浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一数学下学期期末模拟试卷（含解析）.doc

富阳市2014-2015高一数学下学期期末模拟试卷（含解析）‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．（5分）设x=，则tan（π+x）等于（）‎ ‎ A． ﹣ B． ﹣ C． D． ‎ ‎2．（5分）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）‎ ‎ A． ﹣2 B． ﹣‎1 ‎C． 1 D． 2‎ ‎3．（5分）函数f（x）=ex+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）‎ ‎ A． （） B． （） C． （） D． （）‎ ‎4．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（）‎ ‎ A． f（x）=﹣x+1 B． f（x）=﹣x﹣‎1 ‎C． f（x）=x+1 D． f（x）=x﹣1‎ ‎5．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．（5分）函数y=+lnx2的图象可能是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．（5分）为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin2x图象上所有的点（）‎ ‎ A． 向左平行移动个单位长度 B． 向右平行移动个单位长度 ‎ C． 向左平行移动个单位长度 D． 向右平行移动个单位长度 ‎8．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）‎ ‎ A． x= B． x= C． x= D． x=﹣‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log‎2a）+f（loga）≤‎2f（1），则a的取值范围是（）‎ ‎ A． [1，2] B． C． D． （0，2]‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=lgx，若对任意的正数x，不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则实数t的取值范围是（）‎ ‎ A． （0，4） B． （1，4] C． （0，4] D． [4，+∞）‎ 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎11．（4分）求值：sin52°cos83°+cos52°cos7°=．‎ ‎12．（4分）=．‎ ‎13．（4分）圆心角为，半径为3的扇形的弧长等于．‎ ‎14．（4分）函数的递减区间为．‎ ‎15．（4分）已知﹣，cos（a﹣β）=，sinβ=，tanα=．‎ ‎16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是线段BC上的动点，则（+）•的最小值为．‎ ‎17．（4分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值为．‎ 三、解答题：（本大题共4小题，共42分，要写出详细的解答过程或证明过程）‎ ‎18．（10分）已知，为平面向量，且||=，||=2，，的夹角为30°．‎ ‎（Ⅰ）求|+|及|﹣|；‎ ‎（Ⅱ）若向量+与﹣λ垂直，求实数λ的值．‎ ‎19．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤‎2a+1}．‎ ‎（1）若a=2，求M∩（CRN）；‎ ‎（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（10分）设函数f（x）=sinx（sinx+cosx）．‎ ‎（Ⅰ）求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在[0，a]上的值域为[0，]，求实数a的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2bx+c（x∈R，a≠0）‎ ‎（Ⅰ）若a=﹣1，c=0，且y=f（x）在[﹣1，3]上的最大值为g（b），求g（b）；‎ ‎（Ⅱ）若a＞0，函数f（x）在[﹣8，﹣2]上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值．‎ 浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．（5分）设x=，则tan（π+x）等于（）‎ ‎ A． ﹣ B． ﹣ C． D． ‎ 考点： 运用诱导公式化简求值． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 由条件利用诱导公式求得所给式子的值．‎ 解答： 解：由于x=，故tan（π+x）=﹣tanx=﹣tan=﹣，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．‎ ‎2．（5分）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）‎ ‎ A． ﹣2 B． ﹣‎1 ‎C． 1 D． 2‎ 考点： 函数的值． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据分段函数f（x）的解析式，求出f（f（﹣1））的值即可．‎ 解答： 解：∵函数f（x）=，‎ ‎∴f（﹣1）=﹣（﹣1）=1，‎ ‎∴f（f（﹣1））=f（1）=12+1=2．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了根据分段函数的解析式，求函数值的问题，是基础题目．‎ ‎3．（5分）函数f（x）=ex+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）‎ ‎ A． （） B． （） C． （） D． （）‎ 考点： 函数零点的判定定理． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．