山东省武城县第二中学2016届高三数学上学期第四次月考试题 理.doc

高三数学月考试题(理科)‎ ‎2015.12.19‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知命题，，命题，.则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知，，，为同一平面内的四个点，若，则向量等于（　　）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.已知定义在上的函数的图象如图所示，则满足的关系是（　　）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.已知，，分别是中角，，的对边，若，，，则（　　）‎ A. B. C.或 D.‎ ‎6.已知，，，，则（　　）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.已知函数，则下列说法正确的是（　　）‎ - 12 -‎ A.若，则 B.的图象关于点对称 C.的图象关于直线对称 D.的图象向右平移个单位长度后得的图象 ‎8.如图所示，积木拼盘由、、、、五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是（　　）‎ A.780 B.840 ‎ C.900 D.960‎ ‎9.已知点是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若点是的平分线上的一点，且，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.定义区间的长度为，已知函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（　　）‎ A. B. C.1 D. 3‎ 二、填空题 ‎11.已知，则二项式的展开式中常数项为 .‎ - 12 -‎ ‎12.已知变量满足约束条件，则的取值范围为 .‎ ‎13.若函数与有相同的最小值，则不等式的解集为 .‎ ‎14.设，，若，则的最大值为 .‎ ‎15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点，若都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：‎ ‎①如果与都是无理数，则直线一定是遗憾直线；‎ ‎②“直线是完美直线”的充要条件是“与都是有理数”；‎ ‎③存在恰有一个完美点的完美直线；‎ ‎④过原点的完美直线经过无穷多个完美点，当且仅当直线经过两个不同的完美点.‎ 其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的编号）‎ 三、解答题 ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知向量，，函数.‎ ‎（1）求函数在上的最值；‎ ‎（2）若，，分别为的内角，，的对边，其中为锐角，，，且，求的面积.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ - 12 -‎ 将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中（每个盒子足够大）.‎ ‎（1）求编号为1的盒子为空盒的概率；‎ ‎（2）求空盒的个数的分布列和数学期望.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列中，，其前项和满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19.已知函数，其中.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，试确定函数的单调区间.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知函数（其中），，且与在处有相同的切线.‎ ‎（1）求函数的解析式，并讨论在上的最小值；‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ - 12 -‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 设动圆与圆外切，且与直线相切.‎ ‎（1）求动圆的圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）若曲线与的轨迹关于直线对称，求两曲线围成的封闭图形的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点任作一直线交曲线于、两点，是否存在一直线，使得曲线在、两点处的切线的交点总在此直线上？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ - 12 -‎ 高三数学月考试题答案 一、选择题 ‎1～5　ADCDC 6～10　CCDAD 二、填空题 ‎11.40 12. 13.‎ ‎14. 15.③④‎ 三、解答题 ‎16.解析：‎ ‎（1）‎ ‎　　　　　‎ ‎.（2分）‎ 当时， ，（3分）‎ 结合正弦函数的图象知，当，即时，函数取得最小值，且最小值为；当，即时，函数取得最大值，且最大值为1.（5分）‎ 所以函数在上的最大值为1，最小值为.（6分）‎ ‎（2）由（1）知.‎ 因为，，所以，.（8分）‎ 由，得，‎ - 12 -‎ 即，解得.（10分）‎ 故.（12分）‎ ‎17. 解析：（1）将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，由分步剩法计数原理知共有种放法，设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3，4的三个盒子中，共有种放法，故所求概率为.‎ ‎（2）空盒的个数的所有可能取值为0，1，2，3，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（或），‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为.‎ ‎18.解析：（1）因为 ①，‎ 所以　　②，‎ ‎②－①得，，所以，‎ 所以.‎ - 12 -‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 ‎　　　，‎ 设，‎ 则，‎ 两式相减得，‎ 整理得，‎ 所以.‎ ‎19.解析：（1）函数的定义域为.‎ ‎.‎ 令，得，‎ 当变化时，和的变化情况如下：‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↘‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 故的单调减区间为，；单调增区间为.‎ - 12 -‎ 所以当时，函数有极小值.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以函数的定义域为，‎ 求导，得 ‎　　　　　　　‎ 令，得，，‎ 当时，，‎ 当变化时，和的变化情况如下：‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 故函数的单调减区间为，单调增区间为，.‎ 当时，，‎ 因为（当且仅当时，），‎ 所以函数在上单调递增.‎ 当时，，‎ 当变化时，和的变化情况如下：‎ ‎0‎ - 12 -‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 故函数的单调减区间为，单调增区间为，.‎ 综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为，；‎ 当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为，.‎ ‎20.解析：（1），.∵两函数在处有相同的切线，‎ 又，，∴，，∴，.‎ ‎∴，.（2分）‎ ‎，由得，由得，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.（4分）‎ ‎①当，即时，在上单调递减，‎ ‎∴；（5分）‎ ‎②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴；（6分）‎ ‎③当时，在上单调递增，∴.（7分）‎ - 12 -‎ ‎∴.（8分）‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，即（*）对任意的恒成立.‎ ‎（i）当时，上式化为，显然对任意的实数恒成立.（9分）‎ ‎（ii）当时，（*）式化为，对任意的恒成立.‎ 令，则，‎ ‎∴当时，，∴在上单调递增，‎ 此时，∴.（11分）‎ ‎（iii）当时，（*）式化为，对任意的恒成立.‎ 由（ii）知在上单调递增，在上单调递减，‎ 此时，∴.（12分）‎ 综上，实数的取值范围为.（13分）‎ ‎21.解析：（1）由题意知，动圆的圆心到定点和定直线的距离相等，所以动圆的圆心的轨迹方程为.（4分）‎ ‎（2）由题意知，曲线的方程为，两曲线的交点为，，‎ 所以两曲线围成的封闭图形的面积.（7分）‎ ‎（3）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，则曲线在、两点处的切线的方程分别为 - 12 -‎ ‎　　①，　②　　（9分）‎ 由得，‎ 由根与系数的关系得，.（10分）‎ ‎②－①得，所以.‎ ‎②＋①得，‎ 所以，（13分）‎ 将代入，可得，‎ 所以存在直线，使得曲线在、两点处的切线的交点总在此直线上.（14分）‎ - 12 -‎