2015-2016学年贵州省黔东南州凯里一中高一（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项，请将正确答案填在答题卷指定位置上，错选、多选或不选均不得分）
1．设向量=（cos23°，cos67°），=（cos53°，cos37°），=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
2．函数f（x）=的定义域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]
3．已知，则α+β是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．函数y=﹣ln（x+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．若，且与也互相垂直，则实数k的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．﹣3 D．3
6．已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2
B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1
C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象
16
D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象
7．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．
8．0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（ ）
A．0.32＜20.3＜log20.3 B．0.32＜log20.3＜20.3
C．log20.3＜0.32＜20.3 D．log20.3＜20.3＜0.32
9．已知，，，，则锐角x等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．函数的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，） D．（，+∞）
11．若函数y=2sin（x+θ）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后，它的一条对称轴是，则θ的一个可能的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（ ）
16
A． B． C． D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．
13．函数的最小正周期是
．
14．函数y=2x2﹣mx+3，当x∈[﹣2，+∞）时是增函数，则m的取值范围是 ．
15．已知，，以、为边作平行四边形OACB，则与的夹角的余弦为 ．
16．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（ωt+）（A＞0，ω≠0）的图象如图所示，则当时，电流强度是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共70分
17．设集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|﹣2＜x＜3}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
16
18．化简： = ．
19．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣（3+m））．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
20．已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期为π，，且f（x）的最大值为2．
（1）写出f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程；
（3）说明f（x）的图象如何由函数y=2sinx的图象经过怎样的变换得到．
21．已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=（1，2）．
（1）若||=2，且∥，求的坐标．
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ
22．定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，对任意的a，b∈R都有f（a+b）=f（a）•f（b）且对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（1）求f（0）；
（2）证明：函数y=f（x）在R上是增函数；
（3）若f（x）•f（2x﹣x2）＞1，求x的取值范围．
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2015-2016学年贵州省黔东南州凯里一中高一（上）期末数学模拟试卷（5）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项，请将正确答案填在答题卷指定位置上，错选、多选或不选均不得分）
1．设向量=（cos23°，cos67°），=（cos53°，cos37°），=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】计算题．
【分析】根据平面向量的数量积运算法则，由两向量的坐标列出三角函数关系式，把67°和37°分别变为90°﹣23°和90°﹣53°，然后利用诱导公式变形，再根据两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可得出所求式子的结果．
【解答】解：∵向量=（cos23°，cos67°），=（cos53°，cos37°），
∴=cos23°cos53°+cos67°cos37°
=cos23°cos53°+cos（90°﹣23°）cos（90°﹣53°）
=cos23°cos53°+sin23°sin53°
=cos（53°﹣23°）
=cos30°
=．
故选A
【点评】此题考查了平面向量的数量积的运算，诱导公式及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换．
2．函数f（x）=的定义域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，解指数不等式即可得到原函数的定义域．
【解答】解：由1﹣2x≥0，得：2x≤1，所以x≤0．
所以原函数的定义域为（﹣∞，0]．
故选D．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．
3．已知，则α+β是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
16
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由已知利用同角三角函数关系式先求出cosα，sinβ，再利用两角和的正弦和余弦函数求出cos（α+β）和sin（α+β），由此能判断α+β所在象限．
【解答】解：∵，
∴cosα=﹣=﹣，
sinβ=﹣=﹣，
∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣﹣（﹣）（﹣）=＜0，
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=﹣=＞0，
∵＜α+β＜，
∴α+β是第二象限角．
故选：B．
【点评】本题考查两角和所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和两角和的正弦和余弦函数公式的合理运用．
4．函数y=﹣ln（x+1）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．
【分析】由函数y=﹣ln（x+1）的性质，利用排除法确定函数的图象．
【解答】解：函数y=﹣ln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），
故排除C、D；
函数y=ln（x+1）为增函数，
故函数y=﹣ln（x+1）为（﹣1，+∞）上的减函数，
故排除A；
故选B．
【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．
