福建省漳州市东山二中2014-2015学年高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则M∩N=（ ）
A．∅ B．{x|x＞0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
2．复数a2﹣a﹣6+（a2+a﹣12）i为纯虚数的充要条件是（ ）
A．a=3或a=﹣2 B．a=3或a=﹣4 C．a=3 D．a=﹣2
3．已知命题p：∃x∈[0，π]，sinx＜，则￢p为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m B．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α D．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
6．若直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．已知，若垂直，则=（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
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8．定义在R上的奇函数f（x）满足：x≤0时f（x）=ax+b（a＞0且a≠1），f（1）=，则f（2）=（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
9．如果函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点成中心对称，且，则函数为（ ）
A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递减 D．奇函数且在上单调递减
10．已知数列{an}，{bn}满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2﹣bnx+2n的两个零点，则b10等于（ ）
A．24 B．32 C．48 D．64
11．函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
①函数y=f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）；
②函数y=f（x）满足f（x+2）=f（﹣x）；
③函数y=f（x）满足f（﹣x）=f（x）；
④函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x）．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
12．已知函数f（x）在R上单调递增，设，若有f（α）﹣f（β）＞f（1）﹣f（0），则λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．给出如图的程序框图，那么输出的数是 ．
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14．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为 ．
15．如图，F1、F2为双曲线的焦点，A、B为双曲线的顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为 ．
16．有下列四个命题：
①的夹角为锐角的充要条件是．
②∃x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；
③∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a1﹣2x+1都恒过定点；
④方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2﹣4F≥0；
其中正确命题的序号是 ．（将正确命题的序号都填上）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22﹣10．
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（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an﹣bn}的前n项和Sn．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=DC=1，BP=BC=，PC=2，AB⊥平面PBC，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面ADP⊥平面PDC；
（Ⅲ）求VP﹣ABCD．
19．（Ⅰ）一个骰子投掷2次，得到的点数分别为a，b，求直线y=a﹣b与函数y=sinx图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等的概率．
（Ⅱ）若a是从区间[0，6]上任取一个数，b是从区间[0，6]上任取一个数，求直线y=a﹣b在函数y=sinx图象上方的概率．
20．将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移后得到g（x）图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且S△MBC=．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式，并判断（﹣，0）是否是g（x）的一个对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，g（A）=1，且a=，求S△ABC的最大值．
21．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A为上顶点，AF1交椭圆E于另一点B，且△ABF2的周长为8，点F2到直线AB的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
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（Ⅱ）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点，并求出定点的坐标．
22．已知函数f（x）=在点（1，f（1））的切线方程为x﹣y﹣1=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求证：＞．
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2014-2015学年福建省漳州市东山二中高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则M∩N=（ ）
