四川省成都市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（每空5分，共50分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，，则（）
A． A∩B=∅ B． A∪B=R C． B⊆A D． A⊆B
2．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）
A． 关于点（，0）对称 B． 关于直线x=对称
C． 关于点（，0）对称 D． 关于直线x=对称
4．（5分）当x∈（0，π）时，函数f（x）=的最小值是（）
A． 2 B． 2 C． 2 D． 1
5．（5分）已知y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=log2x，设，，则a、b、c的大小关系为（）
A． a＜c＜b B． c＜a＜b C． b＜c＜a D． c＜b＜a
6．（5分）已知点G是△ABC的重心，（ λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（）
A． B． C． D．
7．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）
A． B． C． D．
8．（5分）设Q为有理数集，函数g（x）=，则函数h（x）=f （x）•g（x）（）
A． 是奇函数但不是偶函数 B． 是偶函数但不是奇函数
C． 既是奇函数也是偶函数 D． 既不是偶函数也不是奇函数
9．（5分）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上均有意义，且A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点．对应于区间[0，1]内的实数λ，取函数y=f（x）的图象上横坐标为x=λa+（1﹣λ）b的点M，和坐标平面上满足的点N，得．对于实数k，如果不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，那么就称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x2+x在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）
A． B． [0，+∞） C． D．
10．（5分）函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）
①f（x）=x2（x≥0）；
②f（x）=ex（x∈R）；
③f（x）=（x≥0）；
④f（x）=．
A． ①②③④ B． ①②④ C． ①③④ D． ①③
二、填空题（每空5分，共25分）
11．（5分）设集合A（p，q）={x∈R|x2+px+q=0}，当实数p，q取遍[﹣1，1]的所有值时，所有集合A（p，q）的并集为．
12．（5分）设M为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f（x）=|OM|，当x变化时，函数 f（x）的最小正周期是．
13．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为R上的奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A，B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2，现有下面的3个命题：
（1）函数y=|f（x）|的最小正周期是2；
（2）函数在区间[0，1]上单调递减；
（3）直线x=1是函数y=f（x+1）的图象的一条对称轴．
其中正确的命题是．
14．（5分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．
15．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b，c，d为常数），当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当k∈（0，4）时，f（x）﹣k=0只有3个相异实根，现给出下列4个命题：
①f（x）=4和f′（x）=0有一个相同的实根；
②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根；
③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；
④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．
其中正确命题的序号是．
三、简答题（共75分）
16．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．
17．（10分）已知向量=（1+，msin（x+）），=（sin2x，sin（x﹣）），记函数f（x）=•，求：
（1）当m=0时，求f（x）在区间[，]上的值域；
（2）当tanα=2时，f（α）=，求m的值．
18．（10分）．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）当x∈（﹣1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．
19．（15分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
20．（15分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（1）若直线y=m与函数g（x）图象在时有两个公共点，其横坐标分别为x1，x2，求g（x1+x2）的值；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，g（C）=0．若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．
21．（15分）对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
①f（1）=1；
②∀x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）和函数（x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
（Ⅲ）设函数f（x）为理想函数，若∃x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
四川省成都市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每空5分，共50分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，，则（）
A． A∩B=∅ B． A∪B=R C． B⊆A D． A⊆B
