山东省临沂市重点中学2016届高三数学上学期第四次月考试卷 文（含解析）.doc

‎2015-2016学年山东省临沂市重点中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，B⊆A，则实数a的取值范围是( )‎ A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2‎ ‎2．复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是( )‎ A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）‎ ‎3．设a，b是实数，命题“∀ab＞0，都有a＞0，b＞0”的否定是( )‎ A．∃ab≤0，使得a≤0，b≤0 B．∃ab≤0，使得a≤0或b≤0‎ C．∃ab＞0，使得a≤0，b≤0 D．∃ab＞0，使得a≤0或b≤0‎ ‎4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎5．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数f（x）=sinωx在上是增函数，则实数ω的取值范围是( )‎ A． B．（0，2] C．（0，] D．（0，3]‎ ‎7．已知△ABC中，AB=，AC=2，++=，则•=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．等差数列{an}中，a1=1，a7=﹣23，若数列{}的前n项和为﹣，则n=( )‎ - 21 -‎ A．14 B．15 C．16 D．18‎ ‎9．已知α是三角形的内角，sin（α+）=，则cos（﹣α）=( )‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎10．设x，y满足约束条件，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的最小正周期为3，且则m的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则( )‎ A．B=2C B．B=2A C．A=2C D．C=2A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．数列{an}是公差不为零的等差数列，若a1，a3，a4成等比数列，则公比q=__________．‎ ‎14．曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为__________．‎ ‎15．若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为__________．‎ ‎16．下列结论正确的是__________．‎ ‎（1）函数f（x）=sinx在第一象限是增函数；‎ ‎（2）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；‎ - 21 -‎ ‎（3）设，是非零向量，命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题和逆否命题都是真命题；‎ ‎（4）函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈（﹣2＜t＜1）的最大值为0．‎ 三、解答题：本题共5小题，选做题10分，其它每小题12分，共70分.‎ ‎17．已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．‎ ‎18．甲、乙、丙三人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙丙各射击一发子弹，根据以往统计资料知，甲击中9环、10环的概率分别为0.3、0.2，乙中击中9环、10环的概率分别为0.4、0.3，丙击中9环、10环的概率分别为0.6、0.4，设甲、乙、丙射击相互独立，求：‎ ‎（1）丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率；‎ ‎（2）求在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率．‎ ‎19．已知{an}是公差为正的等差数列，且a3a6=55，a2+a7=16．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）已知an=b1+++…+（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎20．已知△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，记f（θ）=•．‎ ‎（1）求f（θ）关于θ的表达式；‎ ‎（2）求f（θ）的值域及单调区间．‎ ‎21．设直线l：y=kx+1与曲线f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于点P（0，f（0））．‎ ‎（1）求b，k的值；‎ ‎（2）若直线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．‎ - 21 -‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD=DC，连结AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．‎ ‎23．选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含，求a的取值范围．‎ - 21 -‎ ‎2015-2016学年山东省临沂市重点中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，B⊆A，则实数a的取值范围是( )‎ A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．‎ ‎【分析】利用条件B⊆A，建立a的不等式关系即可求解．‎ ‎【解答】解：要使B⊆A，‎ 则满足a≥2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用数轴是解决此类问题的基本方法．‎ ‎2．复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是( )‎ A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】计算题；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】根据复数的几何意义以及复数的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵z===1﹣i，‎ ‎∴共轭复数=1+i对应的点为（1，1），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．‎ ‎3．设a，b是实数，命题“∀ab＞0，都有a＞0，b＞0”的否定是( )‎ A．∃ab≤0，使得a≤0，b≤0 B．∃ab≤0，使得a≤0或b≤0‎ C．∃ab＞0，使得a≤0，b≤0 D．∃ab＞0，使得a≤0或b≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ - 21 -‎ ‎【专题】计算题；规律型；对应思想；简易逻辑．