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‎2015年1月石景山区高三数学期末考试试卷（文科含答案）‎ 高三数学（文）‎ 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． ‎ ‎1．设集合,, , 则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．下列函数中，在上单调递增，并且是偶函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．已知向量，则（ ） ‎ A. B. C. D.‎ A≤5‎ 是 否 开始 A=1，B=1‎ A=A+1‎ B=2B+1‎ 输出B 结束 ‎4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后 输出的B等于（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设为实数，命题甲：， 命题乙：， 则命题甲是命题乙的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）‎ ‎7．若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（ ）‎ A.条 B.条 C.条 D.条 A P F D B E C ‎8．某同学为了研究函数的性质，构造了如图 所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么可推知方程解的个数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎9. 若复数, ,则 . ‎ ‎10．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 ． ‎ ‎11．在中，角所对的边分别为，已知，，， 则____________．‎ ‎12． 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 各条棱中，最长的棱的长度为 ． ‎ ‎13．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则 ； 若点，则 的最小值为 .‎ ‎14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的 表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列 各数之和的最小值为　　　　，最大值为　　　　. ‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 设数列满足:,,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和；zhangwlx ‎(Ⅱ)已知数列是等差数列,为的前项和,且,,‎ 求的最大值.‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 已知函数的部分图象如图所示.‎ x y O ‎1‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.‎ ‎17．（本小题共14分）‎ E A B C D B1‎ A1‎ D1‎ C1‎ F 如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）证明：//平面；‎ ‎（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体的体积. ‎ ‎18．（本小题共13分）‎ ‎0.008‎ ‎0.016‎ ‎0.024‎ ‎0.032‎ ‎0.040‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 分数 ‎0.012‎ ‎0.020‎ ‎0.028‎ ‎0.036‎ ‎0.004‎ 某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：‎ 分组 频数 频率 第1组 ‎[60,70)‎ M ‎0.26‎ 第2组 ‎[70,80)‎ ‎15‎ p 第3组 ‎[80,90)‎ ‎20‎ ‎0.40‎ 第4组 ‎ [90,100]‎ N q 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；‎ ‎（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程. ‎ ‎20. （本小题共13分）‎ 已知函数，为其导函数，且时有极小值． ‎ ‎（Ⅰ）求的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：）‎ ‎2015年1月石景山区高三数学期末考试试卷（文科含答案）‎ 高三数学（文）‎ 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． ‎ ‎1．设集合 , , , 则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．下列函数中，在 上单调递增，并且是偶函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知向量 ，则 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后 输出的B等于（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设 为实数，命题甲： ，‎ 命题乙： ， ‎ 则命题甲是命题乙的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6．函数 的零点所在的区间是（ ）‎ A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）‎ ‎7．若点 和点 到直线 的距离依次为 和 ，则这样的直线有（ ）‎ A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 ‎8．某同学为了研究函数 的性质，构造了如图 所示的两个边长为 的正方形 和 ，点 是边 上的一个动点，设 ，则 ．那么可推知方程 解的个数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． ‎ ‎9. 若复数 , ,则 . ‎ ‎10．若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为 ． ‎ ‎11．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ， ，‎ 则 ____________．‎ ‎12． 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 各条棱中，最长的棱的长度为 ． ‎ ‎13．