广西桂林中学2016届高三数学上学期12月月考试题 理.doc

桂林中学2016届高三年级12月月考数学试题（理科）‎ ‎ ‎ 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．‎ 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则= ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知为实数，为虚数单位，若为实数，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列函数中,既是偶函数,又在单调递增的函数是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知函数f（x）=，则函数f（x）的零点为 ‎ ‎ A． ，0 B． ﹣2，0 C． D． 0‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，则双曲线的离心率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 ‎　 A． B． 　 C． 　 D． 7‎ ‎8．运行如图所示的程序框图的相应程序. 为使输出的S为，则 判断框中填入的是 ‎ A. ? B. ?‎ - 12 -‎ C. ? D. ?‎ ‎9．设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D．‎ ‎10．直三棱柱ABC-A1B1 C1的六个顶点都在球O的球面上.若AB=BC=1, ∠ABC=120o,AA1=2,则球O的表面积为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣11=0，在区间[﹣4，6]上任取实数m，则直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形（其中A、B为交点，C为圆心）的概率为 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式 exf（x）＞ex+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为 ‎　 A．（2014，+∞） B． （﹣∞，0）∪（2014，+∞） ‎ C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（0，+∞）‎ 第II卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13．设向量，, 若方向相反, 则实数的值是_________．‎ ‎14．二项式（x+2）6的展开式的第二项的系数为12，则实数__________．‎ ‎15．已知实数，满足条件，若目标函数的最小值为5，则其最大值为_______． ‎ ‎16．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 设函数，其中向量，，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间；‎ - 12 -‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值．‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，且满足,．‎ ‎（Ⅰ）数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设,求证：．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某网络营销部门为了统计某市网友11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：‎ 网购金额 ‎（单位:千元）‎ 频数 频率 合计 若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为．‎ ‎（Ⅰ）试确定，，，的值，并补全频率分布直方图（如图（2））．‎ ‎（Ⅱ）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望． ‎ - 12 -‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设是棱的中点，，，求二面角。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的右焦点，点在椭圆C上.‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（为实数），求的值.‎ ‎22. (本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ - 12 -‎ ‎（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若，在（e=2. 71828…）上存在一点，使得成立，求的取值范围．‎ 桂林中学2016届高三年级12月月考数学试题（理）答案 一． 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D D A D A C C B B D ‎2．【解析】，所以，故选B．‎ ‎4． 解：当x≤1时，3x﹣1=0；解得，x=0；当x＞1时，1+log2x=0，解得，x=（舍去）；故函数f（x）的零点为0；故选D．‎ ‎5．【解析】A 解析：双曲线的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，‎ 所以双曲线的渐进线的斜率为：，又双曲线的渐近线方程为：，‎ 所以，则双曲线的方程为：，‎ 可得：，所以双曲线的离心率，故选：A ‎6. 【解析】， ‎ ‎，‎ ‎，， 故选D．‎ ‎7．A【解析】： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，‎ 正方体的棱长为2，故体积为：2×2×2=8，‎ 三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：××1×1×1=，‎ - 12 -‎ 故几何体的体积V=8﹣=‎ ‎9.C ‎10. 【解析】在如图所示的直三棱柱A1B1C1－ABC中， O为其外接球的球心．‎ ‎ ‎ 设外接圆的半径是r, 由正弦定理得 在△OAE中，OA＝R，OE＝=，AE＝1，‎ ‎∴OA2＝OE2＋AE2，即R2＝3＋1=4，,,故选B．‎ ‎11．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣11=0的圆心为（1，﹣2），半径为4，‎ ‎∴圆心到直线l：x+y+m=0的距离为d=‎ ‎∵直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形，‎ ‎∴＜4×，∴﹣3＜m＜5，长度为8，∵区间[﹣4，6]的长度为10，‎ ‎∴所求的概率为=，故选B．