A．∅ B．{x|x＞0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】先将集合M、N化简，即对不等式求解，再利用数轴求解．
【解答】解：由，得0≤x＜1，
∴M={x|0≤x＜1}；
由ex＞1，得x＞0，
∴N={x|x＞0}，
∴M∩N={x|0＜x＜1}，
故选D．
【点评】本题主要考查集合与解不等式等知识，利用数轴去分析、解决集合关系是避免出错的一个有效手段，同时也是数形结合的完美体现．
2．复数a2﹣a﹣6+（a2+a﹣12）i为纯虚数的充要条件是（ ）
A．a=3或a=﹣2 B．a=3或a=﹣4 C．a=3 D．a=﹣2
【考点】复数的基本概念．
【专题】计算题．
【分析】依题意，解不等式组即可．
【解答】解：∵a2﹣a﹣6+（a2+a﹣12）i为纯虚数，
∴，
解得a=﹣2．
故选D．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查充要条件的应用，考查解方程与不等式组的能力，属于中档题．
3．已知命题p：∃x∈[0，π]，sinx＜，则￢p为（ ）
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A． B．
C． D．
【考点】命题的否定；特称命题．
【专题】阅读型．
【分析】特称命题的否定是全称命题，同时将命题的结论否定．
【解答】解：命题p：∃x∈[0，π]，sinx＜，是一个特称命题，
其否定是一个全称命题
所以命题p：∃x∈[0，π]，sinx＜，的否定为“”
故选A．
【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的命题的书写规则，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
4．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】指数函数的图像变换．
【专题】计算题．
【分析】先判断函数的奇偶性，f（﹣x）==f（x），由指数函数的性质可知f（x）＞0恒成立，结合选项可判断
【解答】解：∵
∴f（﹣x）==f（x）
∴函数f（x）为偶函数
由指数函数的性质可知f（x）＞0恒成立
结合选项可知C正确
故选C
【点评】本题主要考查了奇偶函数的图象特征及指数函数的性质的应用，解题的关键是灵活利用函数的性质
5．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m B．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α D．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
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【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．
【解答】解：对于A，若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m或l∥m．故不正确；
对于B，根据线面垂直的判定定理可知少条件“m与n相交”，故不正确；
对于C，根据线面垂直的性质定理可知该命题正确；
对于D，根据面面平等的性质定理，知m与n平行、相交或异面．故不正确．
故选C．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
6．若直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】直线的截距式方程．
【专题】直线与圆．
【分析】把点（1，1）代入直线ax+by=ab，得到，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．
【解答】解：∵直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），
∴a+b=ab，即，
∴a+b=（a+b）（）=2+，当且仅当a=b=2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4．
故选：C．
【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是基础题．
7．已知，若垂直，则=（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据向量的数乘及减法运算求出，运用向量与垂直列式求m，最后用求向量模的公式求出．
【解答】解：因为，所以=（5，m），
由垂直，得5×（﹣1）+m2=0，即m2=5，所以．
故选B．
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【点评】本题考查了运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解答的关键是运用两向量垂直的坐标表示，即若，，则⇔x1x2+y1y2=0．
8．定义在R上的奇函数f（x）满足：x≤0时f（x）=ax+b（a＞0且a≠1），f（1）=，则f（2）=（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
【考点】函数的值；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据奇函数f（x）得f（0）=0，f（﹣1）=﹣建立方程组，解之可求出a与b的值，从而求出x≤0时f（x）的解析式，再根据奇函数性质可求出所求．
【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）
∴f（0）=f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0
∵f（1）=，∴f（﹣1）=﹣
∵x≤0时f（x）=ax+b
∴即
即f（x）=2x﹣1 （x≤0）
∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣（2﹣2﹣1）=
故选A．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．
9．如果函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点成中心对称，且，则函数为（ ）
A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递减 D．奇函数且在上单调递减
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的对称性；复合三角函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】2×+∅=kπ+，k∈z，再由，可得∅=﹣，从而求得函数f（x）的解析式，从而得到f（x+3）的解析式．
