出．
解答： 解：∵f（x）=x|x﹣1|+1，
f（2x）=（其中x＞0），
∴，
∴，
∵x＞0，∴（2x）2﹣2x﹣=0，
解得2x=，
∴．
故答案为：．
点评： 本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．
13．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y=﹣2x（x≤0）上，则sin2α= ．
考点：
任意角的三角函数的定义．
专题：
三角函数的求值．
分析：
由题意根据任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而确定出sin2α的值．
解答：
解：根据题意得：tanα=﹣2，sinα=，cosα=﹣，
∴sin2α=2sinαcosα=﹣2××=．
故答案为：．
点评：
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．
14．（4分）理：已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC的内角∠BAC的大小是 arccos ．（结果用反三角函数值表示）
考点：
余弦定理．
专题：
解三角形．
分析：
由三点坐标，利用两点间的距离公式求出a，b，c的值，利用余弦定理求出cos∠BAC的值，即可确定出∠BAC的度数．
解答：
解：∵△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），
∴|AB|=c==5，|AC|=b==3
，|BC|=a==4，
∴cos∠BAC===，
则∠BAC=arccos，
故答案为：arccos
点评：
此题考查了余弦定理，两点间的距离公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
15．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，则= ﹣ ．
考点：
二次函数的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由已知结合韦达定理，可得α+β=﹣，α•β=，进而根据=代入可得答案．
解答：
解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3=0的两根，
∴α+β=﹣，α•β=，
∴===﹣，
故答案为：﹣
点评：
本题考查的知识点是根与系数的关系（韦达定理），难度不大，属于基础题．
16．已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为 arctan （结果用反三角函数值表示）．
考点：
两直线的夹角与到角问题．
专题：
直线与圆．
分析：
这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，再利用两条直线的夹角公式求得这两条直线的夹角大小．
解答：
解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，
则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，
故答案为：．
点评：
本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数，属于基础题．
17．（4分）（2012•绍兴一模）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β= ﹣ ．
考点：
一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数．
专题：
计算题．
分析：
此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围
解答：
解：tanα，tanβ是方程的两根，
tanα+tanβ=﹣3，
tanαtanβ=4，
tan（α+β）==
又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．
又∵tanα+tanβ=﹣3，tanα•tanβ=4，
∴α、β同为负角，∴α+β=﹣．
故答案为﹣
点评：
此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方
18．直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是 或 ．
考点：
点到直线的距离公式．
专题：
直线与圆．
分析：
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；kx﹣y+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程．
解答：
解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+2k+1=0，
∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，
∴=1，
解得k=，
∴直线l的方程为：或．
故答案为：或．
点评：
本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
19．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是 [﹣2，2] ．
考点：
简单线性规划．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
先画出满足条件的平面区域，设z=，则y=zx+2，将问题转化为求直线的斜率的范围，通过图象求出答案．
解答：
解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，
如图示：
，
设z=，则y=zx+2，
当直线过（﹣1，0）时，z最小为：﹣2，
当直线过（1，0）时，z最大为：2，
∴﹣2≤z≤2，
故答案为：[﹣2，2]．
点评：
本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，考查了转化思想，是一道中档题．
21．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是 0＜S＜2 ．
考点：
等比数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
设等比数列的公比为q，则q＜0，由题意可得S==，可得＜0，从而可求S的范围
解答：
解：设等比数列的公比为q，则q＜0
∵S==
∴＜0
∴0＜S＜2
故答案为：0＜S＜2
点评：
本题主要考查了无穷等比数列的各项和公式的应用，属于基础试题
22．（4分）理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有 7或14 名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）
考点：
组合及组合数公式．
专题：
概率与统计．
分析：
设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．可得．化为n2+（3﹣2k）n﹣14=0，通过对﹣14分解质因数，利用根与系数的关系即可得出．
解答：
解：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．
∴．
化为n2+（3﹣2k）n﹣14=0，
∵﹣14=﹣2×7=2×（﹣7）=﹣1×14=1×（﹣14）．
当2k﹣3=7﹣2时，可得k=4，此时n=7，
当2k﹣3=14﹣1时，可得k=8，此时n=14．
而2k﹣3=2﹣7或2k﹣3=1﹣14，k＜0，舍去．
综上可得：n=7或14．
故答案为：7或14．
点评：
本题考查了组合的计算公式、分类讨论思想方法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
23．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A．
y=x﹣2
B．
C．
D．
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
由幂函数的奇偶性和单调性，以及定义，对选项加以判断，即可得到是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的函数．
解答：
解：对于A．有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；
对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；
对于C．有f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，则C不满足；
对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．
故选D．
点评：
本题考查幂函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义和性质，属于基础题和易错题．
24．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（ ）
A．
充分非必要条件
B．
必要非充分条件
C．
充要条件
D．
既非充分又非必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
简易逻辑．
分析：
根据3（2k﹣3）+（k+2）k=0得出k=﹣9或k=1，分别判断当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，l1l2重合，
当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，l1∥l2，根据充分必要条件的定义判断即可．
解答：
解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．
∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0
k2+8k﹣9=0，
k=﹣9或k=1，
当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，
∴l1l2重合，
