甘肃省张掖市临泽一中2014-2015学年高一数学上学期期末试卷（含解析）.doc

‎2014-2015学年甘肃省张掖市临泽一中高一（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上）‎ ‎1．集合A={x|2014≤x≤2015}，B={x|x＜a}，若A⊊B，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞2014 B．a＞2015 C．a≥2014 D．a≥2015‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（　　）‎ A．7种 B．4种 C．8种 D．12种 ‎　‎ ‎3．化简﹣得（　　）‎ A．6 B．2x C．6或﹣2x D．6或2x或﹣2x ‎　‎ ‎4．已知a=，b=log2，c=，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎　‎ ‎5．直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 ‎　‎ ‎6．空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么过其中三个点的平面（　　）‎ A．可能有三个，也可能有两个 B．可能有四个，也可能有一个 C．可能有三个，也可能有一个 D．可能有四个，也可能有三个 ‎　‎ ‎7．已知直线3x﹣2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎8．已知函数f（x）=，则f（2014）=（　　）‎ A．2012 B．2013 C．2014 D．2015‎ ‎　‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（　　）‎ A．16π B．14π C．12π D．8π ‎　‎ ‎10．如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，‎ BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（　　）‎ A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC ‎　‎ ‎11．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1），若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB没有交点，则k的取值范围是（　　）‎ A． B．k≤﹣2 C．，或k＜﹣2 D．‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎12．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为，若E是PB的中点，则异面直线PD与AE所成角的正切值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上）‎ ‎13．函数（x∈R）的值域是 　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．已知两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．已知点A（2，2），B（5，﹣2），点P在x轴上且∠APB为直角，则点P的坐标是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．‎ ‎（1）求OC所在直线的斜率；‎ ‎（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．‎ - 22 -‎ ‎　‎ ‎18．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=2，点M，N分别是PD，PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；‎ ‎（Ⅱ）求证：MN⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）求四面体A﹣MBC的体积．‎ ‎　‎ ‎19．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．‎ ‎（Ⅰ）求AB的中垂线方程；‎ ‎（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）一束光线从B点射向（Ⅱ）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．‎ ‎　‎ ‎20．设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且．‎ ‎（Ⅰ）求f（3）的值；‎ ‎（Ⅱ）令t=log3x，将f（x）表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC1的中点．‎ ‎（1）证明：BF∥平面ECD1；‎ ‎（2）求二面角D1﹣EC﹣D的余弦值．‎ ‎　‎ ‎22．底面半径为2，高为4的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．‎ ‎（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；‎ ‎（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．‎ ‎　‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎2014-2015学年甘肃省张掖市临泽一中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上）‎ ‎1．集合A={x|2014≤x≤2015}，B={x|x＜a}，若A⊊B，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞2014 B．a＞2015 C．a≥2014 D．a≥2015‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【专题】计算题；集合．‎ ‎【分析】根据A是B的真子集，得出⊊（﹣∞，a），从而求得实数a的取值范围，注意等号的取舍．‎ ‎【解答】解：因为A是B的真子集，且 A={x|2014≤x≤2015}=，‎ B={x|x＜a}=（﹣∞，a），‎ 即：⊊（﹣∞，a），‎ 所以，a＞2015，（不能取“=”），‎ 故答案为：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了集合的包含关系的判断及其应用，即真子集的判断和参数范围的确定，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（　　）‎ A．7种 B．4种 C．8种 D．12种 ‎【考点】判断两个函数是否为同一函数．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；集合．‎ ‎【分析】值域C只可能是集合B的真子集，求出B的真子集的个数即可．‎ ‎【解答】解：值域C可能为：只含有一个元素时，{a}，{b}，{c}3种；‎ 有两个元素时，{a，b}，{a，c}，{b，c}3种；‎ 有三个元素时，{a，b，c}1种；‎ - 22 -‎ ‎∴值域C的不同情况有3+3+1=7种．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的定义的应用问题，也考查了集合的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．化简﹣得（　　）‎ A．6 B．2x C．6或﹣2x D．