辽宁省大连市第二十高级中学2016届高三数学12月月考试题 文.doc

‎2015-2016学年度上学期月考高三数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷 一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知全集，集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2.复数的实部为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3.化简为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4.双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5.已知命题，. 则为 ‎（A）， （B），（C），（D），‎ ‎6. 已知公差不为0的等差数列中，构成等比数列，则这个等比数列的公比为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7.在中取一实数赋值给，使得关于的方程有两个实根的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 开始 输出 结束 否 是 ‎8. 设实数满足约束条件，则的取值范围为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为 - 7 -‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10. 抛物线的焦点为为抛物线上一点，则以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线的位置关系为 ‎（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）以上都有可能 ‎11. 已知函数定义域为，其导函数为，且恒成立，则的大小关系为 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（参考公式：椎体体积公式）‎ ‎12. 已知三棱锥中，，则此棱锥的体积为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知，则 .‎ ‎14.已知数列的前项和，则 .‎ ‎15.如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的最长的棱长为 .‎ ‎16.过点作曲线的切线，切线方程为 .‎ 三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知向量，满足，，函数·．‎ ‎(Ⅰ) 求函数的周期； (Ⅱ)求函数在的值域． ‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:‎ - 7 -‎ 分组(重量)‎ 频数(个)‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎（Ⅰ）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率.‎ ‎19． (本小题满分12分) ‎ 如图，已知正三棱柱棱长均为2，为中点. 点在侧棱上.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）当取最小值时，在上找一点，使得面.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 平面直角坐标系内，已知动点分别在轴上，，点满足，点的轨迹记作.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与轨迹只有一个公共点，求该公共点的坐标.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数（其中为常用对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：.其中常数.‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 - 7 -‎ 如图，是的角平分线，经过点的圆和切于，且与相交于，连结.‎ ‎(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：. ‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），是上的点，是上的点，且满足.‎ ‎(Ⅰ)求和的公共弦长；‎ ‎(Ⅱ)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知定义在R上的函数的最小值为.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求不等式的解集.‎ - 7 -‎ ‎2015-2016学年度上学期月考 高三数学试卷（文科）参考答案 一．选择题 BACAB DDBCB DA 二．填空题 ‎13. 14.8 15.6 16.和 三．解答题 ‎17．解：(Ⅰ) ‎ ‎·‎ ‎ 4分 所以函数的周期为. 6分 ‎(Ⅱ) ,则， 9分 所以. 12分 ‎18．解: ‎ ‎19. 解：（Ⅰ）如图，将三棱柱的侧面展开，‎ 可知当为中点时，最小，最小值为. 4分K^S*5U.C#‎ ‎（Ⅱ）过点作交于，所以为中点， 6分K^S*5U.C#‎ 过点作交于，所以， 10分K^S*5U.C#‎ 因为，所以面面，所以面. 12分K^S*5U.C#‎ K^S*5U.C#K^S*5U.C#‎ ‎20. 解：（Ⅰ)设，‎ 则得，所以, 2分K^S*5U.C#‎ 又因为，所以的方程为. 4分K^S*5U.C#‎ ‎（Ⅱ）设为，显然，直线与联立可得， K^S*5U.C#‎ - 7 -‎ 直线与轨迹只有一个公共点，所以该方程有两个相等实根，‎ 由（Ⅰ)知该根为， 6分K^S*5U.C#‎ 所以，解得， 10分K^S*5U.C#‎ 所以公共点坐标为，，， 12分K^S*5U.C#‎ ‎21.证明：（Ⅰ）设，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减. 2分K^S*5U.C#‎ 所以，即，当时取等号. 4分K^S*5U.C#‎ ‎（Ⅱ）设，所以.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 8分K^S*5U.C#‎ 所以，即，当时取等号，由（Ⅰ）所以. 12分K^S*5U.C#‎ ‎22.证明：(Ⅰ)因为是圆的切线，所以，‎ 又因为，且，‎ 所以，所以. 5分K^S*5U.C#‎ ‎(Ⅱ) 连接，中，，‎ ‎，所以∽，所以，又因为，所以. 10分K^S*5U.C#‎ ‎23.解：(Ⅰ) 曲线的普通方程为，曲线的普通方程为，‎ 公共弦所在直线为，交点为 ，公共弦长为. 5分K^S*5U.C#‎ ‎(或者利用圆心到公共弦所在直线距离、勾股定理来解决，也可以利用极坐标方程来求)‎ ‎(Ⅱ)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，方程为，‎ - 7 -‎ 方程为，当为极点时符合题意；‎ 或者，解得，结合图象，点为，点为. 10分K^S*5U.C#‎ ‎24.解： ‎ - 7 -‎