1129.doc

‎ ‎ 闸北区2015届高三数学上学期期末试卷（理科含解析）‎ ‎　‎ 一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．‎ ‎1．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为　4　．‎ 考点： 复数代数形式的乘除运算．‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．‎ 解答： 解：=．‎ ‎∵复数是纯虚数 ‎∴，解得：a=4．‎ 故答案为：4．‎ 点评： 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=　﹣2　．‎ 考点： 函数奇偶性的性质．‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用．‎ 分析： 运用奇函数的定义，已知解析式，可得f（0）=0，f（2）=﹣2，即可得到结论．‎ 解答： 解：f（x）为R上的奇函数，‎ 则f（﹣x）=﹣f（x），‎ 即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），‎ 当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），‎ f（﹣2）=log2（2+2）=2，‎ 则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ 点评： 本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．设定点A（0，1），若动点P在函数y=（x＞0）图象上，则|PA|的最小值为　2　．‎ 考点： 两点间距离公式的应用；函数的图象．‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： 设P（x，1+），|PA|=≥=2．由此能求出|PA|的最小值．‎ 解答： 解：设P（x，1+），‎ ‎ ‎ ‎∴|PA|=≥=2．‎ 当且仅当，即x=时，取“=”号，‎ ‎∴|PA|的最小值为2．‎ 故答案为：2．‎ 点评： 本题考查线段长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．用数字“1，‎2”‎组成一个四位数，则数字“1，‎2”‎都出现的四位数有　14　个．‎ 考点： 计数原理的应用．‎ 专题： 排列组合．‎ 分析： 本题需要分三类第一类，3个1，1个2，第二类，3个2，1个1，第三类，2个1，2个2，根据分类计数原理可得，或者利用列举法．‎ 解答： 解：方法一：1，‎2”‎组成一个四位数，数字“1，‎2”‎都出现的共3类，‎ 第一类，3个1，1个2，有3个1的排列顺序只有1种，把2插入到3个1所形成的4个间隔中，故有=4种，‎ 第二类，3个2，1个1，有3个2的排列顺序只有1种，把1插入到3个2所形成的4个间隔中，故有=4种，‎ 第三类，2个1，2个2，先排2个1只有一种，再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中，再把另一个2插入所形成的四个间隔中，2个2一样，故=6，‎ 根据分类计数原理，数字“1，‎2”‎都出现的四位数有4+4+6=14个 方法二，列举即可，1112，1121，1211，2111，1122，1212，1221，2121，2112，2211，2221，2212，2122，1222，共14种 故答案为14‎ 点评： 本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题 ‎　‎ ‎5．设n∈N*，圆的面积为Sn，则=　4π　．‎ 考点： 极限及其运算；圆的标准方程．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 利用圆的面积计算公式可得Sn=．再利用数列极限运算性质即可得出．‎ 解答： 解：∵圆的面积为Sn，‎ ‎∴Sn=．‎ ‎ ‎ ‎∴==4π．‎ 故答案为：4π．‎ 点评： 本题考查了圆的面积计算公式、数列极限运算性质，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为　4　．‎ 考点： 平面向量数量积的运算．‎ 专题： 计算题；平面向量及应用．‎ 分析： 运用向量垂直的条件，可得=0，由M，N是斜边BC上的两个三等分点，得=（+）•（+），再由向量的数量积的性质，即可得到所求值．‎ 解答： 解：在Rt△ABC中，BC为斜边，‎ 则=0，‎ 则=（）•（+）‎ ‎=（+）•（+）=（+）•（）‎ ‎=++=×9+=4．‎ 故答案为：4．‎ 点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：‎ ‎①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；‎ ‎②x02+[f（x0）]2＜m2，‎ 则m的取值范围是　　．‎ 考点： 正弦函数的图象．‎ 专题： 函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．‎ 分析： 直接利用题中的已知条件建立关系式先求出，对f（x）≤f（x0）成立，只需满f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：先求出f（x）的最小值，进一步求出：当x0最小，f（x0）最小时，函数x02+[f（x0）]2＜m2，解得：，最后求出结果．‎ 解答： 解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立 ‎ ‎ 由于：x0∈（﹣1，1）‎ 所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．‎ 由于f（x）=sin（πx），‎ 所以：‎ 由于②x02+[f（x0）]2＜m 所以当x0最小，且 求出：‎ 进一步求出：‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查的知识要点：三角函数的值域，函数的恒成立问题和存在性问题，属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎8．如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是　（﹣∞，5]　．‎ 考点： 一元二次不等式的解法．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论．‎ 解答： 解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，‎ 设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，‎ 若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，‎ 则，即，则，‎ 解得a≤5，‎ 故答案为：（﹣∞，5]‎ 点评： 本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（6分）关于曲线C：x4﹣y3=1，给出下列四个结论：‎ ‎①曲线C是双曲线； ‎ ‎②关于y轴对称；‎ ‎③关于坐标原点中心对称； ‎ ‎④与x轴所围成封闭图形面积小于2．‎ 则其中正确结论的序号是　②　．（注：把你认为正确结论的序号都填上）‎ 考点： 曲线与方程．