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嘉兴市2014-2015学年高三理科数学上学期期末检测（有答案）（2015.1）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;‎ ‎ 2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ 高三理科数学 试题卷　第1页（共6页）‎ 棱柱的体积公式 ‎，‎ 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高．棱锥的体积公式．‎ ‎，‎ 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高．‎ 棱台的体积公式 ‎，‎ 其中分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高．‎ 球的表面积公式 ‎，‎ 其中R表示球的半径．‎ 球的体积公式 ‎，‎ 其中R表示球的半径．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合或，Ú，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2．设，则“”是“直线与直线平行”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 已知等比数列的公比为正数，且，若，则 A．1 B．‎4 ‎ C． D．‎ ‎4．平面向量满足，，且向量与向量的夹角为，则为 A．2 B． C． D．‎ ‎5．某组合体的三视图如图所示，其中俯视图的扇形中心角为，则该几何体的体积为 ‎（第5题）‎ 正视图 俯视图 侧视图 A． B．‎ C． D． ‎ ‎6．已知锐角满足，‎ 则等于 A． B．‎ C． D． ‎ ‎77. 已知实数满足，若可行域内存在点使得成立，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数，若，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎（第9题）‎ ‎9．如图所示，已知双曲线 的左焦点为，过作斜率为的直线交双曲线 的渐近线于，两点，且，则该 双曲线的离心率为 A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎10. 正四面体的棱长为，棱与平面所成的角，且顶点在平面内，均在平面外，则棱的中点到平面的距离的取值范围是 ‎（第10题）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎11．已知等差数列的前项和为，且，则　 ▲　 ．‎ ‎12．抛物线的焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为，则抛物线的标准方程为 ▲ 　　．‎ ‎13．过点且与直线垂直的直线为，则被圆截得的长度为　 ▲　 ．‎ ‎14. 函数，则此函数的值域为　 ▲　 ．‎ ‎15. 若函数的图象在区间上至少有两个最高点和两个最低点，则的取值范围是　 ▲　 ．‎ ‎16．已知，且，则的最小值为　 ▲　 ．‎ ‎（第17题）‎ ‎17．在面积为的平行四边形中，点 为直线上的动点，则的 最小值是　 ▲　 ．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 在中，角所对的边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 如图，四棱锥中，，，，，是棱的中点，设二面角的值为．‎ ‎（第19题）‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本题满分15分）‎ 设a为实数，函数 ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最小值． ‎ ‎21. （本题满分15分）‎ ‎（第21题）‎ 已知椭圆经过点，且离心率为，点是椭圆上的任意一点，从原点引圆的两条切线分别交椭圆于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：的值为定值．‎ 参考答案 一.选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．D； ‎ ‎6．A； 7．D； 8．C； 9． B； 10．C．‎ ‎（第10题）‎ ‎10. 解析：设 ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分，请将答案写在答题卷上）‎ ‎11．0 12． 13． 14．‎ ‎15． 16． 17．．‎ ‎16. 解析：‎ ‎ 而 ‎ =‎ ‎ 的最小值为 ‎ 当且仅当，即时取最小值。‎ ‎17．解析：取中点,连接 ‎=‎ ‎=,此时且 三、解答题：（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 在中，角所对的边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）， …2分 即 …4分 ‎， …7分 ‎（Ⅱ）因为 … 9分 ‎ …11分 ‎ …12分 ‎， …14分 ‎19．（本题满分14分）‎ 如图，四棱锥中，，，，，是棱的中点，设二面角的值为．‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．‎ ‎（第19题）‎ O 证明：（Ⅰ），O为AD中点，连结PO，∴．又二面角的值为，∴面ABCD，∴， ．‎ ‎∴平面． …2分 又平面，∴． …4分 又，∴平面． ‎ ‎∴． …7分 ‎（Ⅱ）解：由题意知：．‎ ‎（第19题）‎ 如图，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎． …9分 ‎∴、．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，得．…11分 而平面的法向量为． …12分 设二面角的平面角为.‎ 则 …14分 ‎20．（本题满分15分）‎ 设a为实数，函数 ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最小值． ‎ 解: （Ⅰ） 若，则 …5分 ‎ （Ⅱ） …7分 当时，‎ ‎①时，在上单调递增，所以 ‎ ； …9分 ‎ ‎②时，在上单调递减，在上单调递增，所以 ‎ ； …11分 当时，‎ ‎①时，在上单调递增，所以 ‎； …13分 ‎②时，在上单调递减，在上单调递增，所以 ‎ ‎ 综上所述： …15分 ‎21. （本题满分15分）‎ 已知椭圆经过点，且离心率为，点是椭圆上的任意一点，从原点引圆的两条切线分别交椭圆于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：的值为定值．‎ 解：（Ⅰ）椭圆方程为 …5分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设直线，，，‎ 设过原点圆的切线方程为 则有，整理得 ‎ ‎ …8分 又因为，所以可求得 …11分 ‎（第21题）‎ 联立得，则 同理可得， …13分 所以 ‎ ‎ 所以的值为定值36 …15分