沈阳二中2015-2016学年度上学期12月份小班化学习成果
阶段验收 高三（16届）数学试题(理科)
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.
第Ⅰ卷 （60分）
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝ (n≥2)，则xn等于( )
A.n-1 B.n C. D.
3．下列四个结论：
①若，则恒成立；
②命题“若”的逆否命题为“若”；
③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
④命题“”的否定是“”.
其中正确结论的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知函数的图像是连续不断的，有如下的，的对应表
1
2
3
4
5
6
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数存在零点的区间有 ( )
A．区间 B．区间
C．区间 D．区间
5.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β D．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
6.已知的值为 （ ）
- 11 -
A．﹣1 B．﹣2 C． D．2
7 .已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：
x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比有x＋≥n＋1 (n∈N*)，则a等于 ( )
A.n B.2n C.n2 D.nn
8.6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( )
A.40种 B.48种 C.60种 D.68种
9.设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则的取值范围是 （ ）
A．[﹣1，] B．[﹣1，1] C．[0，] D．[0，]
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的
三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （ ）
A. B. C. D.
11.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.4 B. C. D.
12. 设函数在上存在导数，，有，在上
- 11 -
，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （90分）
一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
14. 等比数列{an}中，a3=9前三项和为S3=3x2dx，则公比q的值是________．
15.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为 ．
16．已知椭圆（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则=_____
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2n(n∈N*，n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
18．（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，sin Ccos C－cos2 C＝，且c＝3.
(1)求角C；
(2)若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a，b的值.
19．（本小题满分12分）
某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.
- 11 -
收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:时).
(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率;
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附χ2=
P(χ2>k)
0.05
0.010
k
3.841
6.635
20．（本小题满分12分）
如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．
（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．
21．（本小题满分12分）
- 11 -
已知椭圆M的左、右焦点分别为F1(－，0)、F2(，0)，且抛物线x2＝4y的焦点为椭圆M的顶点，过点P(0,2)的直线l与椭圆M交于不同的两点A、B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)求△OAB面积的取值范围；
(3)若S△OAB＝，是否存在大于1的常数m，使得椭圆M上存在点Q，满足＝m(＋)？若存在，试求出m的值；若不存在，试说明理由.
22．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．
数学试题答案(理科)
1-----12 BDCCA DDBBA BB
- 11 -
13.12 14. 1或﹣ 15. 16.
17.解 (1)∵a1＝2，an＝an－1＋2n(n∈N*，n≥2)，
∴a2－a1＝4，a3－a2＝6，a4－a3＝8，……，an－an－1＝2n，
以上各式相加得an＝a2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)，
当n＝1时，a1＝2也适合上式，
∴an＝n(n＋1)(n∈N*).--------------------------------5分
(2)由(1)得an＝n(n＋1)，
∴＝＝－，
∴Sn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝.---------------10分
18.解 (1)∵sin Ccos C－cos2 C＝，
∴sin 2C－cos 2C＝1，
即sin＝1，
∵00，故k2＝，所以S＝＝＝，
因为t>0，所以t＋≥2＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时取得等号，此时k2＝，解得k＝±，S取得最大值1.
故△OAB面积的取值范围为(0,1].----------------------------------8分
(3)由(2)可知，△OAB的面积S＝＝，
即5＝4k2＋1，两边平方整理得4k4－23k2＋19＝0，解得k2＝1或k2＝.
设Q(x0，y0)，由＝m(＋)，
解得x0＝m(x1＋x2)＝，
y0＝m(y1＋y2)＝m(kx1＋2＋kx2＋2)＝m[k(x1＋x2)＋4]＝m＝.
故Q，
由点Q在椭圆M上可得＋2＝1，
整理得64k2m2＋16m2＝(4k2＋1)2，
解得m2＝，故m2＝或m2＝.
因为m>1，故m＝.---------------------------------------------12分
所以存在实数m＝，使得椭圆M上存在点Q，满足＝m(＋).
22. 解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴对x∈（0，+∞）恒成立，
∴，∵x＞0，则．--------------------------------------2分
∴b的取值范围是．
（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．
- 11 -
∵．
∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；
，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，
当t=2时，ymin=4+2b．
综上所述：----------------------------6分
（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．
则点M、N的横坐标为．
C1在点M处的切线斜率为．
C2在点N处的切线斜率为．
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．
即．则
=，
∴设，则，（1）
令，则，
∵u＞1，∴r′（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，
- 11 -
故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！----------------12分
- 11 -
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