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【解答】解：函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点成中心对称，
∴2×+∅=kπ+，k∈z．
再由，可得∅=﹣，故函数f（x）=cos（2x﹣），
故=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）=﹣sin2x，
故函数为奇函数且在上单调递减，
故选D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，余弦函数的对称性，属于中档题．
10．已知数列{an}，{bn}满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2﹣bnx+2n的两个零点，则b10等于（ ）
A．24 B．32 C．48 D．64
【考点】数列与函数的综合；函数的零点．
【专题】计算题．
【分析】由韦达定理，得出，所以，两式相除得=2，数列{an}中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列．求出a10，a11后，先将即为b10．
【解答】解：由已知，，所以，
两式相除得=2
所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列．而a1=1，a2=2，
所以a10=2×24=32．a11=1×25=32，
又an+an+1=bn，
所以b10=a10+a11=64
故选D
【点评】本题考查了韦达定理的应用，等比数列的判定及通项公式求解，考查转化、构造、计算能力．
11．函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
①函数y=f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）；
②函数y=f（x）满足f（x+2）=f（﹣x）；
③函数y=f（x）满足f（﹣x）=f（x）；
④函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x）．
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A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【考点】函数的图象．
【专题】综合题．
【分析】结合函数的图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，关于y轴不对称则函数f（x）是奇函数，不是偶函数，即f（﹣x）=﹣f（x），函数是周期函数，且周期T=4，则由f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），可判断
【解答】解：结合函数的图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，关于y轴不对称则函数f（x）是奇函数，不是偶函数，即f（﹣x）=﹣f（x）；故①正确③不正确
结合函数的图象可知，函数是周期函数，且周期T=4，则由f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故②正确
④不正确
故正确的有①②
故选C
【点评】本题主要考查了利用函数的图象观察函数的对称性及函数的周期性及函数的相关性质的数学表达式的应用．
12．已知函数f（x）在R上单调递增，设，若有f（α）﹣f（β）＞f（1）﹣f（0），则λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】根据函数的单调性，条件可转化为f（α）﹣f（β）＞0，进而可建立不等式，即可求得结论．
【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的单调增函数，
∴f（1）﹣f（0）＞0，
∵f（α）﹣f（β）＞f（1）﹣f（0），
∴f（α）﹣f（β）＞0，
∵，
∴
∴＞0，
∴λ＞1或λ＜﹣1
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λ＞1时，0＜＜α＜1，0＜β＜＜1，故0＜β＜α＜1，f（α）﹣f（β）＜f（α）﹣f（0）＜f（1）﹣f（0），故对于λ＞1不合题意，舍去，经检验，λ＜﹣1时，β＜0＜α，能满足题意，
故选A．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．给出如图的程序框图，那么输出的数是 2450 ．
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】通过分析循环框图，当计数变量i=5时，结果循环，输出S．
【解答】解：程序框图的用途是数列求和，当i=100时结束循环，输出S的值为：
S=2+4+6+8+…+98=2450．
故答案为：2450．
【点评】本题考查程序框图的作用，能够分析出计数变量的数值，结束循环是解题的关键．
14．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为 7 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题．
【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．
【解答】解：作出约束条件的可行域如图，
目标函数z=2x+y在的交点M（3，1）处取最大值为z=2×3+1=7．
故答案为：7．
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【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．
15．如图，F1、F2为双曲线的焦点，A、B为双曲线的顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为 ．
【考点】双曲线的简单性质；圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】由题意求出圆的方程，双曲线的渐近线方程，通过∠MAB=30°求出a，b的关系，然后求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意可知，圆的方程为x2+y2=c2，双曲线的渐近线方程为y=，
将其代入圆的方程得M（a，b），N（﹣a，﹣b）．因为∠BAM=30°．
连接MB，在Rt△MAB中，tan∠BAM===，
，
所以e===．
故答案为：．
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【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查圆的方程的应用，考查计算能力．
16．有下列四个命题：
①的夹角为锐角的充要条件是．