‎ 解答： 解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．‎ ‎4．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（）‎ ‎ A． f（x）=﹣x+1 B． f（x）=﹣x﹣‎1 ‎C． f（x）=x+1 D． f（x）=x﹣1‎ 考点： 函数奇偶性的性质． ‎ 专题： 转化思想．‎ 分析： 根据函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，要求x＜0时，f（x）的表达式，转化到x＞0时求解．‎ 解答： 解：当x＜0时，则﹣x＞0‎ ‎∵x＞0时f（x）=﹣x+1，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1，‎ ‎∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，‎ ‎∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x﹣1‎ 故选B．‎ 点评： 考查利用函数的奇偶性求函数的解析式问题，一般方法是把要求区间上的问题转化为已知区间上来解决，体现了转化的数学思想，属基础题．‎ ‎5．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 向量在几何中的应用． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．‎ 解答： 解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，‎ ‎∴+=（+）+（+）=+=（+）=，‎ 故选：A 点评： 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键．‎ ‎6．（5分）函数y=+lnx2的图象可能是（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 函数的图象． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性，最后利用函数的单调性即可得到答案．‎ 解答： 解：∵x2≠0，‎ ‎∴x≠0，‎ ‎∴函数y=lnx2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），‎ 又f（﹣x）=﹣+ln（﹣x）2，‎ ‎∴函数y=为非奇非偶函数，‎ 当x＞0时，函数y=1+2lnx，函数为增函数，‎ 当x＜0时，函数y=﹣1+2ln（﹣x）函数为减函数，‎ 故选：B 点评： 本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．‎ ‎7．（5分）为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin2x图象上所有的点（）‎ ‎ A． 向左平行移动个单位长度 B． 向右平行移动个单位长度 ‎ C． 向左平行移动个单位长度 D． 向右平行移动个单位长度 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． ‎ 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．‎ 分析： 函数y=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故只需 故把函数y=sin2x的图象向左平移各单位得到．‎ 解答： 解：函数y=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故把函数y=sin2x的图象向左平移各单位，‎ 即可得到函数y=sin（2x+）的图象，‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+∅）图象的平移变换规律，把已知函数的解析式化为 y=sin[2（x+）]是解题的关键．‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）‎ ‎ A． x= B． x= C． x= D． x=﹣‎ 考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 由对称中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+解x可得对称轴，对照选项可得．‎ 解答： 解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），‎ ‎∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，‎ ‎∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x ‎=sin2x+‎ ‎=﹣sin（2x+），‎ 令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，‎ ‎∴函数的对称轴为x=+，k∈Z，‎ 结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣符合题意，‎ 故选：D 点评： 本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题．‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log‎2a）+f（loga）≤‎2f（1），则a的取值范围是（）‎ ‎ A． [1，2] B． C． D． （0，2]‎ 考点： 奇偶性与单调性的综合． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log‎2a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解．