考点： 并集及其运算；一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用；集合．
分析： 根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．
解答： 解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，
∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，
故选B．
点评： 本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．
2．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
考点： 奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．
解答： 解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图
当1＜x≤4时，y1＜0
而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在和上是减函数；
在和上是增函数．
∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8
故选D
点评： 发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．
3．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）
A． 关于点（，0）对称 B． 关于直线x=对称
C． 关于点（，0）对称 D． 关于直线x=对称
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题： 计算题．
分析： 先根据最小正周期的值求出w的值确定函数的解析式，然后令2x+=kπ求出x的值，得到原函数的对称点，然后对选项进行验证即可．
解答： 解：由函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π得ω=2，
由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（k∈z），当k=1时为（，0），
故选A
点评： 本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性．
4．（5分）当x∈（0，π）时，函数f（x）=的最小值是（）
A． 2 B． 2 C． 2 D． 1
考点： 三角函数的化简求值；二倍角的余弦．
专题： 三角函数的求值．
分析： 运用倍角公式把给出的函数的分子化为正弦的形式，整理得到，然后利用换元法把函数变为为 （t∈（0，1]）．求导后得到该函数的单调性，则函数在单调区间（0，1]上的最小值可求．
解答： 解：
=
=
=
令sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]．
则函数化为 （t∈（0，1]）．判断知，此函数在（0，1]上是个减函数．
（也可用导数这样判断∵＜0．∴为 （t∈（0，1]）为减函数．）
∴ymin=2﹣1=1．
∴当x∈（0，π）时，函数f（x）=的最小值是1．
故选D．
点评： 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了利用换元法求三角函数的最小值，训练了利用函数的导函数判断函数的单调性，此题是中档题．
5．（5分）已知y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=log2x，设，，则a、b、c的大小关系为（）
A． a＜c＜b B． c＜a＜b C． b＜c＜a D． c＜b＜a
考点： 不等式比较大小．
专题： 压轴题；函数的性质及应用．
分析： 由f（x+1）是定义在R上的偶函数求得f（x）的图象关于直线x=1对称，故有f（x）=f（2﹣x）．再由y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的函数可得函数f（x）也是周期等于2的函数，化简a=f（），再根据当x∈[1，2]时，f（x）=log2x是增函数，且 ，可得a、b、c的大小关系．
解答： 解：∵f（x+1）是定义在R上的偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，故有f（x）=f（2﹣x）．
再由y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的函数可得 函数f（x）也是周期等于2的函数．
故有 a=f（）=f（2﹣）=f（），b=f（），c=f（1）=0．
再由当x∈[1，2]时，f（x）=log2x是增函数，且 ，可得 a＞b＞c，
故选 D．
点评： 本题考查对数函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意反函数性质的灵活运用，属于基础题．
6．（5分）已知点G是△ABC的重心，（ λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（）
A． B． C． D．
考点： 平面向量的综合题．
专题： 计算题．
分析： 由三角形重心的性质可得，，设，由向量数量积的定义可知
，可得xy=4，然后根据向量数量积的性质可得|=，结合基本不等式可求
解答： 解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，
∵∠A=120°，，则根据向量的数量积的定义可得，
设
∴ 即xy=4
==
x2+y2≥2xy=8（当且仅当x=y取等号）
∴即的最小值为
故选：C
点评： 此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题，解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为==，还利用了基本不等式求解最值．
7．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）
A． B． C． D．
考点： 平面向量的基本定理及其意义．
分析： 由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值
解答： 解：∵P是BN上的一点，
设，由，
则
=
=
=
=
=
∴m=1﹣λ，
解得λ=，m=
故选D
点评： 本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组，是解答本题的关键．
8．（5分）设Q为有理数集，函数g（x）=，则函数h（x）=f （x）•g（x）（）
A． 是奇函数但不是偶函数 B． 是偶函数但不是奇函数
C． 既是奇函数也是偶函数 D． 既不是偶函数也不是奇函数
考点： 有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的判断．