②∃x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；
③∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a1﹣2x+1都恒过定点；
④方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2﹣4F≥0；
其中正确命题的序号是 ②③ ．（将正确命题的序号都填上）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】常规题型；综合题．
【分析】①若非零向量的夹角为锐角，则一定有，；反之，满足的同向共线时，其夹角为0°，却不是锐角，故可以判断①真假．
②取x=y=0时，可以判断出②的真假．
③当x=时，其函数值f（）=2与a无关，故可以判断函数f（x）=a1﹣2x+1都恒过定点，由此可以判断③真假．
④方程x2+y2+Dx+Ey+F=0经配方可化为：，有此式可以判断出方程x2+y2+Dx+Ey+F=0何时表示圆，进而可知④的真假．
【解答】解：①若非零向量的夹角为锐角，则＞0；反之，当同向共线时，满足，则向量夹角为0°，却不是锐角，故①是假命题．
②当x=y=0时，该等式成立，故②是真命题．
③当x=时，f（）=2，，故对于∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a1﹣2x+1都恒过定点，因此③是真命题；
④方程x2+y2+Dx+Ey+F=0经配方可化为：，只有当D2+E2﹣4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆，而当D2+E2﹣4F=0时该方程表示点（﹣，﹣）．故④是假命题．
故答案为②③．
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【点评】本题主要考查向量夹角公式、全称命题与特称命题、指数函数类型的图象过定点问题、圆的一般方程何时表示圆，解决问题的关键是准确掌握有关基础知识．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22﹣10．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an﹣bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出an=2n．
（Ⅱ）由已知条件得，an﹣bn=2n﹣3n﹣1，由此能求出数列{an﹣bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是公差大于零的等差数列，a1=2，a3=a22﹣10．
∴2+2d=（2+d）2﹣10，
解得d=2，或d=﹣4（舍），
∴an=2+（n﹣1）×2=2n．
（Ⅱ）∵{bn}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴，
∴an﹣bn=2n﹣3n﹣1，
∴Sn=2（1+2+3+…+n）﹣（1+3+32+…+3n﹣1）
=2×﹣
=．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=DC=1，BP=BC=，PC=2，AB⊥平面PBC，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面ADP⊥平面PDC；
（Ⅲ）求VP﹣ABCD．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
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【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）取PD的中点为E，连接EF，由已知条件推导出四边形ABFE为平行四边形，由此能证明BF∥平面PAD．
（Ⅱ）由等腰三角形性质得BF⊥PC，由线面垂直得CD⊥平面PBC，从而得到BF⊥平面PDC，由此能证明平面ADP⊥平面PDC．
（Ⅲ）由勾股定理得PB⊥BC，所以PB是四棱锥的高，由此能求出VP﹣ABCD．
【解答】（Ⅰ）证明：取PD的中点为E，连接EF，
∵F为PC中点∴EF为△PDC的中位线，
即EF∥DC且．…（2分）
又∵AB∥CD，，∴AB∥EF且AB=EF，
∴四边形ABFE为平行四边形，∴BF∥AE．…（3分）
又∵AE⊂平面PAD．BF⊄平面PAD
∴BF∥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵BP=BC，F为PC的中点，∴BF⊥PC．…（5分）
又AB⊥平面PBC，AB∥CD，∴CD⊥平面PBC，…（6分）
DC⊥BF，又DC∩PC=C，∴BF⊥平面PDC．…（7分）
由（Ⅰ）知，AE∥BF，
∴AE⊥平面PDC，又AE⊂平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC．…（8分）
（Ⅲ）解：∵AB⊥平面PBC，AB⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PBC且交线为BC…（9分）
又，∴PB⊥BC，
∴PB⊥平面ABCD，
∴PB是四棱锥的高，…（10分）
∴．…（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查锥体体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19．（Ⅰ）一个骰子投掷2次，得到的点数分别为a，b，求直线y=a﹣b与函数y=sinx图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等的概率．
（Ⅱ）若a是从区间[0，6]上任取一个数，b是从区间[0，6]上任取一个数，求直线y=a﹣b在函数y=sinx图象上方的概率．
【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．
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【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）分别计算出一个骰子投掷2次，得到的点数分别为a，b的基本事件总数和满足直线y=a﹣b与函数y=sinx图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案；
（Ⅱ）确定试验全部结果构成的区域面积、直线y=a﹣b在函数y=sinx图象上方构成的区域面积，即可求出直线y=a﹣b在函数y=sinx图象上方的概率．
【解答】解：（Ⅰ）基本事件共36个：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）． …（3分）
其中括号内第1个数表示a的取值，第2个数表示b的取值．
记“直线y=a﹣b与函数y=sinx图象所有交点中相邻两个交点的距离都相等”为事件A，则A={（a，b）|a﹣b=1或a﹣b=0或a﹣b=﹣1，1≤a≤6，1≤b≤6，a，b∈N}
