江西省重点中学盟校2015届高三数学第一次十校联考试题 理.doc

江西省2015届高三数学第一次联考试卷（理科附答案）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1、已知集合，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、已知，其中是实数，i是虚数单位，则=（ ）‎ ‎ ‎ ‎3、函数的图象在原点处的切线方程为（ ）‎ ‎ 不存在 ‎ ‎4、函数的值域不可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎5、实数满足，若恒成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎6、如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的是( )‎ ‎ ‎ ‎7、已知分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )‎ ‎ ‎ ‎8、已知，其中为常数.的图象关于直线对称，则在以下区间上是单调函数的是( )‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 正视图 侧视图 ‎9、一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的 表面积为（ ） ‎ ‎ ‎ - 9 -‎ ‎10、已知焦点在轴上的椭圆方程为，‎ 随着的增大该椭圆的形状（ ）‎ ‎ 越接近于圆 越扁 ‎ 先接近于圆后越扁 先越扁后接近于圆 ‎ ‎11、坐标平面上的点集满足，将点集中的所有点向轴作投影，所得投影线段的长度为（ ）‎ ‎ 1 2‎ ‎12.已知函数,，若对任意的,存在实数满足，使得，则的最大值为( )‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 (非选择题)‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填入答题纸相应位置)‎ ‎13、在中，，则 .‎ ‎14.已知是定义在上周期为的奇函数，当时，，则 A B C D O E F ‎ .‎ ‎15、从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行 位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是 .‎ ‎16、如图所示，在中，与是夹角为的两条直径，‎ 分别是与直径上的动点，若，‎ 则的取值范围是________．‎ 三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）‎ ‎17、(本小题满分12分)‎ 某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：‎ 爱好 不爱好 合计 男 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎30‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生.设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和期望值；‎ ‎（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？‎ - 9 -‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附： ‎ ‎18、(本小题满分12分)‎ 已知数列为等差数列，首项，公差.若成等比数列，且，‎ ‎，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求和.‎ ‎19、(本小题满分12分)‎ O 在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20、(本小题满分12分)‎ x y Q A B F M N O 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，当直线的倾斜角是时，的中垂线交轴于点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）以为直径的圆交轴于点，记劣弧的 长度为，当直线绕旋转时，求的最大值.‎ ‎21、(本小题满分12分)‎ 已知函数,三个函数的定义域均为集合.‎ ‎（1）若恒成立，满足条件的实数组成的集合为，试判断集合与的关系，并说明理由；‎ ‎（2）记，是否存在，使得对任意的实数，函数有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数；若不存在，说明理由.（以下数据供参考： ）‎ - 9 -‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.‎ 如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.‎ ‎（1） 求长；‎ ‎（2）当 ⊥时，求证：.‎ ‎23、（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.‎ 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.‎ ‎（1）写出直线与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点M平行于直线的直线与曲线交于两点，若，求点M轨迹的直角坐标方程.‎ ‎24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.‎ 已知函数.‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ 江西省重点中学盟校2015届第一次联考数学（理）试卷 答 案 一、CDCAB CDBBA DB ‎12、分析：易知,即恒成立，‎ ‎,. 令,,‎ 则.‎ 令,,‎ 递增,. ‎ - 9 -‎ 又,, ,‎ 存在,使得，即 当时,,递减，当时,,递增.‎ ‎ 代入得 ‎ ‎ 易知，当时可证明 .‎ 二、13． 14.-2 15. 16. ‎ ‎16、解：设圆的半径为，以为原点，为轴建立直角坐标系，则 设，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、17、解：(1)任一学生爱好羽毛球的概率为，故～………………2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎3‎ 的分布列为 ‎…………8分 ‎（2）……………………10分 - 9 -‎ 故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联. ……………………12分 ‎18、解：(1) ‎ ‎……………………3分 ‎ , ……………………6分 ‎(2) ……………………7分 ‎ ‎ ‎ ……………………12分 ‎19、解：(1)由题意，，‎ 又，，，，‎ ‎，.又，，‎ 与交于点，，又，.…6分 ‎(2)如图，分别以所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ - 9 -‎ 令，则，，所以.‎ 设直线与平面所成角为，则 ‎，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………12分 ‎20、解：（1） 当的倾斜角为时，的方程为 设 得 ‎ 得中点为…………3分 中垂线为 代入得 ……6分 ‎（2）设的方程为，代入得 ‎ 中点为 令 …………8分 到轴的距离 ‎ ‎…………10分 当时取最小值 的最大值为 故的最大值为.……………………12分 21. 解：(1).‎ - 9 -‎ 易知在上递减，…………6分 存在，使得，函数在递增，在递减 ‎. 由得 ‎ ‎ ‎ ……………………6分 ‎(2).‎ ，由于 ‎，由零点存在性定理可知：函数在定义域内有且仅有一个零点……………………8分 ‚，，同理可 知函数在定义域内有且仅有一个零点……………………9分 ƒ假设存在使得，‎ ‎ 消得 令 ‎ 递增 ‎ 此时 所以满足条件的最小整数……………………12分 ‎22、解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．‎ - 9 -‎ ‎∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC． ∴，‎ ‎∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．……………………5分 ‎（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．‎ ‎∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO．‎ ‎∴AD=AO ……………………10分 ‎23、解：（1）直线 曲线……………………4分 ‎ （2）设点及过点M的直线为 ‎ 由直线与曲线相交可得： ‎ ‎ ，即：‎ ‎ 表示一椭圆……………………8分 ‎ 取代入得：‎ ‎ 由得 故点M的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧……10分 ‎24.解(1)由得 ‎ 得不等式的解为……………………5分 ‎(2)因为任意，都有，使得成立，‎ 所以，‎ 又，‎ ‎，所以，解得或，‎ 所以实数的取值范围为或.……………………10分 - 9 -‎