‎ 分析： 根据题意，依次分析4个命题：对于①：将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较，可得①错误；对于②：分析关于y轴对称的两个点（x，y）点（﹣x，y），是否都在曲线上，即可得②正确；对于③：分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，即可得③错误，对于④：将曲线方程变形为y=，分析其与x轴所围成的面积，即可得答案．‎ 解答： 解：根据题意，依次分析4个命题：‎ ‎ ‎ 对于①：曲线C：x4﹣y3=1，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线；①错误；‎ 对于②：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于y轴对称的点（﹣x，y），也有（﹣x）4﹣y3=1成立，则点（﹣x，y）也在曲线上，故曲线关于y轴对称，②正确；‎ 对于③：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y），（﹣x）4﹣（﹣y）3=1不成立，则点（﹣x，﹣y）不在曲线上，故曲线不关于原点对称，③错误；‎ 对于④：曲线C：x4﹣y3=1，变形可得y=，分析可得其是开放性曲线，与x轴所围成的面积无最大值，故④错误；‎ 故答案为②．‎ 点评： 本题考查曲线与方程，解题的关键是根据曲线的方程，分析曲线的几何形状与具有的几何性质．‎ ‎　‎ 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.‎ ‎10．（6分）“a≠‎2”‎是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（　　）‎ ‎　 A．必要不充分条件 B． 充分不必要条件 ‎　 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 由方程组得y=，得到a≠2且a≠﹣1，从而求出a的范围．‎ 解答： 解：由有唯一解得：‎ y=，‎ ‎∴a≠2且a≠﹣1，‎ ‎∴a≠‎2”‎是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了充分必要条件，考查了二元一次方程组的解法，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是（　　）‎ ‎　 A．若a3＞0，则a2013＜0 B． 若a4＞0，则a2014＜0‎ ‎　 C．若a3＞0，则S2013＞0 D． 若a4＞0，则S2014＞0‎ 考点： 等比数列的性质．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案．‎ ‎ ‎ 解答： 解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；‎ 对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=0，故错误；‎ 对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a2＞0，但S2014=0，故错误；‎ 对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以 a1＞0．‎ 当公比q＞0时，任意an＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013 =＞0，故C正确，‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．‎ 下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：‎ ‎①A=R，运算“⊕”为普通减法；‎ ‎②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法；‎ ‎③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．‎ 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（　　）‎ ‎　 A．①② B． ①③ C． ①②③ D． ②③‎ 考点： 进行简单的合情推理．‎ 专题： 计算题；推理和证明．‎ 分析： 根据单位元素的定义，对三个集合及相应的运算“⊕”进行检验即可．‎ 解答： 解：①若A=R，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；‎ ‎②A={Am×n|Am×n表示m×n阶矩阵，m∈N*，n∈N*}，运算“⊕”为矩阵加法，‎ 其单位元素为全为0的矩阵；‎ ‎③A={X|X⊆M}（其中M是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集，‎ 其单位元素为集合M．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．‎ ‎13．（18分）请仔细阅读以下材料：‎ 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．‎ 求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．‎ 证明 因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞＞0．‎ ‎ ‎ 又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，‎ 于是有． ①‎ 同理有． ②‎ 由①+②得．‎ 故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则”是真命题．‎ 请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：‎ ‎（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若，则：ab＞‎1”‎是真命题；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（ax﹣1）+f（2x）＞f（a1﹣x）+f（2﹣x）（其中a＞0）．‎ 考点： 抽象函数及其应用；四种命题；其他不等式的解法．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： （1）先写出原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：，由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题，证明原命题的逆否命题为真命题；‎ ‎（2）利用（1）的结论有：ax﹣1•2x＞1，即：（‎2a）x＞a，再分①当‎2a＞1时、②当0＜‎2a＜1时、③当‎2a=1时三种情况，写出不等式的解集．‎ 解答： 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题．‎ 原命题的逆否命题：设a，b∈R+，若ab≤1，则：，‎ 下面证明原命题的逆否命题为真命题：‎ 因为a，b∈R+，由ab≤1，得：，‎ 又f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数 所以…（1）‎ 同理有：…（2）‎ 由（1）+（2）得：‎ 所以原命题的逆否命题为真命题 所以原命题为真命题．