5．若，且与也互相垂直，则实数k的值为（ ）
16
A．6 B．﹣6 C．﹣3 D．3
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意可得，且 （）•（）=0，解方程求得实数k的值．
【解答】解：由题意可得，且 （）•（）=2k+（3k﹣6）﹣12=0．
即2k+0﹣12=0，解得k=6，
故选A．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
6．已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2
B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1
C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象
D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】常规题型．
【分析】先将函数f（x），g（x）根据诱导公式进行化简，再求出f（x）g（x）的解析式，进而得到f（x）g（x）的最小正周期和最大值可排除A，B；再依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证即可．
【解答】解：∵，∴f（x）=cosx，g（x）=sinx
∴f（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，，排除B；
将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=﹣sinx≠g（x），排除C；
将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x﹣）=sinx=g（x），
故选D．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式和平移变换．三角函数的平移变换第一步先将函数化为同名函数，然后根据左加右减上加下减的原则平移．
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7．函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．
【考点】正切函数的图象．
【专题】方程思想；定义法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据正切函数的图象和性质，确定函数的周期求出ω，即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，
∴函数的 周期T=，
即=，即ω=8，
则f（x）=tan8x，
则f（）=tan（8×）=tanπ=0，
故选：A．
【点评】本题主要考查正切函数的图象和性质，根据条件求出函数的周期以及ω是解决本题的关键．
8．0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（ ）
A．0.32＜20.3＜log20.3 B．0.32＜log20.3＜20.3
C．log20.3＜0.32＜20.3 D．log20.3＜20.3＜0.32
【考点】不等式比较大小．
【专题】压轴题．
【分析】确定0.32，log20.3，20.3这些数值与0、1的大小即可．
【解答】解：∵0＜0.32＜1，log20.3＜0，20.3＞1
∴log20.3＜0.32＜20.3
故选C．
【点评】本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较．
9．已知，，，，则锐角x等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】平面向量坐标表示的应用；平行向量与共线向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】先求出得 的坐标，再由求得 tanx=1，由此求得锐角x的值．
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【解答】解：由题意可得 =（﹣1，2+sinx﹣cosx），再由可得﹣2﹣（﹣1）（2+sinx﹣cosx）=0，
化简可得 sinx=cosx，
∴tanx=1，
∴锐角x等于45°，
故选C．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
10．函数的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，） D．（，+∞）
【考点】对数函数的单调区间．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】本题是一个复合函数，外层是一个递减的对数函数故求出函数的定义域以及内层函数的单调区间，依据复合函数的单调性判断规则做出判断求出内层函数的增区间即为复合函数的递增区间，从而找出正确选项即可．
【解答】解：由题意，此复合函数，外层是一个递减的对数函数
令t=x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1
由二次函数的性质知，t在（﹣∞，1）是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间（﹣∞，1）
故选A
【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，此题外层是一对数函数，故要先解出函数的定义域，在定义域上研究函数的单调区间，这是本题易失分点，切记！
11．若函数y=2sin（x+θ）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后，它的一条对称轴是，则θ的一个可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】求出函数平移后的解析式，然后利用它的对称轴方程，即可求出θ的一个可能的值．
【解答】A解：函数y=2sin（x+θ）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后，得到函数y=2sin（x+θ﹣）+2的图象，
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因为它的一条对称轴是，所以+θ﹣=kπ+，k∈Z，
当k=0时，θ=，满足题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．
12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．
【解答】解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，
∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．
16
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．
13．函数的最小正周期是
3 ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题．
【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将w=代入即可得到答案．
【解答】解：∵∴T=
故答案为3．
【点评】本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和练习．
14．函数y=2x2﹣mx+3，当x∈[﹣2，+∞）时是增函数，则m的取值范围是 m≤﹣8 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】用二次函数图象性质，根据函数y=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上是增函数，可建立不等关系，从而得解．
【解答】解：函数y=2x2﹣mx+3对称轴为x=
∵函数y=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上是增函数
∴
∴m≤﹣8
故答案为m≤﹣8
【点评】本题的考点是二次函数的性质，主要考查函数的单调性，关键是掌握二次函数单调性的研究方法．
15．已知，，以、为边作平行四边形OACB，则与的夹角的余弦为 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由已知向量的坐标求出与的坐标，代入数量积求夹角公式得答案．
