函数y=Asin的图像与性质(二)（带解析北师大版必修四）
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2013·天津高考)函数f(x)=sin在区间上的最小值是 ( )
A.-1 B.- C. D.0
【解题指南】先确定2x-的范围,再根据正弦函数的单调性求最小值.
【解析】选B.因为x∈,所以2x-∈,根据正弦曲线可知,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.
2.(2014·泉州高一检测)函数y=sin2x的一个单调递增区间可以是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故当k=0时的单调递增区间为.
3.(2014·九江高一检测)已知函数f(x)=sin的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2+y2=R2上,则f(x)的最小正周期为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.由题意T==2R,
由f(x)max=sinx=,
则sinx=1,
即x=,
所以x=,
- 12 -
故函数f(x)过点,
又在圆上,所以+3=R2,
故R=2,则f(x)=sinx,故T=2R=4.
4.(2014·景德镇高一检测)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,那么|φ|的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,
所以2·+φ=kπ+,
所以φ=kπ-(k∈Z),
由此易得|φ|min=.故选A.
5.已知函数y=sin,其中x∈.若函数的值域是,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为-≤x≤a,
所以-≤2x+≤+2a,
因为-≤y≤1,sin=-,
故≤+2a≤π,解得≤a≤.
6.若当x=时,函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f是
( )
A.奇函数且图像关于点对称
B.偶函数且图像关于点(π,0)对称
C.奇函数且图像关于直线x=对称
- 12 -
D.偶函数且图像关于点对称
【解析】选C.由题意+φ=-+2kπ,k∈Z,
故φ=-+2kπ,k∈Z,
故y=f=-Asinx,
故该函数为奇函数且图像关于直线x=对称.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·南通高一检测)函数y=3sin(x∈[0,π])的单调递增区间是 .
【解析】y=-3sin,
令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
则+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
当k=0时,≤x≤符合题意.
答案:
8.(2014·淮安高一检测)将函数y=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位,得到的图像对应的函数为f(x),若f(x)为偶函数,则φ的最小值为 .
【解析】由题意f(x)=sin,
若f(x)为偶函数,则2φ-=+kπ,k∈Z,
得φ=+(φ>0),k∈Z,
当k=0时,φ的最小值为.
答案:
9.(2014·厦门高一检测)已知函数f(x)=sin2x+,则下列命题正确的是 .
①函数y=f(x)的图像关于点对称;
②函数y=f(x)在区间上是增函数;
- 12 -
③函数y=f是偶函数;
④将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到函数y=f(x)的图像.
【解析】①中f=sin=-≠0,错误;
②中当x∈时,2x+∈,不是正弦函数的增区间,错误;
③中y=f=sin=cos2x,是偶函数;
④中将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到y=sin=cos2x的图像,错误.
答案:③
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·韶关高一检测)已知函数y=f(x)=sin,x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值及y取最大值时x的集合.
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
(3)将函数y=sin的图像作怎样的变换可得到y=sinx的图像?
【解题指南】(1)根据正弦函数的特点知当x+=2kπ+,k∈Z时y取最大值为1,求出x即可得出结果.
(2)直接根据正弦函数的单调性求单调区间.
(3)将y=sin的图像先向右平移,再进行左右伸缩变换.
【解析】(1)当sin=1时,y取最大值ymax=1,
此时x+=2kπ+,k∈Z,
即x=4kπ+,k∈Z,
所以y取最大值1时,x的集合为
.
(2)令z=x+,
则y=sinz的单调递减区间为
(k∈Z),
- 12 -
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得4kπ+≤x≤4kπ+π,k∈Z.
又z=x+在(-∞,+∞)上为增函数,
故原函数的单调递减区间为
(k∈Z).
(3)将y=sin的图像向右平移个单位可得到y=sin的图像,再将所得图像的横坐标变为原来的可得到y=sinx的图像(答案不唯一).
11.(2014·泰州高一检测)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图像如图所示.
(1)求A,ω的值.
(2)求f(x)的单调增区间.
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解题指南】(1)通过函数的图像直接求A,利用函数的周期即可求出ω的值.
(2)根据正弦函数的单调增区间,直接求f(x)的单调增区间即可.
(3)通过x∈,求出函数的相位的范围,利用正弦函数的最值,直接求解f(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)由图像知A=1,
由图像得函数的最小正周期为2=π,
则由=π得ω=2.
(2)由(1)得,f(x)=sin,
因为-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
- 12 -
所以-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z.
所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调增区间为
,k∈Z.
(3)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,
所以-≤sin≤1.
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值1;
当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-.
【一题多解】(3)结合已知函数的图像,
因为∈且->-,
所以x=时f(x)在上取得最大值1.
x=-时f(x)在上取得最小值-.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·三亚高一检测)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R的最小正周期是π,且f(0)=,则 ( )
A.ω=2,φ= B.ω=,φ=
C.ω=2,φ= D.ω=,φ=
【解析】选C.由题意ω=2,
又f(0)=2sinφ=,
故sinφ=,又|φ|0时,解得
当b0,ω>0)的图像在y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P(x0,2+m)和Q.若f(x)在上最大值与最小值的和为5,求m的值.
【解析】由题意知
所以A=2,T=×2=π=,ω=1,
所以f(x)=2sin+m,
因为x∈,
所以-≤2x+≤π,
-≤sin≤1,
所以f(x)max=2+m,f(x)min=-1+m,
所以2+m-1+m=5,所以m=2.
8.(2014·苏州高一检测)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx
+φ)ω>0,-
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