分析： 由Q为有理数集，函数，知f（x）是偶函数，由g（x）=，知g（x）是奇函数，由此能得到函数h（x）=f （x）•g（x）是奇函数．
解答： 解：∵Q为有理数集，函数，
∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数，
∵g（x）=，∴g（﹣x）==﹣=﹣g（x），即g（x）是奇函数，
∴函数h（x）=f （x）•g（x）是奇函数但不是偶函数，
故选A．
点评： 本题考查函数的奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性的判断．
9．（5分）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上均有意义，且A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点．对应于区间[0，1]内的实数λ，取函数y=f（x）的图象上横坐标为x=λa+（1﹣λ）b的点M，和坐标平面上满足的点N，得．对于实数k，如果不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，那么就称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x2+x在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）
A． B． [0，+∞） C． D．
考点： 平面向量的综合题．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 先得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．
解答： 解：由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，则k≥|MN|的最大值．
由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，2），（2，6）
∴AB方程为y﹣6=×（x﹣2），即y=4x﹣2
由图象可知，|MN|=4x﹣2﹣（x2+x）=﹣（x﹣）2+≤
∴k≥
故选C．
点评： 本题考查新定义，解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．
10．（5分）函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）
①f（x）=x2（x≥0）；
②f（x）=ex（x∈R）；
③f（x）=（x≥0）；
④f（x）=．
A． ①②③④ B． ①②④ C． ①③④ D． ①③
考点： 函数单调性的性质；函数的定义域及其求法；函数的值域．
专题： 新定义．
分析： 根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”
解答： 解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或
①f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则，∴∴
∴f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=ex（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则，∴
构建函数g（x）=ex﹣2x，∴g′（x）=ex﹣2，
∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴ex﹣2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③，=
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则，∴，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，则，必有，
必有m，n是方程的两个根，
必有m，n是方程的两个根，
由于存在两个不等式的根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
故选C．
点评： 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及知识点较多，需要谨慎计算．
二、填空题（每空5分，共25分）
11．（5分）设集合A（p，q）={x∈R|x2+px+q=0}，当实数p，q取遍[﹣1，1]的所有值时，所有集合A（p，q）的并集为[﹣，]．
考点： 并集及其运算；元素与集合关系的判断．
专题： 综合题；压轴题．
分析： 由x2+px+q=0，知x1=（﹣p+），x2=（﹣p﹣），由此能求出所有集合A（p，q）的并集．
解答： 解：∵x2+px+q=0，
∴x1=（﹣p+），x2=（﹣p﹣），
即﹣p尽可能大也是尽可能大时，x最大，
视p为常数 则q=﹣1时
p2﹣4q最大值为4+p2，
即（x1）max=，①
p=﹣1时（x1）max=，
即xmax=x1=，
同理当x2取最小值是集合最小，
即x2中﹣q最小且﹣最小，
即（x2）min=﹣（p+）中（p+﹣4q）最大
由①得
（p+）最大值为1+，
即xmin=﹣，
∴所有集合A（p，q）的并集为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
点评： 本题考查集合的并集及其运算的应用，解题时要认真审题，注意换法的合理运用，恰当地借助三角函数的性质进行解题．
12．（5分）设M为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f（x）=|OM|，当x变化时，函数 f（x）的最小正周期是15．
考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： 本题考查的知识点是正（余）弦型函数的最小正周期的求法，由M坐标，f（x）=|OM|，代入两点间距离公式，即可利用周期公式求值．
解答： 解：∵f（x）=|OM|
=
=．
∵ω=．
故T==15．
故答案为：15．
点评： 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，由周期T=进行求解，本题属于基本知识的考察．
13．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为R上的奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A，B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2，现有下面的3个命题：
（1）函数y=|f（x）|的最小正周期是2；
（2）函数在区间[0，1]上单调递减；
（3）直线x=1是函数y=f（x+1）的图象的一条对称轴．
其中正确的命题是（1）．
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 三角函数的图像与性质；简易逻辑．