‎ ‎12． 解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），‎ 则g（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，‎ ‎∴y=g（x）在定义域上单调递增，‎ ‎∵exf（x）＞ex+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，‎ ‎∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．‎ 二．填空题： 13、 14、1 15、10 16、[﹣6，0]‎ - 12 -‎ ‎14. 【解析】由题意，二项式展开的第二项为，‎ 令，解得 ‎15. 10‎ ‎16．解：由题意，|f（x）|≥ax﹣1恒成立，等价于y=ax﹣1始终在y=|f（x）|的下方，即直线夹在与y=|﹣x2+4x|=x2﹣4x（x≤0）相切的直线，和y=﹣1之间，所以转化为求切线斜率．‎ 由，可得x2﹣（4+a）x+1=0①，‎ 令△=（4+a）2﹣4=0，解得a=﹣6或a=﹣2，‎ a=﹣6时，x=﹣1成立；a=﹣2时，x=1不成立，‎ ‎∴实数a的取值范围是[﹣6，0]．‎ 三．解答题：‎ ‎17．解：（1）．﹣﹣2分 ‎∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分 令．∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 - 12 -‎ ‎（2）由，，∵0＜A＜π，‎ ‎∴．∴． ﹣﹣﹣6分， ﹣﹣﹣7分 ‎∴在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3，∴． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分 由，∴． ﹣﹣10分 ‎18．证明：（1）∵ ∴……………1分 ‎∵ ……①‎ ‎∴当时，……② （没有n≥2扣1分）‎ ‎∴①-②得, ……… ………4分 ‎∵, ∴ ………5分（没有验证n=1成立扣1分）‎ 是首项为2，公比为的等比数列， ………6分 ‎(3)∵ ∴ ………8分 ‎（或者由公式计算得，公式对得1分，化简对得1分）‎ ‎………10分 ‎(说明：也可以)‎ ‎∴‎ ‎ ………………12分 ‎19、解：（1）根据题意，有 - 12 -‎ 解得 …………………2分 ‎，． ………4分 补全频率分布直方图如图所示．………6分 ‎（2）用分层抽样的方法，从中选取人，则 其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人 ．……………7分 故的可能取值为0，1，2，3； ‎ ‎ ， ，‎ ‎，．…………………………10分 所以的分布列为：‎ ‎ ． ……………………12分 ‎20．（1）证明：因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面 …………………1分 又平面，所以…………………2分 又，，所以PD⊥平面…………………3分 而平面PCD，故平面PCD⊥平面…………………4分 ‎（2）取AD中点O,连接PO,，‎ ‎，, ……5分 如图，以O为原点建立空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ - 12 -‎ ‎，， ，‎ ‎，则得 ‎， …………………7分 设平面PEC的一个法向量，‎ 由得 ‎ 令，则 …………………9分 ‎，，设平面PEC的一个法向量，‎ 由得，令，则 ………………10分 设二面角的大小为，则 故二面角的余弦值为 ………………12分 ‎21、解：(I)由题意知：． ……………1分 根据椭圆的定义得：，‎ 即． ……………2分 所以． ……………3分 所以椭圆C的标准方程为． ……………4分 ‎(II)由题意知：的面积，‎ 整理得． ……………5分 ① 当直线l的斜率不存在时，l的方程是．‎ - 12 -‎ 此时，，所以． ……………6分 ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，‎ 设，．‎ 由可得．……………7分 显然，则 ……………8分 因为，，‎ 所以 ‎． ……………9分 所以， ……………10分 此时，．‎ 综上所述，为定值． ……………12分 ‎22．解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1）， ………1分 ‎∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1， ………………2分 ‎∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．………3分 ‎（Ⅱ），定义域为（0，+∞），……………4分 ‎①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，‎ ‎∵x＞0，∴x＞1+a 令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a． …………………5分 ‎②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立， …………………6分 - 12 -‎ 综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．‎ 当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增． …………………7分 ‎ ‎（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，‎ 即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，‎ 即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0． …………………8分 由（Ⅱ），①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴； …………………9分 ‎②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，‎ ‎∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2， …………………10分 ‎ ‎③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，‎ ‎∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2‎ 此时不存在x0使h（x0）≤0成立． …………………11分 ‎ 综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2． …………………12分 - 12 -‎