∴事件A包含16个基本事件：
（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）． …（5分）
∴所求事件的概率为． …（6分）
（Ⅱ）记“直线y=a﹣b在函数y=sinx图象上方”为事件B，试验全部结果构成的区域为Ω={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤6}…（7分）
事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤6，a﹣b＞1}，如图阴影部分所示：…（10分）
∴所求事件的概率为．…（12分）
【点评】本题考查的知识点是古典概型、几何概型的概率的计算公式，其中熟练掌握利用古典概型、几何概型的概率的计算求概率的步骤，是解答的关键．
20．将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移后得到g（x）图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且S△MBC=．
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（Ⅰ）求函数g（x）的解析式，并判断（﹣，0）是否是g（x）的一个对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，g（A）=1，且a=，求S△ABC的最大值．
【考点】余弦定理的应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】综合题；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）利用S△MBC=，确定周期，可得ω，利用g（0）=2sin（φ﹣）=1，可求φ的值，尽快求函数g（x）的解析式，代入（﹣，0），即可判断（﹣，0）是否是g（x）的一个对称中心；
（Ⅱ）先求出A，再由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc，即可求S△ABC的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移后得到g（x）图象，
∴g（x）=2sin[（ω（x﹣）+φ]，
∵S△MBC=，∴|BC|==，
∴T=π，即ω=2，
∵g（0）=2sin（φ﹣）=1，且﹣＜φ﹣＜，
∴φ﹣=，
∴φ=，
∴g（x）=2sin[（2（x﹣）+]=2sin（2x+），
∵g（﹣）=2sin[2•（﹣）+]=﹣2≠0，
∴（﹣，0）不是g（x）的一个对称中心；
（Ⅱ）∵g（A）=2sin（2A+）=1，2A+∈（，），
∴2A+=，
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∴A=，
由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc，
∴S△ABC=bcsinA≤，
∴S△ABC的最大值为．
【点评】本题考查函数解析式的确定，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，确定函数的解析式，正确运用基本不等式是关键．
21．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A为上顶点，AF1交椭圆E于另一点B，且△ABF2的周长为8，点F2到直线AB的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点，并求出定点的坐标．
【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（I）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8⇒a=2，再由点F2到直线AB的距离，可以求出椭圆E的标准方程：．
（II）由题设条件可知，由此可推导出直线MN过定点
【解答】解：（I）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8，∴a=2
设，因为A（0，b），
∴直线AB的方程为，
∴点F2到直线AB的距离，，
∴椭圆E的标准方程：．
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（II）设以M为中点的弦与椭圆交于（x1，y1），（x2，y2），则
∴，同理，
∴，，
整理得，
∴直线MN过定点．
当直线P1Q1的斜率不存在或为零时，P1Q1、P2Q2的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，
也过此定点，
∴直线MN过定点．
【点评】本题主要考查直线、椭圆的基础知识，考查函数与方程思想、分别事整合思想及化归与转化思想．
22．已知函数f（x）=在点（1，f（1））的切线方程为x﹣y﹣1=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求证：＞．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）通过解方程组求出a，b；从而函数解析式得解；
（Ⅱ）将问题中的g（x）≥f（x）变形为：h（x）=g（x）﹣f（x）≥0，再去研究h（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）由0＜a＜b得＞1，代入（Ⅱ）化简整理即可．
【解答】解：（Ⅰ）将x=1代入切线方程得y=0
∴，化简得a﹣b=0①，
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由题意，切线的斜率为1，即②，
由①②解得：b=2，a=2．
∴．
（Ⅱ）由已知得：lnx≥在[，+∞）恒成立，
整理得：（（x2+1）lnx≥2x﹣2，
即：x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）恒成立；
设h（x）=x2lnx+lnx﹣2x+2，
∴h′（x）=2xlnx+x+﹣2；
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x≥2，即h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
h（x）≥h（1）=0，
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．
（Ⅲ）∵0＜a＜b，∴＞1，由（Ⅱ）知有ln＞，
整理得：，
∴当0＜a＜b时，．
【点评】本题是一道关于导数的综合应用题，求函数解析式是常见题型，（Ⅱ）中将问题转化为求函数的最值问题；不管问题怎样变化，基本知识牢固掌握是基础是前提．
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