分析： 根据三角函数的奇偶性求出φ的值，由最高点与最低点间的距离、勾股定理求出ω的值，即求出函数的解析式，
利用y=|sinx|的周期求出函数y=|f（x）|的最小正周期，从而判断（1）；根据正弦函数的单调性判（2）；利用余弦函数的对称轴判断（3）．
解答： 解：因为函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为R上的奇函数，
所以φ=，则函数f（x）=sin（ωx），
设函数f（x）=sin（ωx）的周期是T，
因为A，B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2，
所以，解得T=4，即4=，则ω=，
所以f（x）=sin（x），
对于（1），则函数y=|f（x）|=|sin（x）|的最小正周期是=2，（1）正确；
对于（2），因为f（x）=sin（x），所以函数=sin[（x﹣）]，
由x∈[0，1]得，（x﹣）∈[﹣，]，所以在[0，1]上递增，（2）错误；
对于（3），因为f（x）=sin（x），所以函数y=f（x+1）=sin[（x+1）]=cos（x），
当x=1时，x=，所以直线x=1不是函数y=f（x+1）的图象的一条对称轴，（3）错误，
综上得，正确的命题是（1），
故答案为：（1）．
点评： 本题考查命题真假的判断，主要利用三角函数的性质进行判断，比较综合，属于中档题．
14．（5分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．
考点： 平面向量的基本定理及其意义．
专题： 计算题．
分析： 由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设 后，我们易将 表示为 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值
解答： 解：∵P是BN上的一点，
设 ，由 ，
则
=
=
=
=
=
∴m=1﹣λ，
解得λ=，m=
故答案为：
点评： 本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组．属于基础题．
15．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b，c，d为常数），当k∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当k∈（0，4）时，f（x）﹣k=0只有3个相异实根，现给出下列4个命题：
①f（x）=4和f′（x）=0有一个相同的实根；
②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根；
③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；
④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．
其中正确命题的序号是①②④．
考点： 命题的真假判断与应用．
分析： f（x）﹣k=0的根的问题可转化为f（x）=k，即y=k和y=f（x）图象交点个数问题．由题意y=f（x）图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0．
解答： 解：由题意y=f（x）图象应为先增后减再增，
极大值为4，极小值为0．
f（x）﹣k=0的根的问题可转化为f（x）=k，
即y=k和y=f（x）图象交点个数问题．
故答案为：①②④
点评： 本题考查方程根的问题，方程根的问题⇔函数的零点问题⇔两个函数图象的焦点问题，转化为数形结合求解．
三、简答题（共75分）
16．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 常规题型；计算题．
分析： （1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=﹣时，y=0，结合﹣＜φ＜求出φ，然后求函数f（x）的表达式；
（2）利用f（α）+f（α﹣）=，化简出（sinα+cosα）2，2sinαcosα=＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．
解答： 解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．
函数f（x）的周期为T=4×（+）=π．
而T=，则ω=2．又x=﹣时，y=0，
∴sin[2×（﹣）+φ]=0．
而﹣＜φ＜，则φ=，
∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）．
（2）由f（α）+f（α﹣）=，得
sin（2α+）+sin（2α﹣）=，
即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=．
∴（sinα+cosα）2=1+=．
∵2sinαcosα=＞0，α为△ABC的内角，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=．
点评： 本题是基础题，考查函数解析式的求法，根据三角函数式，确定函数的取值范围，是解题的难点，考查学生视图能力，计算能力．
17．（10分）已知向量=（1+，msin（x+）），=（sin2x，sin（x﹣）），记函数f（x）=•，求：
（1）当m=0时，求f（x）在区间[，]上的值域；
（2）当tanα=2时，f（α）=，求m的值．
考点： 平面向量数量积的运算；函数的值域．
专题： 三角函数的求值；平面向量及应用．
分析： （1）先根据条件求出f（x），要对求出的f（x）进行化简，并化简成：f（x）=，将m=0带入并根据两角差的正弦公式把它变成一个角的三角函数为f（x）=，根据x所在的区间，求出所在区间，再根据正弦函数的图象或取值情况便可求出f（x）在上的值域．
（2）求出f（α）==，要求m，显然需要求cos2α，sin2α，由tan2α=2即可求出cos2α和sin2α，带入即可求m．
解答： 解：f（x）===
（1）m=0时，f（x）==；
∵x∈[]，∴2x﹣∈[0，]
∴sin（2x﹣）∈[，1]；
∴f（x）∈[0，]，即函数f（x）的值域是．
（2）当tanα=2时，，∴，∴；
∴cos2α=2cos2α﹣1；
∵tanα=2＞0，∴α∈[kπ，kπ+]，∴2α∈[2kπ，2kπ+π]，∴sin2α=．
∴f（α）=；
∴m=﹣2
点评： 对求出的f（x）进行化简，并化简成f（x）=，是求解本题的关键．本题考查：数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，三角函数的诱导公式．
18．（10分）．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）当x∈（﹣1，1）时判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．
