图形的变化——投影与视图1
一．选择题（共9小题）
1．若图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B．15 C．10 D．
3．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ）
A．圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球
4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（ ）
A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球
6．下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
16
A． B． C． D．
7．如图1放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2，则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
8．将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
10．写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体 _________ ．
11．如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是 _________ ．
16
12．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方体的体积是 _________ cm3．
13．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为 _________ ．
14．写出图中圆锥的主视图名称 _________ ．
15．如图，四个几何体中，它们各自的三个视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另外一个不同的几何体是 _________ ．（填写序号）
16．如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是 _________ ．
三．解答题（共7小题）
17．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
16
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）
18．如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）
（1）求影子EB的长；
（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．
19．画如图所示几何体的三视图
（1）主视图
（2）左视图
（3）俯视图．
20．如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）该几何体的表面积（含下底面）为 _________ ；
（2）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图．
16
21．如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．
（1）指定路灯的位置（用点P表示）；
（2）在图中画出表示大树高的线段；
（3）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树．
22．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．
（1）该几何体的体积是 _________ （立方单位），表面积是 _________ （平方单位）
（2）画出该几何体的主视图和左视图．
23．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
16
图形的变化——投影与视图1
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．若图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）
A． 6 B．8 C．10 D． 12
考点： 由三视图判断几何体．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据主视图以及俯视图，可得出共有2行，根据俯视图可得出该几何体由2列组成，故可得出小正方体最少块数．
解答： 解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个．
故选A．
点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B．15 C．10 D．
考点： 平行投影．
专题： 计算题．
分析： 根据题意建立直角三角形DCE，然后根据∠CED=60°，DE=10可求出答案．
解答： 解：由题意得：DC=2R，DE=10，∠CED=60°，
∴可得：DC=DEsin60°=15．
故选B．
点评： 本题考查平行投影的知识，属于基础题，解答本题的关键是建立直角三角形，然后利用三角函数值进行解答．
16
3．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ）
A． 圆柱 B． 正方体 C． 圆锥 D． 球
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 根据主视图是物体从前往后看得到的视图，俯视图是物体从上往下看得到的视图，逐一判断即可．
解答： 解：A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是矩形，主视图与俯视图相同，故A选项错误；
B、正方体的主视图是正方形，俯视图是正方形，主视图与俯视图相同，故B选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆及圆心，主视图与俯视图不相同，故C选项正确；
D、球的主视图是圆，俯视图是圆，主视图与俯视图相同，故D选项错误．
故选：C．
点评： 本题考查了简单几何体的三视图及空间想象能力，比较简单．
4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 找到从上面看所得到的图形即可．
解答： 解：该几何体的俯视图为：．
故选：D．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．
5．下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（ ）
A． 正方体 B． 圆柱 C． 圆锥 D． 球
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解答： 解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图．
16
6．下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单几何体的三视图．
专题： 常规题型．
分析： 主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
解答： 解：A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，故A选项错误；
B、圆锥主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故B选项错误；
C、三棱柱主视图是矩形，俯视图是三角形，故C选项错误；
D、长方体主视图和俯视图都为矩形，故D选项正确；
故选：D．
点评： 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
7．如图1放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2，则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
专题： 常规题型．
分析： 找到从上面看所到的图形即可．
解答： 解：从上面看可得到左右相邻的3个矩形．
故选：D．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．
8．将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是（ ）
A． B． C D．
16
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解答： 解：从左边看，下面是一个矩形，上面是一个等宽的矩形，该矩形的中间有一条棱，
故选：C．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，注意能看到的棱用实线画出．
9．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
解答： 解：从物体左面看，第一层有3个正方形，第二层的中间有1个正方形．
故选：C．
点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．
二．填空题（共7小题）
10．写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体 球或正方体（答案不唯一） ．
考点： 简单几何体的三视图．
专题： 开放型．
分析： 主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
解答： 解：球的俯视图与主视图都为圆；
正方体的俯视图与主视图都为正方形．
故答案为：球或正方体（答案不唯一）．
点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
11．如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是 3 ．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图，根据矩形的面积公式，可得答案．