6或2x或﹣2x ‎【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．‎ ‎【专题】计算题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】化简﹣=|x+3|﹣（x﹣3）=．‎ ‎【解答】解：﹣=|x+3|﹣（x﹣3）=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了指数幂的化简与运算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知a=，b=log2，c=，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数值的大小比较，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎5．直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 - 22 -‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】由直线方程易判：当a=﹣时，两直线重合，当a≠﹣时，两直线平行，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵3×2=1×6，‎ ‎∴当a=﹣时，两直线重合，‎ 当a≠﹣时，两直线平行，‎ ‎∴直线3x+y﹣a=0与6x+2y+1=0的位置关系为平行或重合，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查直线的平行关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么过其中三个点的平面（　　）‎ A．可能有三个，也可能有两个 B．可能有四个，也可能有一个 C．可能有三个，也可能有一个 D．可能有四个，也可能有三个 ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据题意判断出空间四点构成的两条直线的位置关系，由公理2以及推论、符合条件的几何体进行判断．‎ ‎【解答】解：根据题意知，空间四点确定的两条直线的位置关系有两种：‎ 当空间四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；‎ 当四点确定的两条直线异面时，四点不共面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点，则这四个点确定4个平面．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了平面公理2以及推论的应用，主要利用公理2的作用和公理中的关键条件进行判断，可以借助于空间几何体有助理解，考查了空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎7．已知直线3x﹣2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ - 22 -‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．‎ ‎【解答】解：直线3x﹣2y﹣3=0即 6x﹣4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得，故m=﹣4．‎ 可得它们间的距离为 d==，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=，则f（2014）=（　　）‎ A．2012 B．2013 C．2014 D．2015‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；函数的值．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用赋值法，先令x=1，求出f（1），再令x=2，求出f（2），令x=n，则f（n）﹣f（n﹣1）=1，再根据等差数列的通项求出f（2014）．‎ ‎【解答】解：当x=1时，f（1）=log5（5﹣1）=2，‎ 当x＞1时，f（x）=f（x﹣1）+1，‎ 令x=2，则f（2）=f（1）+1=2+1=3，‎ 令x=n，则f（n）﹣f（n﹣1）=1，‎ ‎∴{f（n）}是以2为首项，以1为公差的等差数列，‎ ‎∴f（2014）=2+（2014﹣1）×1=2015，‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查了抽象函数的问题，关键转化为{f（n）}是以2为首项，以1为公差的等差数列，属于基础题．‎ ‎　‎ - 22 -‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（　　）‎ A．16π B．14π C．12π D．8π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的，据此可得出这个几何体的表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去球体的．球的半径R=2，‎ 这个几何体的表面积等于球的表面积的加上大圆的面积．‎ S=×4πR2+πR2=16π 故选A．‎ ‎【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，‎ BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（　　）‎ - 22 -‎ A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CD C．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC ‎【考点】平面与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】证明题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】对四个结论分别加以判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：对于A，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BD⊥CD，‎ ‎∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，即A正确；‎ 对于B，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，‎ ‎∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，即B正确；‎ 对于C，∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD=D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，即C正确；‎ 对于D，若AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，与CD⊥AD矛盾，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎11．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1），若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB没有交点，则k的取值范围是（　　）‎ A． B．k≤﹣2 C．，或k＜﹣2 D．‎ ‎【考点】两条直线的交点坐标．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】由已知条件画出图象并求出直线l与线段AB相交的条件，进而即可求出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 由已知可得kPA=，．