考点： 函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
专题： 综合题；函数的性质及应用．
分析： （1）利用函数为奇函数，可得b=0，利用，可得a=1，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）利用导数的正负，可得函数的单调性；
（3）利用函数单调增，函数为奇函数，可得具体不等式，从而可解不等式．
解答： 解：（1）由题意可知f（﹣x）=﹣f（x）
∴=﹣
∴﹣ax+b=﹣ax﹣b，∴b=0
∵，∴a=1
∴；
（2）当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增，证明如下：
∵，x∈（﹣1，1）
∴f′（x）＞0，∴当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增；
（3）∵f（2x﹣1）+f（x）＜0，且f（x）为奇函数
∴f（2x﹣1）＜f（﹣x）
∵当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调增，
∴
∴
∴不等式的解集为（0，）．
点评： 本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式，考查函数的单调性，还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力，属于中档题．
19．（15分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
考点： 函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．
专题： 应用题；函数的性质及应用．
分析： （1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；
（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．
解答： 解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，
∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．
（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．
设f（x）=，1≤x≤10．
则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．
故获得最大利润为=457500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．
点评： 正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．
20．（15分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（1）若直线y=m与函数g（x）图象在时有两个公共点，其横坐标分别为x1，x2，求g（x1+x2）的值；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，g（C）=0．若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦定理．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）由函数f（x）的图象可得周期，可得ω，代点（，0）结合φ的范围可得其值，再由图象变换可得g（x）图象，由对称性可得所求；（Ⅱ）由g（C）=0可得角C，
由向量共线可得sinB﹣2sinA=0．由正余弦定理可得ab的方程组，解方程组可得．
解答： 解：（1）由函数f（x）的图象可得，解得ω=2，
又，∴，∴，
由图象变换，得，
由函数图象的对称性，有；
（Ⅱ）∵，∴
又∵0＜C＜π，∴，
∴，∴，
∵共线，∴sinB﹣2sinA=0．
由正弦定理得，得b=2a，①
∵c=3，由余弦定理得，②
解方程组①②可得
点评： 本题考查三角函数图象和性质，涉及图象的变换和正余弦定理，属中档题．
21．（15分）对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
①f（1）=1；
②∀x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）和函数（x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
（Ⅲ）设函数f（x）为理想函数，若∃x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
考点： 抽象函数及其应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．
专题： 新定义．
分析： （I）赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（II）要判断函数g（x）=2x﹣1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x﹣1，（x∈[0，1]是否满足题目中的三个条件
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．
解答： 解：（I）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知∀x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（II）显然g（x）=2x﹣1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有g（x1+x2）﹣[g（x1）+g（x2）]=﹣1﹣[（﹣1）+（﹣1）]=（﹣1）（﹣1）≥0
故g（x）=2x﹣1满足条件①②③，所以g（x）=2x﹣1为理想函数．
对应函数在x∈[0，1]上满足①h（1）=1； ②∀x∈[0，1]，总有h（x）≥0；
③但当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，例如=x2时，h（x1+x2）=h（1）=1，而h（x1）+h（x2）=2h（）=，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数．
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．
若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
故f（x0）=x0．
点评： 采用赋值法是解决抽象函数的性质应用的常用方法，而函数的新定义往往转化为一般函数性质的研究，本题结合指数函数的性质研究函数的函数的函数值域的应用，指数函数的单调性的应用．
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