‎ 解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴，‎ ‎∴可变为f（log‎2a）≤f（1），‎ 即f（|log‎2a|）≤f（1），‎ 又∵在区间[0，+∞）上单调递增，且f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴，即，‎ 解得≤a≤2，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，易错处是忽略定义域内的单调性不同，即对称区间单调性相反，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=lgx，若对任意的正数x，不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则实数t的取值范围是（）‎ ‎ A． （0，4） B． （1，4] C． （0，4] D． [4，+∞）‎ 考点： 对数函数的图像与性质；函数恒成立问题． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 若不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，则x2﹣tx+t≥0对任意的正数恒成立，进而根据对数的真数大于0，可得t＞0且，解得答案．‎ 解答： 解：∵函数f（x）=lgx，‎ 若不等式f（x）+f（t）≤f（x2+t）恒成立，‎ 则x2﹣tx+t≥0对任意的正数恒成立，‎ 则t＞0且，‎ 解得：t∈（0，4]，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档．‎ 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎11．（4分）求值：sin52°cos83°+cos52°cos7°=．‎ 考点： 两角和与差的正弦函数． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 由诱导公式以及两角和与差的三角函数公式化简可得．‎ 解答： 解：sin52°cos83°+cos52°cos7°‎ ‎=sin52°cos（90°﹣7°）+cos52°cos7°‎ ‎=sin52°sin7°+cos52°cos7°‎ ‎=cos（52°﹣7°）‎ ‎=cos45°=‎ 故答案为：‎ 点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及诱导公式的应用，属基础题．‎ ‎12．（4分）=．‎ 考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据指数幂的运算性质化简计算即可．‎ 解答： 解：=﹣1﹣=﹣1﹣=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了函数的饿指数幂的运算性质，属于基础题．‎ ‎13．（4分）圆心角为，半径为3的扇形的弧长等于2π．‎ 考点： 弧长公式． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 利用弧长公式即可得出．‎ 解答： 解：l=αr=．‎ 故答案为：2π．‎ 点评： 本题考查了弧长公式，属于基础题．‎ ‎14．（4分）函数的递减区间为（5，+∞）．‎ 考点： 复合函数的单调性． ‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用．‎ 分析： 求出函数的定义域，确定内外函数的单调性，即可得到结论．‎ 解答： 解：由x2﹣4x﹣5＞0，可得x＜﹣1或x＞5 ‎ 令t=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则函数在（5，+∞）上单调递增 ‎∵在定义域内为单调递减 ‎∴函数的递减区间为（5，+∞）‎ 故答案为：（5，+∞）‎ 点评： 本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，确定内外函数的单调性是关键．‎ ‎15．（4分）已知﹣，cos（a﹣β）=，sinβ=，tanα=﹣．‎ 考点： 同角三角函数基本关系的运用． ‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 根据已知条件，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ与sin（α﹣β）的值，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．‎ 解答： 解：∵﹣＜α＜0＜β＜，cos（a﹣β）=，sinβ=，‎ ‎∴sin（α﹣β）=﹣=﹣，cosβ==，‎ ‎∴cosα=cos[（α﹣β）+β]=cos（α﹣β）cosβ﹣sin（α﹣β）sinβ=×+×=，‎ sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=﹣×+×=﹣，‎ 则tanα=﹣，‎ 故答案为：﹣‎ 点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．‎ ‎16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是线段BC上的动点，则（+）•的最小值为．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 建立平面直角坐标系A﹣xy，设P（2，x），则=（0，﹣x），x∈[0，2]，=（﹣2，2﹣x），=（0，2﹣x），利用x 表示（+）•的函数求最值．‎ 解答： 解：建立平面直角坐标系A﹣xy，设P（2，x），‎ 则=（0，﹣x），x∈[0，2]，=（﹣2，2﹣x），=（0，2﹣x），‎ 所以（+）•=2x2﹣6x+4=2（x﹣1.5）2+4﹣4.5，‎ 因为x∈[0，2]，‎ 所以x=1.5时，（+）•的最小值为﹣0.5即；‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了向量的数量积以及二次函数闭区间的最值，关键是建立坐标系，将问题转化为二次函数的最值求法．‎ ‎17．（4分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值为857．‎ 考点： 对数的运算性质． ‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 利用取整函数的性质和对数的运算法则求解．