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设a，b是实数，命题“∀ab＞0，都有a＞0，b＞0”的否定是：∃ab＞0，使得a≤0或b≤0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎【考点】基本不等式；等比数列的性质．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值 ‎【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，‎ ‎，‎ 当且仅当即时“=”成立，‎ 故选择B．‎ ‎【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．‎ ‎5．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．‎ - 21 -‎ ‎【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，‎ ‎∴只有f（）•f（）＜0，‎ ‎∴函数的零点在区间上．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．‎ ‎6．已知函数f（x）=sinωx在上是增函数，则实数ω的取值范围是( )‎ A． B．（0，2] C．（0，] D．（0，3]‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由题意可得正实数ω满足﹣•ω≥﹣，由此求得ω的范围．‎ ‎【解答】解：由于函数f（x）=sinωx在上是增函数，∴﹣•ω≥﹣，∴ω≤，‎ 则实数ω的范围为（0，]，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．‎ ‎7．已知△ABC中，AB=，AC=2，++=，则•=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】由++=，可得点O为△ABC的重心，不妨取BC=1，则∠ABC=90°，如图所示．利用数量积的坐标运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由++=，可得点O为△ABC的重心，‎ 不妨取BC=1，则∠ABC=90°，如图所示．‎ 则A，C（1，0），D，O，‎ - 21 -‎ ‎=，=（1，0），‎ ‎∴•=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了数量积的坐标运算性质、三角形的重心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8．等差数列{an}中，a1=1，a7=﹣23，若数列{}的前n项和为﹣，则n=( )‎ A．14 B．15 C．16 D．18‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，利用通项公式可得an=5﹣4n．可得=，即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，a7=﹣23，‎ ‎∴﹣23=1+6d，解得d=﹣4．‎ ‎∴an=1﹣4（n﹣1）=5﹣4n．‎ ‎∴==，‎ ‎∴数列{}的前n项和=+…+‎ ‎=，‎ 令=﹣，‎ 则n=14．‎ 故选：A．‎ - 21 -‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9．已知α是三角形的内角，sin（α+）=，则cos（﹣α）=( )‎ A． B．﹣ C．﹣ D．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】由条件判断α+为钝角，求得cos（α+）的值，再利用cos（﹣α）=﹣cos=﹣cos，利用两角和的余弦公式计算求的结果．‎ ‎【解答】解：α是三角形的内角，∵sin（α+）=＜，∴α+为钝角，∴cos（α+）=﹣，‎ 则cos（﹣α）=﹣cos=﹣cos=﹣cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣（﹣）•+=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查利用诱导公式化简三角函数的值，同角三角函数的基本关系，判断α+为钝角，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎10．设x，y满足约束条件，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【专题】计算题；压轴题；数形结合．‎ ‎【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题．‎ ‎【解答】解：由z=，‎ - 21 -‎ 考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域，‎ 数形结合，由图得当过A（0，4）时，z有最大值11，‎ 当过B（3，0）时，z有最小值，所以 ≤z≤11．‎ 故选 C．‎ ‎【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率．属于线性规划中的延伸题 ‎11．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的最小正周期为3，且则m的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先根据周期性可知f（1）=f（﹣2），然后根据奇偶性可知f（﹣2）=﹣f（2），从而可得f（2）＜﹣1，最后解分式不等式即可求出所求．‎ ‎【解答】解：∵若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞1，‎ ‎∴f（1）=f（﹣2）＞1‎ 而函数f（x）是定义在R上的奇函数 ‎∴f（﹣2）=﹣f（2）则f（2）＜﹣1‎ 即＜﹣1‎ - 21 -‎ ‎∴则 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及分式不等式的解法，是一道综合题，属于基础题．‎ ‎12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则( )‎ A．B=2C B．B=2A C．A=2C D．C=2A ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．‎ ‎【分析】利用余弦定理，正弦定理化简已知可得2sinAcosB=sinC﹣sinA，根据三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用解得sin（B﹣A）=sinA，即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A，从而可得B=2A．‎ ‎【解答】解：∵cosB====‎ ‎∴2sinAcosB=sinC﹣sinA=sin（A+B）﹣sinA ‎=sinAcosB﹣cosAsinB﹣sinA 移项，整理，得sin（B﹣A）=sinA 即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A 所以B=2A 或 B=180（舍）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．数列{an}是公差不为零的等差数列，若a1，a3，a4成等比数列，则公比q=．