2015版高中数学 1.3 等比数列（第2课时）练习 北师大版必修5.doc

‎1.3等比数列第2课时训练题（有解析北师大版必修五）‎ 一、选择题 ‎1．在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝(　　)‎ A．24　 B．30‎ C．54　 D．108‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a8＝a4q4，∴q4＝＝＝3，‎ ‎∴a12＝a8·q4＝54.‎ ‎2．在等比数列{an}中，a3＝2－a2，a5＝16－a4，则a6＋a7的值为(　　)‎ A．124　 B．128‎ C．130　 D．132‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a2＋a3＝2，a4＋a5＝16，‎ 又a4＋a5＝(a2＋a3)q2，∴q2＝8.‎ ‎∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝16×8＝128.‎ ‎3．已知{an}为等比数列，且an>0，a‎2a4＋‎2a3a5＋a‎4a6＝25，那么a3＋a5等于(　　)‎ A．5　 B．10‎ C．15　 D．20‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵a＝a‎2a4，a＝a‎4a6，‎ ‎∴a＋‎2a3a5＋a＝25，‎ ‎∴(a3＋a5)2＝25，‎ 又∵an>0，∴a3＋a5＝5.‎ ‎4．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于(　　)‎ A．16　 B．32‎ C．64　 D．256‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由已知，得a‎1a19＝16，‎ 又∵a1·a19＝a8·a12＝a，‎ ‎∴a8·a12＝a＝16，又an>0，‎ ‎∴a10＝4，∴a8·a10·a12＝a＝64.‎ ‎5．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝‎2a，a2＝1，则a1＝(　　)‎ A．　 B． C．　 D．2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a3·a9＝a，又∵a‎3a9＝‎2a，‎ ‎∴a＝‎2a，∴2＝2，‎ ‎∴q2＝2，∵q>0，∴q＝.‎ - 4 -‎ 又a2＝1，∴a1＝＝＝.‎ ‎6．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于(　　)‎ A．　 B． C．　 D．6‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵，‎ 解得或.‎ 又∵an>an＋1，∴a4＝3，a14＝2.∴＝＝.‎ 二、填空题 ‎7．已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于________．‎ ‎[答案]　－3‎ ‎[解析]　＝＝＝－3.‎ ‎8．等比数列{an}中，an>0，且a5·a6＝9，则log‎3a2＋log‎3a9＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　∵an>0，∴log‎3a2＋log‎3a9＝log‎3a2a9＝log‎3a5a6＝log39＝log332＝2.‎ 三、解答题 ‎9．已知{an}为等比数列，且a‎1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.‎ ‎[解析]　∵{an}为等比数列，‎ ‎∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，‎ ‎∴a3，a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．‎ ‎∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，‎ 当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，‎ ‎∴1＋q4＝5，∴q4＝4.‎ 当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，‎ ‎∴1＋q4＝，∴q4＝.‎ ‎∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.‎ ‎10．三数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数．‎ ‎[解析]　设三数分别为，a，aq，‎ 则 由①，得a＝3.将a＝3代入②得q＝±，或q＝±3.‎ ‎∴所求三数为－9,3，－1或9,3,1或1,3,9或－1,3，－9.‎ 一、选择题 - 4 -‎ ‎1．已知等比数列{an}中，有a‎3a11＝‎4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)‎ A．2　 B．4‎ C．8　 D．16‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a‎3a11＝a＝‎4a7，∵a7≠0，‎ ‎∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，‎ ‎∴b5＋b9＝2b7＝8.‎ ‎2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，‎2a2成等差数列，则＝(　　)‎ A．1＋　 B．1－ C．3＋2　 D．3－2 ‎[答案]　C ‎[解析]　设数列{an}的公比为q，由已知可得a3＝a1＋‎2a2⇒q2－2q－1＝0，q＝1＋或1－(舍)，‎ 则＝q2＝(1＋)2＝3＋2.‎ ‎3．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　　)‎ A．210　 B．220‎ C．216　 D．215‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设A＝a‎1a4a7…a28，B＝a‎2a5a8…a29，‎ C＝a‎3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，‎ 公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，‎ ‎∴C＝B·210＝220.‎ ‎4．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于(　　)‎ A．32　 B．34‎ C．66　 D．64‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C．‎ 二、填空题 ‎5．(2014·安徽理，12)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　本题考查等差数列，等比数列．‎ 设等差数列的首项为a，公差为d，‎ ‎(a3＋3)2＝(a1＋1)(a5＋5)，‎ 即(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，‎ 化简得(d＋1)2＝0，∴d＝－1，‎ ‎∴q＝＝1.‎ 直接进行计算，有时会有比较好的效果．‎ - 4 -‎ ‎6．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得．‎ 解析：a4－a3＝a2q2－a2q＝4，‎ 因为a2＝2，所以q2－q－2＝0，解得q＝－1，或q＝2.‎ 因为an为递增数列，所以q＝2.‎ 三、解答题 ‎7．设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.‎ ‎[解析]　由b1＋b2＋b3＝3，‎ 得log2(a1· a2·a3)＝3，‎ ‎∴a1·a2·a3＝23＝8，‎ ‎∵a＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，‎ 设等比数列{an}的公比为q，得 log2()·log2(2q)＝－3.‎ 解得q＝4或，‎ ‎∴所求等比数列{an}的通项公式为 an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.‎ ‎8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．‎ ‎[解析]　设{an}的公差为D．‎ 由S3＝a　得‎3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.‎ 由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.‎ 又S1＝a2－d，S2＝‎2a2－d，S4＝‎4a2＋2d，‎ 故(‎2a2－d)2＝(a2－d)(‎4a2＋2d)．‎ 若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；‎ 若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.‎ 因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.‎ - 4 -‎