四川省某重点中学2015届高三数学下学期入学考试试题 理.doc

四川省2015届高三数学下学期入学考试试卷（理科含答案）‎ ‎ 一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）‎ ‎1、设集合，，则下列关系中正确的是（ ） ‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎2、复数（i是虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ）‎ ‎ A、 B、0 ‎ ‎ C、1 D、2‎ ‎3、已知等差数列的前n项和为，满足（ ）‎ ‎ A、 B、 ‎ ‎ C、 D、‎ ‎4、一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）‎ ‎ A、1 B、‎2 C、3 D、4‎ ‎5、对任意，函数不存在极值点的充要条件是（ ）‎ ‎ A、 B、 C、或 D、或 ‎6、设,若关于方程的二根分别在区间和内,则的取值范围为 （ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎7、已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足：‎ ‎，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）‎ ‎ A、内心 B、垂心 C、外心 D、重心 - 11 -‎ ‎8、设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( ) ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、已知函数有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则等于（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎10、已知函数，若存在实数、、、，‎ 满足 ，其中，则的取值范围是（ ）‎ A、　　　　 B、　　　 ‎ C、　　　　 　D、‎ 二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）‎ 开始 输出 结束 第11题图 是 否 ‎11、阅读右侧程序框图，则输出的数据为________.‎ ‎12、已知变量的最大值是 ．‎ ‎13、体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有________种。‎ - 11 -‎ ‎14、在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 ‎ ‎15、设函数的定义域为R，若存在常数m>0，使对一切实数x均成立，则称为F函数。给出下列函数：①；②；③；④；⑤是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有 。其中是F函数的序号为______________‎ 三．解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）‎ ‎16、（本小题满分12分）‎ 在中,角A、B、C所对的边分别为，。‎ ‎ （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）若，D为边BC的中点，求AD的长度。‎ ‎ ‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比.‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，若恒成立，求实数 - 11 -‎ 的最小值.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 年月11号“神舟十号 ”发射成功。这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回。据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为、、、，并且各个环节的直播收看互不影响。‎ ‎（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这名同学至少有名同学收看发射直播的概率;‎ ‎（Ⅱ）若用表示该班某一位同学收看的环节数,求的分布列与期望．‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 如图一，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于。对于图二，完成以下各小题：‎ ‎（Ⅰ）求两点间的距离；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ - 11 -‎ ‎20、（本小题满分13分）‎ 已知是椭圆: 的焦点，点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）若的最大值是，求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，过、两点分别作椭圆的切线，，且与 交于点， 试问：当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由.‎ - 11 -‎ ‎21、（本小题满分14）‎ 已知函数.‎ ‎（I）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）在（1）的条件下，若，，，求的极小值；‎ ‎(Ⅲ)设，若函数存在两个零点，‎ 且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，‎ 求出该切线方程，若不能，请说明理由.‎ ‎1-10：CADBA BDCCB ‎11、0 12、2 13、10 14、 15、①④⑤‎ ‎16、解：（1）‎ ‎-----------6分 - 11 -‎ ‎（2）‎ ‎---------12分 ‎17、解：（1）设公差为d,由已知得：，联立解得或（舍去）‎ ‎，故 ……5分 ‎（2） ……6分 ‎ ……8分 ‎，，‎ 又，的最大值为12 ………12分 ‎18、解: （Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件,‎ 则. …………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由条件可知可能取值为.‎ ‎ ‎ 即的分布列 - 11 -‎ ‎ …………………………………………………………………10分 ‎ 的期望.………………………12分 ‎19、解：（Ⅰ）取的中点，连接，‎ 由，得：‎ 就是二面角的平面角，‎ 在中，‎ ‎ ………（4分）‎ ‎（Ⅱ）由，‎ ‎ ‎ ‎， 又平面． ………（8分）‎ ‎（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面 ‎∴平面平面平面平面，‎ 作交于，则平面，‎ 就是与平面所成的角．…………（12分）‎ 方法二：设点到平面的距离为，‎ ‎∵ ‎ ‎ 于是与平面所成角的正弦为． ………（12分）‎ - 11 -‎ 方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 则．‎ 设平面的法向量为n，则 n， n，‎ 取，则n， 于是与平面所成角的正弦即 ‎． …………（12分）‎ ‎20、解:（Ⅰ）‎ ‎ ………4分 因为的最大值是，所以 ………5分 因此椭圆E的离心率 ………6分 ‎（Ⅱ）当变化时，点恒在一条定直线上 ‎ 证明:先证明：椭圆E: ‎ ‎ ‎ 方法一：当设与椭圆E方程联立得：‎ 由 所以，因此切线方程是 ………9分 - 11 -‎ 方法二：不妨设在第一象限，则由 ‎ 得 ，所以 ‎ 因此切线方程是 ………9分 设 则 ， ‎ 联立方程，解得 ，又 ，‎ 所以 ‎ 因此 ，当变化时，点恒在一条定直线上。…13分 ‎21、解：（Ⅰ）‎ 由题意，知恒成立，即.…… 2分 又，当且仅当时等号成立.‎ 故，所以. ……4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则，则 ‎……5分 由，得或（舍去），，‎ ‎①若，则单调递减；在也单调递减；‎ - 11 -‎ ‎②若，则单调递增. 在也单调递增；‎ 故的极小值为 ……8分 ‎（Ⅲ）设在的切线平行于轴，其中 ‎①‎ ‎②‎ ‎③④‎ 结合题意，有 ……10分 ‎①—②得，所以由④得 所以⑤ ……11分 设，⑤式变为 设，‎ 所以函数在上单调递增，因此，，即 也就是，，此式与⑤矛盾.‎ 所以在处的切线不能平行于轴.……14分 - 11 -‎