‎ 解答： 解：由题意可知：设[log‎3a]=b log‎3a=b+x，a，b为整数 a=3b+x，0≤x＜1，‎ 因为y=3x为单调增函数 当a在[1，2]时 因为30=1，31=3‎ 则0＜b+x＜1‎ 所以b=0时，[log31]+[log32]=0‎ 当a在[3，8]时 同理1＜b+x＜2‎ b=1时，[log33]+[log34]+…+[log38]=1‎ b=2时，[log39]+[log310]+…+[log326]=2．‎ b=3时，[log327]+[log328]+…+[log380]=3．‎ b=4时，[log381]+[log382]+…+[log3242]=4．‎ b=5时，[log3243]=5．‎ ‎∴[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]‎ ‎=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．‎ 故答案为：857．‎ 点评： 本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意取整函数的性质和对数的运算法则的合理运用．‎ 三、解答题：（本大题共4小题，共42分，要写出详细的解答过程或证明过程）‎ ‎18．（10分）已知，为平面向量，且||=，||=2，，的夹角为30°．‎ ‎（Ⅰ）求|+|及|﹣|；‎ ‎（Ⅱ）若向量+与﹣λ垂直，求实数λ的值．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： （I）利用数量积定义和运算性质即可得出；‎ ‎（II）由向量+与﹣λ垂直，可得（+）•（﹣λ）==0，代入解出即可．‎ 解答： 解：（I）∵||=，||=2，，的夹角为30°，‎ ‎∴===3，‎ ‎∴|+|===；‎ ‎|﹣|===1．‎ ‎（II）∵向量+与﹣λ垂直，‎ ‎∴（+）•（﹣λ）==0，‎ ‎∴3﹣4λ+3（1﹣λ）=0，解得．‎ 点评： 本题考查了数量积定义和运算性质、向量垂直于数量积的关系，属于基础题．‎ ‎19．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤‎2a+1}．‎ ‎（1）若a=2，求M∩（CRN）；‎ ‎（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．‎ 考点： 并集及其运算；交、并、补集的混合运算． ‎ 专题： 集合．‎ 分析： （Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，由此能求出M∩（CRN）．‎ ‎（Ⅱ）由M∪N=M，得N⊂M，由此能求出实数a的取值范围．‎ 解答： （本小题满分8分）‎ 解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，‎ CRN={x|x＜3或x＞5}，‎ 所以M∩（CRN）={x|﹣2≤x＜3}．‎ ‎（Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M，‎ ‎①a+1＞‎2a+1，解得a＜0；‎ ‎②，解得0≤a≤2．‎ 所以a≤2．‎ 点评： 本题考查交集、实集的应用，考查实数的取值范围的求法，是基础题．‎ ‎20．（10分）设函数f（x）=sinx（sinx+cosx）．‎ ‎（Ⅰ）求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）在[0，a]上的值域为[0，]，求实数a的取值范围．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质．‎ 分析： （Ⅰ）将x=代入f（x）=sinx（sinx+cosx），整理计算即可求得f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）利用三角恒等变换可得f（x）=+sin（2x﹣），结合函数的图象，利用正弦函数的单调性与最值即可求得实数a的取值范围．‎ 解答： 解：（Ⅰ）f（）=sin（sin+cos）=sinsin=sincos=…4分 ‎（Ⅱ）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x ‎=+sin（2x﹣）…6分 当x=时，f（x）的最大值为，f（0）=f（）=0，‎ 所以，当a∈[，]时，函数f（x）在[0，a]上的值域为[0，]…8分 点评： 本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查分析、作图与运算求解能力，属于中档题．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2bx+c（x∈R，a≠0）‎ ‎（Ⅰ）若a=﹣1，c=0，且y=f（x）在[﹣1，3]上的最大值为g（b），求g（b）；‎ ‎（Ⅱ）若a＞0，函数f（x）在[﹣8，﹣2]上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值．‎ 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质． ‎ 专题： 分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： （Ⅰ）求出a=﹣1，c=0时的f（x）解析式，配方求出对称轴，讨论区间[﹣1，3]与对称轴的关系，运用单调性即可得到最大值g（b）；‎ ‎（Ⅱ）由图象与x轴相切，可得判别式为0，由f（x）在[﹣8，﹣2]上不单调，可得对称轴介于﹣8和﹣2之间，再对所求式子整理变形，令t=∈[2，8]，结合基本不等式，即可得到最小值4．‎ 解答： 解：（Ⅰ）a=﹣1，c=0时，f（x）=﹣x2+2bx=﹣（x﹣b）2+b2，‎ ‎∴对称轴是直线x=b，‎ ‎①b＜﹣1时，[﹣1，3]为减区间，即有f（x）max=f（﹣1）=﹣1﹣2b；‎ ‎②当﹣1≤b≤3时，即有；‎ ‎③当b＞3时，[﹣1，3]为增区间，即有f（x）max=f（3）=﹣9+6b．‎ 综上所述，； ‎ ‎（Ⅱ）∵函数f（x）的图象和x轴相切，‎ ‎∴，‎ ‎∵f（x）在[﹣8，﹣2]上不单调，‎ ‎∴对称轴，‎ ‎∴，‎ 即有，‎ 设，‎ ‎∴=[（t﹣2）++12]‎ ‎≥[2+12]=3+．‎ ‎∴的最小值为3+，此时当且仅当t﹣2=2∈（0，6）⇒t=2．‎ 点评： 本题考查二次函数的最值求法，主要考查函数的单调性的运用，注意分类讨论的思想方法的运用和基本不等式的运用，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．‎