解答： 解：从上面看三个正方形组成的矩形，
矩形的面积为1×3=3．
16
故答案为：3．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，先确定俯视图，再求面积．
12．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方体的体积是 18 cm3．
考点： 由三视图判断几何体．
分析： 首先确定该几何体为立方体，并说出其尺寸，直接计算其体积即可．
解答： 解：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为3，宽为2，高为3，
故其体积为：3×3×2=18，
故答案为：18．
点评： 本题考查了由三视图判断几何体，牢记立方体的体积计算方法是解答本题的关键．
13．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为 5 ．
考点： 由三视图判断几何体．
分析： 易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最少有几个正方体组成即可．
解答： 解：底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有5个小正方体组成，
故答案为：5．
点评： 本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需最少正方体的个数．
14．写出图中圆锥的主视图名称 等腰三角形 ．
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 找到从正面看所得到的图形即可．
解答： 解：根据所给的图形，看到的主视图是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
点评： 本题考查了三视图的知识，用到的知识点是主视图是从物体的正面看得到的视图．
15．如图，四个几何体中，它们各自的三个视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另外一个不同的几何体是 ③④ ．（填写序号）
16
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答： 解：正方体的主视图、左视图和俯视图都是正方形；
球的主视图、左视图和俯视图都是圆；
圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是圆；
圆柱主视图和左视图是等腰长方形，俯视图是圆；
故答案为：③④
点评： 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
16．如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是 5 ．
考点： 由三视图判断几何体．
分析： 根据三视图的特点，几何体的底层有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此小正方体的个数有5个．
解答： 解：几何体的底面有4个小正方体，该几何体有两层，第二层有1个小正方体，共有5个．
故答案为5．
点评： 本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就能容易得到答案了．
三．解答题（共7小题）
17．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）
考点： 平行投影．
分析： （1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；
（2）在△AB1C1中，已知AB1的长，即AB的长，∠B1AC1=45°，∠B1C1A=30°．过B1作AC1的垂线，在直角△AB1N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．
16
解答： 解：（1）AB=ACtan30°=12×=4（米）．
答：树高约为4米．
（2）如图（2），B1N=AN=AB1sin45°=4×=2（米）．
NC1=NB1tan60°=2×=6（米）．
AC1=AN+NC1=2+6．
当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC2=2AB2=；
点评： 此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，是解题的关键．
18．如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）
（1）求影子EB的长；
（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．
考点： 中心投影；解直角三角形的应用．
分析： （1）根据已知得出CH=HE=2m，进而得出HB的长，即可得出BE的长；
（2）首先求出CD的长进而得出∠DSC=45°，利用锐角三角函数关系得出SC的长即可．
解答： 解：（1）∵圆锥的底面半径和高都为2m，
∴CH=HE=2m，
∵∠SBA=30°，
∴HB=2m，
∴影长BE=BH﹣HE=2﹣2（m）；
（2）作CD⊥SA于点D，
在Rt△ACD中，
得CD=ACcos30°=AC=，
∵∠SBA=30°，∠SAB=∠SAC+∠BAC=60°+45°=105°，
∴∠DSC=45°，
∴SC===2，
∴SB=2+BC=2+4，
∴SF=SB=（+2）m，
16
答：光源S离开地面的高度为（2+）m．
点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用以及中心投影的知识，熟练应用锐角三角函数关系得出是解题关键．
19．画如图所示几何体的三视图
（1）主视图
（2）左视图
（3）俯视图．
考点： 作图-三视图．
分析： （1）根据实际物体，主视图有两列分别不同形状的长方形；
（2）左视图为两个长方形拼接而成；
（3）俯视图为一大长方形和一小长方形拼接而成．
解答： 解：（1）主视图如图所示：
（2）左视图如图所示：
（3）俯视图如图所示：
点评： 此题主要考查了如何画三视图，具体画法及步骤：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
20．如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）该几何体的表面积（含下底面）为 26cm2 ；
16
（2）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图．
考点： 作图-三视图；几何体的表面积．
分析： （1）直接利用几何体的表面积求法，分别求出各侧面即可；
（2）利用从不同角度进而得出观察物体进而得出左视图和俯视图．
解答： 解：（1）该几何体的表面积（含下底面）为：4×4+2+4+4=26（cm2）；
故答案为：26cm2；
（2）如图所示：
点评： 此题主要考查了几何体的表面积求法以及三视图画法，注意观察角度是解题关键．
21．如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．
（1）指定路灯的位置（用点P表示）；
（2）在图中画出表示大树高的线段；
（3）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树．
考点： 中心投影．
专题： 作图题．
分析： 根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把AB和DE的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再由点光源出发连接MN顶部N的直线与地面相交即可找到MN影子的顶端．线段MN是大树的高．若小明的眼睛近似地看成是点D，则看不到大树，MN处于视点的盲区．
解答： 解：（1）点P是灯泡的位置；
16
（2）线段MG是大树的高．
（3）视点D看不到大树，MN处于视点的盲区．
点评： 本题考查中心投影的作图，难度不大，体现了学数学要注重基础知识的新课标理念．解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．
22．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．
（1）该几何体的体积是 5 （立方单位），表面积是 22 （平方单位）
（2）画出该几何体的主视图和左视图．
考点： 作图-三视图．
专题： 作图题．
分析： （1）几何体的体积为5个正方体的体积和，表面积为22个正方形的面积；
（2）主视图从左往右看3列正方形的个数依次为2，1，2；左视图1列正方形的个数为2．
解答： 解：（1）每个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为5×1=5；
∵组合几何体的前面和后面共有5×2=10个正方形，上下共有6个正方形，左右共6个正方形，每个正方形的面积为1，
∴组合几何体的表面积为22．
故答案为：5，22；
（2）作图如下：
点评： 考查组合几何体的计算和三视图的画法；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从物体的正面和左面看到的平面图形．
23．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
16
考点： 平行投影；相似三角形的性质；相似三角形的判定．
专题： 计算题；作图题．
分析： （1）根据投影的定义，作出投影即可；
（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系．计算可得DE=10（m）．
解答： 解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF．
∴，
∴
∴DE=10（m）．
说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．
点评： 本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题．
16
微信/支付宝扫码支付