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由等差数列的通项公式和等比数列的性质得a1=﹣4d，由此能求出公比q．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是公差不为零的等差数列，a1，a3，a4成等比数列，‎ - 21 -‎ ‎∴，‎ 解得a1=﹣4d，‎ ‎∵d≠0，‎ ‎∴公比q===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和等比数列的性质的合理运用．‎ ‎14．曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；‎ ‎【解答】解：y′=ex+x•ex+2，y′|x=0=3，‎ ‎∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．‎ 故答案为：y=3x+1‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．‎ ‎15．若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin2（x﹣φ），再由题意结合正弦函数的对称性可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小值．‎ ‎【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=sin2（x﹣φ）的图象，‎ - 21 -‎ 再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，‎ 即 ﹣φ=+，k∈z，即 φ=﹣﹣，k∈z，‎ 再根据φ＞0，可得φ的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．‎ ‎16．下列结论正确的是（2）（3）．‎ ‎（1）函数f（x）=sinx在第一象限是增函数；‎ ‎（2）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；‎ ‎（3）设，是非零向量，命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题和逆否命题都是真命题；‎ ‎（4）函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈（﹣2＜t＜1）的最大值为0．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑．‎ ‎【分析】举例说明（1）错误；利用角的范围结合余弦函数的单调性说明（2）正确；由向量共线的条件判断（3）正确；利用导数求出函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈（﹣2＜t＜1）的最大值说明（4）错误．‎ ‎【解答】解：对于（1），390°＞60°，但sin390，∴函数f（x）=sinx在第一象限是增函数错误；‎ 对于（2），△ABC中，∵0＜A，B＜π，且y=cosx在上是减函数，∴“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件正确；‎ 对于（3），设，是非零向量，若|•|=||||，则共线，∴命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”是真命题，则其逆否命题是真命题；‎ 命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题是“若|•|≠||||，则∀t∈R，≠t”，也是真命题，故（3）是真命题；‎ - 21 -‎ 对于（4），由f（x）=2x3﹣3x2，得f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），当x∈（﹣2＜t＜1）上的最大值为，故（4）错误．‎ 故答案为：（2）（3）．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的单调性，考查了命题的否命题和逆否命题，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．‎ 三、解答题：本题共5小题，选做题10分，其它每小题12分，共70分.‎ ‎17．已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；一元二次不等式．‎ ‎【专题】计算题；判别式法；简易逻辑．‎ ‎【分析】先通过因式分解求出方程x2﹣（2+a）x+2a=0的根，再根据判别式确定不等式x2+2ax+2a≤0有解，最后根据复合命题真假求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：①若命题p为真，由x2﹣（2+a）x+2a=0得（x﹣2）（x﹣a）=0，解得x=2或x=a，‎ 又∵方程x2﹣（2+a）x+2a=0，在上有且仅有一解，∴﹣≤a≤1．‎ ‎②若命题q为真，即存在实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0‎ ‎∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2，‎ 因为命题“￢p且q”是真命题，所以，命题p是假命题、命题q是真命题，‎ 当命题p为假时，a＜﹣1或a＞1，‎ 当命题q为真时，a≤0或a≥2，‎ 因此，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪‎ A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，‎ 则丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率P（A）=0.6（0.3+0.2）+0.4×0.2=0.38．‎ ‎（2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B，‎ ‎“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C，‎ 则B与C相互独立，且P（B）=0.2×0.6=0.12，P（C）=0.3×0.6=0.18．‎ 所以在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为：‎ P（）P（）=‎ - 21 -‎ ‎=0.88×0.82=0.7216．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率和对立事件的概率的计算公式的合理运用．‎ ‎19．已知{an}是公差为正的等差数列，且a3a6=55，a2+a7=16．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）已知an=b1+++…+（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）{an}是公差d＞0的等差数列，由a3a6=55，a2+a7=16=a3+a6．解得：a3，a6，再利用等差数列的通项公式即可得出；‎ ‎（2）利用递推关系即可得出bn，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵{an}是公差d＞0的等差数列，‎ ‎∴由a3a6=55，a2+a7=16=a3+a6．‎ ‎ 解得：a3=5，a6=11，‎ ‎∴，‎ 解得a1=1，d=2．‎ an=2n﹣1．