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松江区2015届高三数学第一学期期末试卷（文理附答案）‎ ‎（满分150分，完卷时间120分钟） 2015.1‎ 一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．若复数满足,则的值为 ▲ ．‎ ‎2．已知，且，则 ▲ ．‎ ‎3．在等差数列中，,则 ▲ ．‎ ‎4．已知正方形的边长为,为的中点，则= ▲ ．‎ ‎5．在正四棱柱中，与平面所成的角为，则与所成的角为 ▲ （结果用反三角函数表示）．‎ 第7题 ‎6．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是 ▲ ．‎ ‎7．按如图所示的流程图运算，则输出的 ▲ ．‎ ‎8．已知函数（，）的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度所得图像关于轴对称，则 ▲ ．‎ ‎9．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．‎ ‎10．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为 ▲ ．‎ ‎11．(理)已知函数，若对恒成立，则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎11．（文）函数的单调递增区间为 ▲ ．‎ ‎12．某同学为研究函数 的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．此时= ▲ ．‎ ‎13．设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．（理）在正项等比数列 中，已知，若集合 ‎，则A中元素个数为 ▲ ．‎ ‎14．（文）在正项等比数列 中，已知，若集合 ‎，则A中元素个数为 ▲ ．‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．已知，则“”是“”的 ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎16．若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是 A．4　　　 　　 B．5　　　 　　‎ C．6　　　　　　 D．7‎ ‎17．设是所在平面内一点，则 A．　　　 B．　　　 　　‎ C．　　　　　　 D．‎ ‎18．已知满足条件的点构成的平面区域面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为,其中分别表示不大于的最大整数，例如：，，则的关系是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ 三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 在中，分别为内角所对的边，且满足,．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数．‎ ‎（1）若为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若在区间上是增函数，试求、应满足的条件．‎ ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为‎8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．‎ ‎（1）如果该沙漏每秒钟漏下‎0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？‎ ‎（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到‎0.1cm）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 已知数列的首项为，记().‎ ‎（1）若为常数列，求的值；‎ ‎（2）若为公比为的等比数列，求的解析式；‎ ‎（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 ‎（理）对于曲线，若存在最小的非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立，则称曲线为有界曲线，且称点集为曲线的界域．‎ ‎（1）写出曲线的界域；‎ ‎（2）已知曲线上任意一点到坐标原点与直线的距离之和等于3，曲线是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；‎ ‎（3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的界域．‎ ‎（文）对于曲线，若存在非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立(其中为坐标原点)，则称曲线为有界曲线，且称 的最小值为曲线的外确界，的最大值为曲线的内确界．‎ ‎（1）写出曲线的外确界与内确界；‎ ‎（2）曲线与曲线是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．‎ 数学（文理合卷）试卷参考答案 ‎2015.1‎ 一、填空题 ‎1． 2． ‎ ‎3．90 4．2 ‎ ‎5． 6． ‎ ‎7．20 8． ‎ ‎9． 10．‎ ‎11．(理) （文） 12． ‎ ‎13． 14． （理）4029 （文） 7‎ 二、选择题 ‎15．A 16． D 17．C 18．A 三、解答题 ‎19． ‎ 解：（1） ……………2分 ‎ ……………4分 由于，为锐角，……………6分 ‎（2）由余弦定理：,‎ ‎，……………8分 ‎，或 由于，……………10分 所以……………12分 ‎20．‎ 解：（1）为偶函数，∴对任意的，都有，……………2分 即 ……………4分 得 。……………6分 ‎（2）记，……………8分 ‎①当时，在区间上是增函数，即在区间上是增函数，‎ ‎∴，……………10分 ‎②当时，在区间上是增函数，即在区间上是减函数但在区间上是增函数，故不可能……………12分 ‎∴在区间上是增函数时，、应满足的条件为且……14分 ‎ ‎21．‎ 解（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高 ‎ ‎ ‎ ‎ 为，底面半径为……………2分 ‎39.71……………5分 ‎（秒）‎ 所以，沙全部漏入下部约需1986秒。……………7分 ‎（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，……………9分 设高为 ‎……………12分 锥形沙堆的高度约为‎2.4cm. ……………14分22．‎ ‎22．‎ 解:（1）∵为常数列，∴.‎ ‎∴……………4分 ‎（2）∵为公比为的等比数列，∴.……………6分 ‎∴，‎ ‎∴，……………8分 故. ……………10分 ‎ ‎（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，设公差为，则 ……………12分 且，‎ 相加得 ，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴恒成立，‎ 即 恒成立，∴.……………15分 故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为 16分 ‎ ‎（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） ‎ ‎23．‎ ‎（理）（1） ‎ ‎ 界域为……………4分 ‎（2）设，则 ……………6分 化简，得： ……………8分 ‎ ‎ ‎ 界域为 ……………10分 ‎（3）由已知得：……………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎， ……………14分 令 ‎ 当，即时，等号成立．‎ 若，，时， ‎ ‎ ……16分 若，，，时，‎ ‎ ‎ ‎ 曲线界域为：‎ ‎①时，‎ ‎②时，……………18分 ‎23．（文）‎ ‎（1）曲线的外确界与内确界．………4分 ‎（2）对于曲线，设为曲线上任意一点 ‎ ‎ ‎ 曲线不是有界曲线． ……………7分 ‎ 对于曲线 ‎ ‎ ‎ 曲线是有界曲线．外确界与内确界…………10分 ‎（3）由已知得： ……………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……………14分 ‎ 若，则，外确界，内确界 ……………16分 ‎ 若，，则，外确界，内确界 ‎ ‎ 综合得：外确界，内确界．……………18分