已知不等式组 表示的平面区域 的面积为 ，则 ；‎ 若点 ，则 的最小值为 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的 表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列 各数之和的最小值为　　　　，最大值为　　　　.‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 设数列 满足: , , .‎ ‎(Ⅰ)求数列 的通项公式及前 项和 ；zhangwlx ‎(Ⅱ)已知数列 是等差数列, 为 的前 项和,且 , ,‎ 求 的最大值.‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 已知函数 的部分图象如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求函数 的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值与最小值.‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 如图所示，在正方体 中， 分别是棱 的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面 平面 ；‎ ‎（Ⅱ）证明： //平面 ；‎ ‎（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体 的体积. ‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：‎ 分组 频数 频率 第1组 [60,70) M 0.26‎ 第2组 [70,80) 15 p 第3组 [80,90) 20 0.40‎ 第4组 [90,100] N q 合计 50 1‎ ‎（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；‎ ‎（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为2，离心率为 .‎ ‎（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线 经过点 ，且与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程. ‎ ‎20. （本小题共13分）‎ 已知函数 ， 为其导函数，且 时 有极小值 ． ‎ ‎（Ⅰ）求 的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若不等式 （ 为正整数）对任意正实数 恒成立，求 的最大值．（解答过程可参考使用以下数据： ）‎ ‎2015年1月石景山区高三数学期末考试试题 高三数学（文）参考答案 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8‎ 答案 C A D A B B C A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． ‎ 题号 9 10 11 12 13 14‎ 答案 ‎ ‎(13题、14题第一空2分,第二空3分)‎ 三、解答题共6小题，共80分．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ ‎（Ⅰ）由已知， 是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分 所以 ， ………………………4分 ‎ 所以 . ………………………………………6分 ‎(Ⅱ) , ………………………………………8分 ‎ , ………………………………………10分 ‎ ‎ 当 时， 有最大值49. ……………………………13分 ‎ ‎ ‎16．（本小题共13分）‎ ‎（Ⅰ） …………………………2分 因为点 在函数图象上，得 .‎ 由 可得 ，‎ ‎ 即 . ………………………………………………4分 因为点 在函数图象上， .‎ 故函数 的解析式为 ……………………6分 ‎（Ⅱ）因为 ，所以 . ……………9分 当 时，即 时， 的最小值为 ；…………………11分 当 时，即 时， 的最大值为 . ………………13分 ‎17．（本小题共14分）‎ ‎（Ⅰ）证明: ‎ 因为 为正方体，‎ 所以 面 ；‎ 因为 面 ，所以 ． …………2分 ‎ 又因为 ， ，所以 面 ‎ ‎ 因为 面 ,所以平面 面 . …………5分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）连接 , // ，且 ， ‎ 设 ，‎ 则 // 且 ,‎ ‎ 所以 // 且 ，‎ ‎ 所以四边形 为平行四边形. 所以 // . …………9分 ‎ 又因为 ， ．‎ ‎ 所以 //面 …………11分 ‎（Ⅲ） …………………14分 ‎18．（本小题共13分）‎ ‎（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，q=0.04， …………………2分 ‎………………4分 ‎（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为 （人）……6分 ‎（Ⅲ）记获一等奖的6人为 ，其中 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：‎ ‎ ， ， ， ， ，‎ ‎ ， ， ， ， ，‎ ‎ ， ， ， ， ， ………10分 ‎ 女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:‎ ‎ ， ， ， ，‎ ‎ ， ， ， ， ………12分 所以恰有1名女生接受采访的概率 . ………13分 ‎19．（本小题共14分）‎ ‎（Ⅰ）由题意知, …………………1分 解得 …………………3分 故椭圆方程为 ． …………………4分 ‎（Ⅱ）设 ‎ 当k不存在时，直线方程为 ，不符合题意． …………………5分 当k存在时，设直线方程为 ， ‎ 联立 ，消去 ，得： ， ……………6分 由题意，点在椭圆内部，必有两个交点，方程必有实根．（或计算 ） …7分 ‎ …………………8分 若 ，则 ， …………………9分 代入上式，可得 ‎ ，消去 ，解得 . …………………13分 所求直线方程为 ． …………………14分 ‎20．（本小题共13分）‎ ‎（Ⅰ）由 ，因为函数在 时有极小值 ，‎ 所以 ，从而得 ， ………………2分 所求的 ，所以 ，‎ 由 解得 ，‎ 所以 的单调递减区间为 . ………………4分 ‎（Ⅱ）因为 ，所以 等价于 ‎ ，即 ， ……………6分 记 ，‎ 则 ，‎ 由 ，得 ，‎ 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，‎ 所以 ， ……………8分 ‎ 对任意正实数 恒成立，‎ 等价于 ，即 . ……………10分 记 ，‎ 则 ，所以 在 上单调递减，‎ 又 ，‎ 所以 的最大值为 ． ……………13分 ‎【注：若有其它解法，请酌情给分．】‎