2015版高中数学 2.3 等比数列（第3课时）练习 新人教B版必修5.doc

‎2.3等比数列第3课时测试题（有解析新人教B版必修五）‎ 一、选择题 ‎1．已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)‎ A．514　　　　　　　　　　 B．513‎ C．512 D．510‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由已知得，解得q＝2或.‎ ‎∵q为整数，∴q＝2.∴a1＝2.∴S8＝＝29－2＝510.‎ ‎2．(2014·全国大纲理，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(　　)‎ A．6　 B．5‎ C．4 D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是an＝2×()n－4，设bn＝lgan＝lg2＋(n－4)lg，这是一个等差数列，所以它的前8项和是 S8＝＝＝4.‎ ‎3．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于(　　)‎ A．－4　 B．－1‎ C．0 D．1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　a1＝S1＝4＋a，‎ a2＝S2－S1＝42＋a－4－a＝12，‎ a3＝S3－S2＝43＋a－42－a＝48，‎ 由已知得a＝a‎1a3，‎ ‎∴144＝48(4＋a)，‎ ‎∴a＝－1.‎ ‎4．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)‎ A．81　 B．120‎ C．168 D．192‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　公式q3＝＝＝27，q＝3，a1＝＝3，‎ S4＝＝120.‎ ‎5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{ - 6 -‎ ‎}的前5项和为(　　)‎ A．或5　 B．或5‎ C． D． ‎[答案]　C ‎[解析]　显然q≠1，∴＝，∴1＋q3＝9，∴q＝2，∴{}是首项为1，公比为的等比数列，前5项和T5＝＝.‎ ‎6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝27，则S9＝(　　)‎ A．81　 B．72‎ C．63 D．54‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴9,18，S9－27成等比数列，‎ ‎∴182＝9(S9－27)，∴S9＝63.故选C．‎ 二、填空题 ‎7．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.‎ ‎[答案]　15‎ ‎[解析]　设数列{an}的首项为a1，则S4＝＝a1，a4＝a1·()3＝a1，‎ ‎∴＝＝15.‎ ‎8．(2013·北京理，10)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______，前n项和Sn＝______.‎ ‎[答案]　2　2n＋1－2‎ ‎[解析]　本题考查等比数列的通项公式求和公式及性质的应用问题．‎ ‎∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q，∴q＝2，再根据a2＋a4＝a1q＋a1q3＝20有a1＝2，所以an＝2n，利用求和公式可以得到Sn＝2n＋1－2.‎ 三、解答题 ‎9．在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求数列{an}的前8项和．‎ ‎[解析]　解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an＝a1qn－1，由已知条件得 a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24， ①‎ a3·a5＝(a1q3)2＝64，‎ ‎∴a1q3＝±8.‎ 将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，没有实数q满足此式，故舍去．‎ 将a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.‎ - 6 -‎ 当q＝2时，得a1＝1，所以S8＝＝255；‎ 当q＝－2时，得a1＝－1，所以S8＝＝85.‎ 解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得 a＝a3·a5＝64，‎ ‎∴a4＝±8，a6＝24＋a4＝24±8.‎ 因为{an}是实数列，所以＞0，‎ 故舍去a4＝－8，而a4＝8，a6＝32，从而a5＝±＝±16.‎ 公比q的值为q＝＝±2，‎ 当q＝2时，a1＝1，a9＝a6q3＝256，‎ ‎∴S8＝＝255；‎ 当q＝－2时，a1＝－1，a9＝a6q3＝－256，‎ ‎∴S8＝＝85.‎ 一、选择题 ‎1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)‎ A．2　 B． C． D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＝3，∴S6＝3S3，∴＝2，‎ ‎∵S3，S6－S3，S9－S6成等比，∴＝22，‎ ‎∴S9＝4S3＋S6＝7S3，‎ ‎∴＝＝，∴选B．‎ ‎2．等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)‎ A．1　 B．－ C．1或－ D．－1或 ‎[答案]　C ‎[解析]　当q＝1时，满足题意．当q≠1时，由题意得，解得q＝－，故选C．‎ ‎3．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)‎ - 6 -‎ A．7　 B．9‎ C．63 D．7或63‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，‎ ‎∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，‎ 即(21－S10)2＝S10(49－21)，‎ ‎∴S10＝7或63.‎ ‎4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝(　　)‎ A．16(1－4－n)　 B．16(1－2－n)‎ C．(1－4－n) D．(1－2－n)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题主要考查等比数列的性质及求和运算．‎ 由＝q3＝＝知q＝，而新的数列{anan＋1}仍为等比数列，且公比为q2＝，‎ 又a1·a2＝4×2＝8，‎ 故a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．‎ 二、填空题 ‎5．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.‎ ‎[答案]　(4n－1)‎ ‎[解析]　∵a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，‎ ‎∴公比q＝2.‎ 又∵数列{a}也是等比数列，首项为a＝1，公比为q2＝4，‎ ‎∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．‎ ‎6．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S22－S11＝________.‎ ‎[答案]　－65‎ ‎[解析]　Sn＝－4－4－4＋…＋(－1)n－1(4n－3)，‎ ‎∴S22＝－4×11＝－44，‎ S11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，‎ ‎∴S22－S11＝－65.‎ 三、解答题 ‎7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．‎ ‎(1)求{an}的公比q；‎ ‎(2)若a1－a3＝3，求Sn.‎ ‎[解析]　(1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，‎ ‎∴q＝1不满足题意．‎ - 6 -‎ ‎∴＝a1＋，‎ 解得q＝－.‎ ‎(2)由(1)知q＝－，‎ 又a1－a3＝a1－a1q2＝a1＝3，‎ ‎∴a1＝4.‎ ‎∴Sn＝ ‎＝[1－(－)n]．‎ ‎8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，S6＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析]　(1)∵S6≠2S3，∴q≠1.‎ ‎∴，‎ 解得q＝2，a1＝.‎ ‎∴an＝a1qn－1＝2n－2.‎ ‎(2)bn＝6n－61＋log22n－2‎ ‎＝6n－61＋n－2＝7n－63.‎ bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，‎ ‎∴数列{bn}是等差数列．‎ 又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋n(n－1)×7‎ ‎＝－56n＋n(n－1)×7‎ ‎＝n2－n.‎ ‎9．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S4＝1，S8＝17，求Sn.‎ ‎[解析]　设{an}公比为q，由S4＝1，S8＝17，知q≠1，‎ ‎∴，‎ 两式相除并化简，得q4＋1＝17，即q4＝16.‎ ‎∴q＝±2.‎ ‎∴当q＝2时，a1＝，Sn＝＝(2n－1)；‎ - 6 -‎ 当q＝－2时，a1＝－，Sn＝ ‎＝[(－2)n－1]．‎ - 6 -‎