‎ ‎（2）由（1）的结论有：ax﹣1•2x＞1，即：（‎2a）x＞a ‎①当‎2a＞1时，即时，不等式的解集为：（log2aa，+∞）‎ ‎ ‎ ‎②当0＜‎2a＜1时，即时，不等式的解集为：（﹣∞，log2aa）‎ ‎③当‎2a=1时，即时，不等式的解集为：R．‎ 点评： 本题主要考查抽象函数的综合应用，并同时考查证明真命题的方法，其中，原命题与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长‎1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．‎ ‎（1）求曲线段FGBC的函数表达式；‎ ‎（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为‎1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；‎ ‎（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．‎ 考点： 在实际问题中建立三角函数模型．‎ 专题： 计算题；应用题；作图题；函数的性质及应用．‎ 分析： （1）由题意可得A=2，T=12，代入点求ϕ，从而求解析式；‎ ‎（2）令求解x，从而求景观路GO的长；‎ ‎（3）作图求平行四边形的面积SOMPQ=OM•PP1=（2cosθ﹣sinθ）2sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，）；从而求最值．‎ 解答： 解：（1）由已知条件，得A=2，‎ 又∵，‎ 又∵当x=﹣1时，‎ 有，‎ ‎∴曲线段FBC的解析式为．‎ ‎ ‎ ‎（2）由得，‎ x=6k+（﹣1）k﹣4（k∈Z），‎ 又∵x∈[﹣4，0]，‎ ‎∴k=0，x=﹣3，‎ ‎∴G（﹣3，1），；‎ ‎∴景观路GO长为千米．‎ ‎（3）如图，‎ ‎，‎ 作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，‎ PP1=OPsinθ=2sinθ，‎ 在△OMP中，‎ ‎=，‎ ‎∴OM==2cosθ﹣sinθ，‎ SOMPQ=OM•PP1=（2cosθ﹣sinθ）2sinθ ‎=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，）；‎ 当2θ+=时，即θ=时，‎ 平行四边形面积有最大值为（平方千米）．‎ 点评： 本题考查了三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（20分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=﹣8x有一个公共的焦点．‎ ‎（1）求椭圆C方程；‎ ‎（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；‎ ‎（3）P为直线x=3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎ ‎ 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： （1）由题意得c=2，，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（2）直线l的方程为y=k（x﹣2）．联立方程组，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出|AB|．‎ ‎（3）设AB的中点为M（x0，y0）．由中点坐标公式得，．直线MP的斜率为，又xP=3，由此利用弦长公式能求出k=±1，从而求出直线l的方程．‎ 解答： 解：（1）由题意得F1（﹣2，0），‎ c=2…（2分）‎ 又，‎ 得a4﹣‎8a2+12=0，解得a2=6或a2=2（舍去），…（2分）‎ 则b2=2，…（1分）‎ 故椭圆方程为．…（1分）‎ ‎（2）直线l的方程为y=k（x﹣2）．…（1分）‎ 联立方程组，消去y并整理得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．…（3分）‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 故，．…（1分）‎ 则|AB|=|x1﹣x2|==．…（2分）‎ ‎（3）设AB的中点为M（x0，y0）．‎ ‎∵=2x0，∴，…（1分）‎ ‎∵y0=k（x0﹣2），∴．…（1分）‎ 直线MP的斜率为，又 xP=3，‎ ‎ ‎ 所以．…（2分）‎ 当△ABP为正三角形时，|MP|=，‎ 可得，…（1分）‎ 解得k=±1．…（1分）‎ 即直线l的方程为x﹣y﹣2=0，或x+y﹣2=0．…（1分）‎ 点评： 本题考查椭圆C方程的求法，考查弦AB的长的求法，考查直线l的方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．（20分）设数列{an}满足：①a1=1；②所有项an∈N*；③1=a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…设集合Am={n|an≤m，m∈N*}，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．‎ ‎（1）若数列{an}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{an}；‎ ‎（2）设an=3n﹣1，求数列{an}的伴随数列{bn}的前100之和；‎ ‎（3）若数列{an}的前n项和Sn=n+c（其中c常数），试求数列{an}的伴随数列{bn}前m项和Tm．‎ 考点： 数列的求和；数列的应用．‎ 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．‎ 分析： （1）根据伴随数列的定义求出数列{an}；‎ ‎（2）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列{bn}的前100项以及它们的和；‎ ‎（3）由题意和an与Sn的关系式求出an，代入an≤m得，并求出伴随数列{bm}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{bm}的前m项和Tm．‎ 解答： 解：（1）1，4，7． …（6分）‎ ‎（2）由，得 ‎∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1…（1分）‎ 当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2…（1分）‎ 当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3…（1分）‎ 当27≤m≤80，m∈N*时，b27=b28=…=b80=4…（1分）‎ 当81≤m≤100，m∈N*时，b81=b82=…=b100=5…（1分）‎ ‎∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384…（1分）‎ ‎（3）∵a1=S1=1+c=1∴c=0…（1分）‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2‎ ‎ ‎ ‎∴…（2分）‎ 由an=3n﹣2≤m得：‎ 因为使得an≤m成立的n的最大值为bm，‎ 所以 …（1分）‎ 当m=3t﹣2（t∈N*）时：…（1分）‎ 当m=3t﹣1（t∈N*）时：…（1分）‎ 当m=3t（t∈N*）时：…（1分）‎ 所以（其中t∈N*）…（1分）‎ 点评： 本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题．‎