当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，
∴l1∥l2，
根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．
故选：B
点评：
本题考查了直线与直线平面的平行条件，充分必要条件的定义，属于中档题．
25．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（ ）
A．
M
B．
N
C．
P
D．
Q
考点：
复数代数形式的乘除运算．
专题：
数系的扩充和复数．
分析：
由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
解答：
解：由图可知：z=3+i．
∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．
故选：D．
点评：
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
26．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）
A．
1个
B．
4个
C．
7个
D．
8个
考点：
平面的基本性质及推论．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
对于四点不共面时，画出对应的几何体，根据几何体和在平面两侧的点的个数分两类，结合图形进行解．
解答：
解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：
①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，
②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，
所以满足条件的平面共有7个，
故选：C
点评：
本题考查了空间四点问题，当不共面时构成三棱锥，由几何体的特征再分类讨论进行判断，考查了分类讨论思想和空间想象能力．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
27．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=，△ABC的面积S△ABC=，求a+c的值．
考点： 正弦定理；余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （1）由正弦定理列出关系式，结合已知等式求出sinB的值，即可确定出B的度数；
（2）由三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，即可确定出a+c的值．
解答： 解：（1）由正弦定理：=，得==，
∴sinB=，
又由B为锐角，得B=；
（2）∵S△ABC=acsinB=，sinB=，
∴ac=3，
根据余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=7+3=10，
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，
则a+c=4．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
28．（14分）上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．
（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y=f（x）．
考点： 函数解析式的求解及常用方法；分段函数的应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）由题意可知，这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，两者相加即是小明应付的车费；
（2）分三种情况：前3公里、超过3公里而10公里以内、大于10公里，分别写出函数的表达式，最后用分段函数表示．
解答： 解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3=5公里的收费是5×2.4=12元，总共收费14+12=26（元）
故他应付出出租车费26元．
（2）3公里以内价是14元，即0＜x≤3时，y=14（元）；
大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y=14+（x﹣3）2.4=2.4x+6.8（元）；
大于10公里时，即x＞10时，收费y=14+7×2.4+（x﹣10）3.6=3.6x﹣5.2（元）．
∴y=
点评： 本题考点是分段函数的应用，分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型，其特点是在不同的自变量取值范围内，函数解析式不同．
29．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．
（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）判断出∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，求解得出异面直线PN与A1C1所成角的大小为．
（2）BN=，运用，求解得出体积．
解答： 解：（1）∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，
∴PM为△ADD1的中位线，得PM=1，
又∵MN⊥BD，
∴，
∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，
∴MN∥AC，
又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，
在△PMN中，∠PMN为直角，，
∴．
即异面直线PN与A1C1所成角的大小为．
（2），，
点评： 本题考查了空间直线的夹角问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．
30．（14分）理：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．
（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；
（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
考点： 异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法．
专题： 计算题；函数的性质及应用；空间角．
分析： （1）求出PM，AM，运用余弦定理，求得PN；
（2）求出PN的最小值，由于MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，通过解直角三角形PMN，即可得到．
解答： 解：（1）在△APM中，，；
其中；
在△MND中，，
在△PMN中，，；
（2）当时，PN最小，此时．
因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，
∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，
在△PMN中，∠PMN为直角，，
所以，
异面直线PN与A1C1所成角的大小．
点评： 本题考查空间异面直线所成的角的求法，考查二次函数的性质和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
31．（16分）已知函数（其中a＞1）．
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y=f﹣1（x）与g（x）=ax在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．
考点： 函数奇偶性的性质；反函数．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据函数奇偶性的定义进行判断；
（2）根据反函数的定义，反解x，主要x的取值范围；
（3）根据两函数在闭区间上分离的概念课求得
解答： 解：（1）∵，∴函数y=f（x）的定义域为R，（1分）
又∵，
∴函数y=f（x）是奇函数．（4分）
（2）由，且当x→﹣∞时，，
当x→+∞时，，得的值域为实数集．
解得，x∈R．（8分）
（3）在区间[1，2]上恒成立，即，
即ax+a﹣x＞4在区间[1，2]上恒成立，（11分）
令ax=t，∵a＞1，∴t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]上单调递增，∴，
解得，∴．（16分）
点评： 本题主要考查函数的奇偶性、反函数以及新概念的题目、
32．（16分）在数列{an}中，已知a2=1，前n项和为Sn，且．（其中n∈N*）
（1）文：求a1；
理：求数列{an}的通项公式；
（2）文：求数列{an}的通项公式；
理：求；
（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．
考点： 数列的求和；极限及其运算．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）利用递推关系式求数列的通项公式，对首项进行验证．
（2）利用（1）的结论直接求出极限．
（3）首先假设存在p和q，进一步进行关系验证求出具体的值．
解答： 解：文（1）因为，
令n=2，得，所以a1=0，
当n≥2时，
，
，
推得，
又a2=1，a3=2a2=3，
所以an+1=n当n=1，2时也成立，
所以an=n﹣1．
（2）直接利用（1）的结论：
解得：=
（3）文理相同：假设存在正整数p、q，使得b1，bp、bq成等比数列，
则lgb1，lgbp、lgbq成等差数列，
故，（1）
由于右边大于，则，
即．
考查数列的单调性，
因为，
所以数列为单调递减数列．
当p=2时，，代入（1）式得，
解得q=3；当p≥3时，（舍）．
综上得：满足条件的正整数组（p，q）为（2，3）．
点评： 本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，极限的应用，存在性问题的应用．属于中等题型．
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