2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（上海卷，参考版解析）.doc

‎2015年上海市高考数学试卷（理科带解析）‎ ‎19.（本题满分12分）如图，在长方体中，，、分别是、的中点，证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.‎ ‎【答案】‎ 设平面的法向量为，‎ 则，所以，即，‎ 令得，，所以，‎ 所以，‎ 7‎ 所以直线与平面所成的角的大小.‎ 考点：‎ ‎20.（本题满分14分）本题共2小题，第小题满分6分，第小题满分8分 如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为‎5千米/小时，乙的路线是，速度为‎8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.‎ ‎ （1）求与的值；‎ ‎ （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是‎3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.‎ ‎【答案】‎ 7‎ 所以.‎ 所以当 时,，故的最大值超过了‎3千米.‎ 考点：‎ ‎21.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.‎ ‎ 已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.‎ ‎ （1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；‎ ‎ （2）设与的斜率之积为，求面积的值.‎ 7‎ ‎【答案】‎ ‎（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的斜率为，‎ 设直线的的方程为，联立方程组，消去解得，‎ 根据对称性，设，则，‎ 7‎ 即，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ 考点：‎ ‎22.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.‎ ‎ 已知数列与满足，.‎ ‎ （1）若，且，求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；‎ ‎ （3）设，，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）因为，，‎ 所以，‎ 所以是等差数列，首项为，公差为6，即.‎ ‎（3）由（2）可得，‎ 7‎ ‎①当时，单调递减，有最大值；‎ 单调递增，有最小值，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎②当时，，，‎ 所以，，‎ 所以，不满足条件.‎ ‎③当时，当时，无最大值；‎ 当时，无最小值.‎ 综上所述，时满足条件.‎ 考点：‎ ‎23.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.‎ ‎ （1）验证是以为周期的余弦周期函数；‎ ‎（2）设，证明对任意，存在，使得；‎ ‎（3)证明：“为方程在上得解，”的充分条件是“为方程上有解”，并证明对任意，都有.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 7‎ 试题分析：（1）因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以是以为周期的余弦周期函数.‎ ‎（2）设，‎ 因为在上单调递增，所以当时，，‎ 所以，‎ ‎①若或，则显然存在使得；‎ ‎②若若或，则，‎ 所以在上有解，‎ 所以存在使得.‎ 综上所述，存在使得.‎ ‎（3）必要性：若，且，‎ 所以，‎ 所以是在上的解；‎ 充分性：若，且，‎ 则，‎ 所以是在上的解.‎ 7‎