‎ 由此可知直线l若与线段AB有交点，则斜率k满足的条件是 - 22 -‎ ‎，或k≥﹣2．‎ 因此若直线l与线段AB没有交点，则k满足以下条件：‎ ‎，或k＜﹣2．‎ 故选C ‎【点评】熟练掌握直线的斜率与直线的位置之间的关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为，若E是PB的中点，则异面直线PD与AE所成角的正切值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【专题】转化思想；数形结合法；空间角．‎ ‎【分析】取AD中点M，连接MO，PM，连接AE，OE，由OE∥PD，知∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．由此能求出异面直线PD与AE所成角的正切值．‎ ‎【解答】解：取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，∵PO⊥面ABCD，‎ - 22 -‎ ‎∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．‎ ‎∵侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为，∴tan∠PAO=．‎ 设AB=a，则AO=a，‎ ‎∴PO=AO•tan∠POA=a，‎ 连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．‎ ‎∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE⊂平面PBD，∴AO⊥OE．‎ ‎∵OE=PD==a，‎ ‎∴tan∠AEO==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上）‎ ‎13．函数（x∈R）的值域是 　（0，1]　．‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由实数平方的非负性，得x2≥0，∴1+x2≥1；从而取倒数，得的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，知x∈R，∴x2≥0，∴1+x2≥1；∴．‎ 所以，f（x）的值域是（0，1]．‎ 故答案为：（0，1]．‎ ‎【点评】本题用求值域的方式考查了不等式的性质和应用，是基础题．‎ - 22 -‎ ‎　‎ ‎14．已知两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于　﹣或﹣　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，‎ ‎∴，化为|3a+3|=|6a+4|．‎ ‎∴6a+4=±（3a+3），‎ 解得或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点评】本题考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．已知点A（2，2），B（5，﹣2），点P在x轴上且∠APB为直角，则点P的坐标是　（1，0）或（6，0）　．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【专题】计算题；平面向量及应用．‎ ‎【分析】设P（a，0），然后根据∠APB=90°得出即可得出结果．‎ ‎【解答】解：设出P（a，0）‎ ‎=（a﹣2，﹣2），=（a﹣5，2）‎ ‎∵∠APB=90°，‎ ‎∴即（a﹣2）（a﹣5）﹣4=0‎ 解得：a=1 或a=6．‎ ‎∴P点的坐标为（1，0）或（6，0）．‎ 故答案为：（1，0）或（6，0）．‎ ‎【点评】本题考查了平面直角坐标系中向量的运用，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，数量积判断两个平面向量的垂直关系，属于中档题．‎ - 22 -‎ ‎　‎ ‎16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是　60°　．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【专题】空间角．‎ ‎【分析】三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，解直角三角形求出∠ADE的大小，‎ 即为所求．‎ ‎【解答】解：由题意可得，三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，‎ 取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，‎ 设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，‎ ‎∴∠ADE=60°，‎ 故答案为 60°．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面成的角的定义和求法，取BC的中点E，判断∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，是解题的关键，属于 中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．‎ ‎（1）求OC所在直线的斜率；‎ ‎（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．‎ - 22 -‎ ‎【考点】直线的点斜式方程；斜率的计算公式；直线的一般式方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=，求出直线OC的斜率即可；‎ ‎（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），‎ ‎∴OC所在直线的斜率为．‎ ‎（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．‎ ‎∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．‎ ‎【点评】此题考查学生会根据两点的坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握两直线平行时斜率所满足的条件，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎18．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=2，点M，N分别是PD，PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；‎ ‎（Ⅱ）求证：MN⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）求四面体A﹣MBC的体积．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ - 22 -‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（I）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，只需证明线线平行，利用三角形的中位线可得MO∥PB；‎ ‎（II）证明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，即可证得；‎ ‎（III）利用等体积，即，从而可得结论．‎ ‎【解答】证明：（I）连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O ‎∵点O，M分别是PD，BD的中点 ‎∴MO∥PB，‎ ‎∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM ‎∴PB∥平面ACM．