【解答】解：∵，，
∴，，
则=3，．
16
则=．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础的计算题．
16．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（ωt+）（A＞0，ω≠0）的图象如图所示，则当时，电流强度是 5 ．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，即可求得函数的解析式，再把t=代入，即得所求．
【解答】解：由函数的图象可得=，解得ω=100π，且A=10，
故函数I=10sin（100πt+），当时，电流强度是I=10sin（2π+）=10sin=5，
故答案为 5．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共70分
17．设集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|﹣2＜x＜3}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合．
【分析】（1）由A与B，以及A为B的子集，确定出a的范围即可；
（2）由A与B，以及A与B的交集为空集，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|﹣2＜x＜3}，且A⊆B，
∴，
解得：0≤a≤1，
16
则实数a的取值范围为[0，1]；
（2）∵A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|﹣2＜x＜3}，且A∩B=∅，
∴a+2≤﹣2或a﹣2≥3，
解得：a≤﹣4或a≥5，
则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞）．
【点评】此题考查了交集及其运算，集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
18．化简： = ．
【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值．
【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．
【分析】直接利用两角和的余弦函数化简求解即可．
【解答】解： =
=．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，余弦函数的应用，考查计算能力．
19．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣（3+m））．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；向量法．
【分析】（1）根据三点构成三角形的条件，即只要三点不共线，根据共线的条件确定出m的值，从而解出A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件；
（2）将几何中的角为直角转化为向量的语言，通过向量的数量积为零列出关于实数m的方程，求解出实数m．
【解答】解：（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，
∵，故知3（1﹣m）≠2﹣m
∴实数时，满足条件．
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，
∴3（2﹣m）+（1﹣m）=0
16
解得．
【点评】本题考查向量的坐标形式的运算，考查向量共线与向量垂直的等价条件．关键要将几何问题通过向量工具解决出来，体现了转化与化归的思想．
20．已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期为π，，且f（x）的最大值为2．
（1）写出f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程；
（3）说明f（x）的图象如何由函数y=2sinx的图象经过怎样的变换得到．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把函数化为y=Asin（ωx+∅）的形式，则周期T=，最大值为，再与所给函数的周期，最大值比较，就可得到两个含a，b，ω的等式，根据再得到一个含a，b，ω的等式，就可求出a，b，ω的值，得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中得到的函数f（x）的解析式，先化简为y=Asin（ωx+∅），把ωx+∅看成一个整体，就可借助基本正弦函数的单调性，对称轴，对称中心，求出f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程．
（2）利用函数的平移，伸缩变换，把函数y=2sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的，即得的图象．
【解答】解：（1）f（x）=asinωx+bcosωx=sin（ωx+∅），其中φ为辅助角，且tanφ=，
∴T==π，∴ω=2
∵，∴asin+bcos=，即a=
∵f（x）的最大值为2，∴=2，解得，b=1
∴
（2）由（1）得， =2sin（2x+）
令，k∈Z，解得，
∴函数的单调递增区间；
16
令2x+=kπ，k∈Z，解得，x=
∴函数的对称中心为；
令2x+=kπ+，k∈Z，解得，
对称轴方程为
（3）的图象可先由函数y=2sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的，即得的图象．
【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+∅）形式的函数的单调性，周期，对称性的判断，以及图象如何由基本正弦函数图象经过平移，伸缩变换得到．属于常规题．
21．已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=（1，2）．
（1）若||=2，且∥，求的坐标．
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题；待定系数法．
【分析】（1）设出的坐标，利用它与平行以及它的模等于2，待定系数法求出的坐标．
（2）由+2与2﹣垂直，数量积等于0，求出夹角θ的余弦值，再利用夹角θ的范围，求出此角的大小．
【解答】解：（1）设（1分）
∵∥且||=2
∴，（3分）
∴x=±2（5分）
∴=（2，4）或=（﹣2，﹣4）（6分）
（2）∵（+2）⊥（2﹣）
∴（+2）•（2﹣）=0（8分）
16
∴22+3•﹣22=0
∴2||2+3||•||cosθ﹣2||2=0
∴2×5+3××cosθ﹣2×=0
∴cosθ=﹣1（10分）
∴θ=π+2kπ
∵θ∈[0，π]
∴θ=π（12分）
【点评】本题考查平面上2个向量平行、垂直的条件，以及利用2个向量的数量积求2个向量的夹角．
22．定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，对任意的a，b∈R都有f（a+b）=f（a）•f（b）且对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（1）求f（0）；
（2）证明：函数y=f（x）在R上是增函数；
（3）若f（x）•f（2x﹣x2）＞1，求x的取值范围．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用a=b=0，直接求解函数值即可．
（2）结合已知条件，利用函数的单调性的定义直接证明即可．
（3）利用已知条件转化为二次不等式求解即可．
【解答】解：（1）令a=b=0，f（0）=[f（0）]2，又∵f（0）≠0，∴f（0）=1（2分）
（2）证明：设任意x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，
f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]=f（x2﹣x1）•f（x1），
∵f（x1）＞0，∴，
∴f（x2）＞f（x1），
∴函数y=f（x）在R上是增函数；（7分）
（3）f（x）f（2x﹣x2）=f（3x﹣x2）＞f（0），
∵f（x）是R上增函数，
∴3x﹣x2＞0，
∴0＜x＜3（12分）
【点评】本题考查抽象函数的应用，赋值法以及转化思想的应用，考查计算能力．
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