2015年广东省高考数学试卷（有解析理科）
一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．若集合，，则
A． B． C． D．
【答案】．
【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题．
2．若复数 ( 是虚数单位 )，则
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】因为，所以，故选．
【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题．
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】令，则，即，，所以既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选．
【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．
4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所
取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为
A．1 B. C. D.
【答案】．
13
【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以恰好个白球个红球的概率为，故选．
【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题．
5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是
A．或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】．
【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题．
6．若变量，满足约束条件则的最小值为
A． B. 6 C. D. 4
【答案】．
【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，
x
y
O
A
l
由得，依题当目标函数直线：经过时，取得最小值即，故选
13
【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．
7．已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为
A． B. C. D.
【答案】．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选．
【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题．
8．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值
A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
【答案】．
【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．
第Ⅱ卷(共110分)
二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
(一)必做题(9～13题)
9．在的展开式中，的系数为
【答案】．
【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．
【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题．
10．在等差数列中，若，则=
13
【答案】．
【解析】因为是等差数列，所以，即，，故应填入．
【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．
11．设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则
【答案】．
【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．
12、某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
【答案】．
【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入．
【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题．
13、已知随机变量服从二项分布，若，，则 ．
【答案】．
【解析】依题可得且，解得，故应填入．
【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题．
(二)选做题(14～15题，考生从中选做一题)
14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为
，则点到直线的距离为
13
【答案】．
【解析】依题已知直线：和点可化为：和，所以点与直线的距离为，故应填入．
【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．
15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为，
，过圆心做的平行线，分别交和于点和点，则
【答案】．
【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．
13
三.解答题：本大题共6小题，满分80分.
16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知向量，，。
（1）若，求tan x的值 （2）若与的夹角为，求的值。
【答案】（1）；（2）．
【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等问题，属于中档题．
17（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表。
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
1 40
2 36
3 27
4 34
13
1 44
2 40
3 41
4 33
5 40
6 45
7 42
8 43
9 31
10 38
11 39
12 43
13 45
14 39
15 38
16 36
17 43
18 41
19 37
20 34
21 42
22 37
23 44
24 42
25 39
26 43
27 38
28 42
29 53
30 37
31 49
32 39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值和方差；
（3）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？
【答案】（1），，，，，，，，；（2），；（3），约占．
【考点定位】本题考查系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计等知识，属于中档题．
18．（本小题满分14分）
如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，
13
.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，.
（1）证明：；
（2）求二面角的正切值；
（3）求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）证明：∵ 且点为的中点，
∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，
∴ 平面，又平面，
∴ ；
P
A
B
C
D
E
F
G
（2）∵ 是矩形，
∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，
∴ 平面，又、平面，
∴ ，，
∴ 即为二面角的平面角，
在中，，，，
∴ 即二面角的正切值为；
13
（3）如下图所示，连接，
∵ ，即，
∴ ，
∴ 为直线与直线所成角或其补角，
在中，，，
P
A
B
C
D
E
F
G
由余弦定理可得，
∴ 直线与直线所成角的余弦值为．
【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．
19．（本小题满分14分）
设，函数。
(1) 求的单调区间 ；
(2) 证明：在上仅有一个零点；
(3) 若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）依题，
∴ 在上是单调增函数；
13
【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识，属于中高档题．
20．（本小题满分14分）
已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出
13
的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由得，
∴ 圆的圆心坐标为；
（2）设，则
∵ 点为弦中点即，
∴ 即，
∴ 线段的中点的轨迹的方程为；
（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，
L
D
x
y
O
C
E
F
当直线与圆相切时，由得，又，
13
结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．
【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题．
21．（本小题满分14分）
数列满足 , .
(1) 求的值；
(2) 求数列前项和；
(3) 令，，证明：数列的前项和
满足
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
（3）依题由知，，
13
【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前项和、不等式放缩等知识，属于中高档题．
13
微信/支付宝扫码支付