‎ ‎（2）∵an=b1+++…+（n∈N*），‎ ‎∴an﹣1=an=b1+++…（n≥2），‎ 相减得=2，可得bn=4n﹣2，‎ 当n=1时，b1=1，∴bn=，‎ ‎∴n≥2时，Sn=1+=2n2﹣1，‎ - 21 -‎ 又n=1时，适合上式． ‎ 综上所述：Sn=2n2﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了递推关系、等差数列前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，记f（θ）=•．‎ ‎（1）求f（θ）关于θ的表达式；‎ ‎（2）求f（θ）的值域及单调区间．‎ ‎【考点】正弦定理；正弦函数的图象．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（θ）的解析式．‎ ‎（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（θ）的值域，再利用正弦函数的单调性求得f（θ）的单调区间．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，由正弦定理有：===，‎ 求得|BC|=sinθ，|AB|=sin（﹣θ），‎ 故f（θ）=•=sin（﹣θ）•sinθ•cos（π﹣）‎ ‎=sin（﹣θ）•sinθ=（cosθ﹣sinθ）sinθ=（ sinθcosθ﹣sin2θ ）‎ ‎==sin（2θ+）﹣，0＜θ＜．‎ ‎（2）∵0＜θ＜，∴2θ+∈（，），∴f（θ）的值域为（0，]，‎ 当2θ+∈（，），即 θ∈（0，）时，f（θ）是增函数；‎ 当2θ+∈（，），即 θ∈（，）时，f（θ）是减函数，‎ ‎∴f（θ）的递增区间是（0，），递减区间是（，）．‎ - 21 -‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．‎ ‎21．设直线l：y=kx+1与曲线f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于点P（0，f（0））．‎ ‎（1）求b，k的值；‎ ‎（2）若直线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】综合题；分类讨论；转化思想；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（1）根据导数的几何意义，求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，可得b=1，k=﹣1；‎ ‎（2）将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与的大小，研究函数的单调性，求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，‎ 由切线y=kx+1，可得f（0）=1=b，‎ ‎∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，‎ 切点P（0，1），切线l的斜率为k=﹣1；‎ ‎（2）切线l：y=﹣x+1与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于 方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，‎ 即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．‎ 令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，‎ ‎∴方程h（x）=0有一解x=0‎ h'（x）=2ax﹣1+，‎ ‎①若a=，则h'（x）=≥0（x＞﹣1），‎ ‎∴h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；‎ - 21 -‎ ‎②若0＜a＜，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1＞0，‎ 在x∈（﹣1，0），（x2，+∞） 时，h′（x）＞0，h（x）递增，‎ 在（0，x2）时，h′（x）＜0，h（x）递减，‎ ‎∴h（）＜h（0）=0，而h（）＞0，‎ ‎∴方程h（x）=0在（﹣1，+∞）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；‎ ‎③若a＞，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1∈（﹣1，0）‎ 同理可得方程h（x）=0在（﹣1，﹣1）上还有一解，‎ 则h（x）=0解不唯一；‎ 综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的思想，以及计算能力，属于中档题，综合题．‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD=DC，连结AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．‎ ‎【解答】证明：连接 AD．‎ ‎∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．‎ ‎∴AD⊥BD（垂直的定义）．‎ - 21 -‎ 又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．‎ ‎∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．‎ ‎∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．‎ 又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，‎ ‎∴∠B=∠E（圆周角定理）‎ ‎∴∠E=∠C（等量代换）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是圆周角定理，等腰三角形的性质，中垂线的性质，熟练掌握证明角相等的常用方法是解答的关键．‎ ‎23．选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎【专题】综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为 - 21 -‎ 点A，B，C，D的直角坐标为 ‎（2）设P（x0，y0），则为参数）‎ t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ‎∵sin2φ∈‎ ‎∴t∈‎ ‎【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．‎ ‎24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，‎ 再取并集即得所求．‎ ‎（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在上恒成立，由此求得求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，‎ 或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ - 21 -‎ 故a的取值范围为．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，‎ 属于中档题．‎ - 21 -‎