2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，含解析）.doc

‎2015年陕西省高考数学试卷（附解析文科）‎ 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.‎ ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ 考点：集合间的运算.‎ ‎2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）‎ A．93 B．‎123 C．137 D．167‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知该校女教师的人数为 故答案选 考点：概率与统计.‎ ‎3. 已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 19‎ 试题分析：由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，‎ 所以抛物线焦点坐标为，故答案选 考点：抛物线方程.‎ ‎4. 设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ 考点：1.分段函数；2.函数求值.‎ ‎5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，‎ 19‎ 所以该几何体的表面积为，故答案选 考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.‎ ‎6. “”是“”的（ ）‎ A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要 ‎【答案】‎ 考点：1.恒等变换；2.命题的充分必要性.‎ ‎7. 根据右边框图，当输入为6时，输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：该程序框图运行如下：，，，，故答案选.‎ 考点：程序框图的识别.‎ 19‎ ‎8. 对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ 考点：1.向量的模；2.数量积.‎ ‎9. 设，则（ ）‎ A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 ‎ C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 又的定义域为是关于原点对称，所以是奇函数；‎ 是增函数.‎ 故答案选 考点：函数的性质.‎ ‎10. 设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：；；‎ 19‎ 因为，由是个递增函数，‎ 所以，故答案选 考点：函数单调性的应用.‎ ‎11. 某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎【答案】‎ ‎ ‎ 当直线过点时，取得最大值 故答案选 考点：线性规划.‎ ‎12. 设复数，若，则的概率（ ）‎ 19‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 如图可求得,，阴影面积等于 若，则的概率 故答案选 考点：1.复数的模长；2.几何概型.‎ 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.‎ ‎13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________‎ ‎【答案】5‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.‎ 19‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由图像得，当时，求得，‎ 当时，，故答案为8.‎ 考点：三角函数的图像和性质.‎ ‎15、函数在其极值点处的切线方程为____________.‎ ‎【答案】‎ 考点：导数的几何意义.‎ ‎16、观察下列等式：‎ ‎1－‎ ‎1－‎ ‎1－‎ ‎…………‎ 据此规律，第n个等式可为______________________.‎ ‎【答案】‎ 19‎ ‎【解析】‎ 试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.‎ 故答案为 考点：归纳推理.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）‎ ‎17．的内角所对的边分别为，向量与平行.‎ ‎(I)求；‎ ‎(II)若求的面积.‎ ‎【答案】(I) ；(II) .‎ 试题解析：(I)因为，所以 由正弦定理，得，‎ 又，从而，‎ 由于 19‎ 所以 ‎(II)解法一：由余弦定理，得 ‎，而，，‎ 得，即 因为，所以，‎ 故面积为.‎ 解法二：由正弦定理，得 从而 又由知，所以 故 ‎ ，‎ 所以面积为.‎ 考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.‎ ‎18．如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.‎ ‎(I)证明：平面；‎ ‎(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.‎ 19‎ ‎【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) .‎ ‎ (II)由已知，平面平面，且平面平面 ，又由(I)知，，所 以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积 ‎，从而四棱锥的为，由，得.‎ ‎ ‎ 19‎ ‎(II)由已知，平面平面，‎ 且平面平面 ‎ 又由(I)知，，所以 平面，‎ 即是四棱锥的高，‎ 由图1可知，，平行四边形面积，‎ 从而四棱锥的为 ‎，‎ 由，得.‎ 考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空集几何体的体积.‎ ‎19.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.‎ ‎【答案】(I) ； (II) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)在容量为30的样本中，从表格中得，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是.‎ ‎(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.‎ 19‎ 试题解析：(I)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是.‎ ‎(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，‎ 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.‎ 考点：概率与统计.‎ ‎20．如图，椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎(I)求椭圆的方程；‎ ‎(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.‎ ‎【答案】(I) ； (II)证明略，详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；‎ ‎(II) 设，由题设知，直线的方程为，代入 ‎，化简得，则 19‎ ‎，‎ 由已知， 从而直线与的斜率之和 化简得.‎ 试题解析：(I)由题意知，‎ 综合，解得，‎ 所以，椭圆的方程为.‎ ‎(II)由题设知，直线的方程为，代入，得 ‎ ，‎ 由已知，设，‎ 则，‎ 从而直线与的斜率之和 ‎ ‎ ‎ .‎ 考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.‎ ‎21. 设 ‎(I)求；‎ 19‎ ‎(II)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.‎ ‎【答案】(I) ；(II)证明略，详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由题设，所以，此式等价于数列的前项和，由错位相减法求得；‎ ‎ (II)因为，，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得 故，继而得.‎ 试题解析：(I)由题设，‎ 所以 ①‎ 由 ②‎ ‎ ①②得 ‎ ，‎ 所以 ‎ ‎ (II)因为 19‎ ‎，‎ 所以在内至少存在一个零点，‎ 又 所以在内单调递增，‎ 因此，在内有且只有一个零点，‎ 由于，‎ 所以 由此可得 故 所以 考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.‎ 考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑.‎ ‎22. 选修4-1：几何证明选讲 如图，切于点，直线交于两点，垂足为.‎ ‎(I)证明：‎ ‎(II)若，求的直径.‎ 19‎ ‎【答案】(I)证明略，详见解析； (II).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：：(I)因为是的直径，则，又，所以 ‎，又切于点，得，所以；‎ ‎(II)由(I)知平分，则，又，从而，由，‎ 解得，所以，由切割线定理得，解得，故，‎ 即的直径为3.‎ 试题解析：(I)因为是的直径，‎ 则 又，所以 又切于点，‎ 得 所以 ‎(II)由(I)知平分，‎ 则，‎ 又，从而，‎ 19‎ 所以 所以，‎ 由切割线定理得 即，‎ 故，‎ 即的直径为3.‎ 考点：1.几何证明；2.切割线定理.‎ ‎23. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标版权法吕，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎(I)写出的直角坐标方程；‎ ‎(II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标.‎ ‎【答案】(I) ； (II) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由，得，从而有，所以 ‎(II)设，又，则，故当时，取得最小值，此时点的坐标为.‎ 试题解析：(I)由，‎ 得，‎ 从而有 19‎ 所以 ‎(II)设，又，‎ 则，‎ 故当时，取得最小值，‎ 此时点的坐标为.‎ 考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.‎ ‎24. 选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为 ‎(I)求实数的值；‎ ‎(II)求的最大值.‎ ‎【答案】(I) ；(II).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由，得，由题意得，解得；‎ ‎(II)柯西不等式得，当且仅当即时等号成立，故.‎ 试题解析：(I)由，得 则，解得 ‎(II)‎ 19‎ 当且仅当即时等号成立，‎ 故 考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.‎ 19‎