…（4分）‎ ‎（II）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD ‎∴PA⊥BD ‎∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD 又∵PA∩AC=A ‎∴BD⊥平面PAC…（7分）‎ 在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD ‎∴MN⊥平面PAC．…（9分）‎ ‎（III）∵，…（12分）‎ ‎∴．…（14分）‎ - 22 -‎ ‎【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥的体积，解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直的判定方法，利用等体积法求体积．‎ ‎　‎ ‎19．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．‎ ‎（Ⅰ）求AB的中垂线方程；‎ ‎（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）一束光线从B点射向（Ⅱ）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】（I）先由中点坐标公式求出中点坐标，然后根据垂直求出中垂线的斜率，进而由点斜式求出直线方程；‎ ‎（II）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；‎ ‎（III）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），，∴AB的中点坐标为（5，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ ‎，‎ ‎∴AB的中垂线斜率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ ‎∴由点斜式可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ ‎∴AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（Ⅱ）由点斜式﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎∴直线l的方程4x+3y+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ - 22 -‎ ‎（Ⅲ）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ 解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）‎ 由点斜式可得，整理得11x+27y+74=0‎ ‎∴反射光线所在的直线方程为11x+27y+74=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用点斜式求直线的方程，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且．‎ ‎（Ⅰ）求f（3）的值；‎ ‎（Ⅱ）令t=log3x，将f（x）表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．‎ ‎【考点】对数函数图象与性质的综合应用．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式求得f（3）的值．‎ ‎（Ⅱ）令t=log3x，则﹣2≤t≤2，且f（x）=t2+3t+2，令g（t）=t2+3t+2=﹣，利用二次函数的性质求得g（t）的最值以及此时对应的x的值．‎ - 22 -‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且，‎ 故f（3）=log327•log39=3×2=6．‎ ‎（Ⅱ）令t=log3x，则﹣2≤t≤2，且f（x）=（log3x+2）（1+log3x）=t2+3t+2，‎ 令g（t）=t2+3t+2=﹣，‎ 故当t=﹣时，函数g（t）取得最小值为﹣，此时求得x==；‎ 当t=2时，函数g（t）取得最大值为12，此时求得x=9．‎ ‎【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC1的中点．‎ ‎（1）证明：BF∥平面ECD1；‎ ‎（2）求二面角D1﹣EC﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离；空间角．‎ ‎【分析】（1）取CD1中点G，连结FG，由已知推导出四边形FGEB为平行四边形，由此能证明BF∥平面ECD1．‎ ‎（2）连结DE，E为AB的中点，DE⊥EC，DD1⊥EC，由已知得∠DED1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣EC﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：取CD1中点G，连结FG．‎ ‎∵F为CC1的中点D1，∴且FG∥C1D1，‎ ‎∵AB=C1D1且AB∥C1D1，∴且FG∥BE，‎ ‎∴四边形FGEB为平行四边形∴BF∥GE，…（4分）‎ ‎∵GE⊂平面ECD1，BF⊄平面ECD1，‎ ‎∴BF∥平面ECD1．…（7分）‎ - 22 -‎ ‎（2）解：连结DE，‎ ‎∵AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，∴DE⊥EC，…（9分）‎ ‎∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥EC，‎ 又DD1∩DE=D，DD1⊂平面EDD1，‎ DE⊂平面EDD1∴CE⊥平面EDD1，∴CE⊥ED1，…（11分）‎ ‎∴∠DED1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．…（12分）‎ Rt△ADE中，‎ ‎∴Rt△D1DE中，，‎ ‎∴．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎22．底面半径为2，高为4的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．‎ ‎（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；‎ ‎（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【专题】计算题；函数的性质及应用；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（1）由相似性可得=，从而化出h=4﹣2x，（其中0＜x＜2）；‎ ‎（2）设该正四棱柱的表面积为y，则y=2x2+4xh=2x2+4x（4﹣2x）=﹣6x2+16，利用配方法求函数的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）根据相似性可得：‎ - 22 -‎ ‎=，‎ 解得：h=4﹣2x，（其中0＜x＜2）．‎ ‎（2）解：设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式：‎ y=2x2+4xh=2x2+4x（4﹣2x）‎ ‎=﹣6x2+16‎ ‎=﹣6（x﹣）2+，‎ 因为0＜x＜2，‎ 所以当x=时，‎ ymax=，‎ 故当正四棱柱的底面边长为时，此正四棱柱的表面积最大，为．‎ ‎【点评】本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，属于中档题．‎ ‎　‎ - 22 -‎