2015-2016学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（12月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数的实部和虚部相等，则实数a等于（ ）
A． B．﹣2 C． D．3
2．设全集U=R，集合A={y|y=x2+2x}，则∁UA=（ ）
A．[﹣1，+∞﹚ B．（﹣1，+∞﹚ C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）
3．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
6．已知，下列所给出的不能表示此点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
20
7．设O为坐标原点，M（1，2），若N（x，y）满足，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3
9．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．（，1） B．∪（1，+∞） C．（） D．（﹣∞，，+∞）
10．甲罐中5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．P（B）=
B．事件B与事件A1相互独立
C．P（B|A1）=
D．P（B）的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关
11．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
12．已知函数f（x）=lg（ax﹣bx）+x中，常数a、b满足a＞1＞b＞0，且a=b+1，那么f（x）＞1的解集为（ ）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，10） D．（10，+∞）
20
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.
13．已知是平面内的单位向量，若向量满足•（﹣）=0，则||的取值范围是 ．
14．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填写答案）
15．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 ．
16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2015•新课标II）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
18．（12分）（2013•屯溪区校级模拟）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c．若向量=，，向量=（1，，且=﹣1．
（1）求A的值；
（2）若，三角形面积，求b+c的值．
19．（12分）（2015•新课标II）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
20．（12分）（2012秋•黄冈期中）已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．
21．（12分）（2007•北京）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
20
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
22．（12分）（2013•屯溪区校级模拟）已知函数，b∈N*），满足f（2）=2，f（3）＞2．
（1）求k，b的值；
（2）若各项为正的数列{an}的前n项和为Sn，且有，设，求数列{n•bn}的前n项和Tn；
（3）在（2）的条件下，证明：ln（1+bn）＜bn．
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2015-2016学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数的实部和虚部相等，则实数a等于（ ）
A． B．﹣2 C． D．3
【考点】复数相等的充要条件．
【专题】计算题．
【分析】把给出的复数利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后让实部等于虚部求解．
【解答】解： ==．
因为复数的实部和虚部相等，所以，即2+a=1﹣2a，所以，a=﹣．
故选C．
【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数相等的充要条件，一个复数为0，当且仅当实部和虚部都等于0，是基础题．
2．设全集U=R，集合A={y|y=x2+2x}，则∁UA=（ ）
A．[﹣1，+∞﹚ B．（﹣1，+∞﹚ C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）
【考点】补集及其运算．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求出集合A中函数y=x2+2x的值域，然后求出集合A在R上的补集即可．
【解答】解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1≥﹣1，
∴集合A={y|y=x2+2x}={x|x≥﹣1}，
∴∁UA={x|x＜﹣1}．
故选D．
【点评】本题考查学生理解补集的定义，会进行补集的运算，是一道基础题．
3．根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
20
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；
B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．
【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．
故选：D
【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．
4．=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．
【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；
故选：C
【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．
5．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
20
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题．
【分析】利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos（A+B）＞0进而判断出cosC＜O，进而断定C为钝角．
【解答】解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）＞0，﹣cosC＞O，cosC＜O，
∴C为钝角
故选C
【点评】本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值．在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．
6．已知，下列所给出的不能表示此点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】极坐标系．
【专题】计算题．
【分析】先求出点M的直角坐标为（﹣，﹣ ），检验其它的点的直角坐标是否为（﹣，﹣ ），从而得出结论．
【解答】解：由点的极坐标可得ρ=﹣5，θ=，故点M的直角坐标为（﹣，﹣ ）．
而点的直角坐标为（，﹣），故不满足条件．
经检验，、、的直角坐标都为（﹣，﹣），满足条件，
故选A．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．
7．设O为坐标原点，M（1，2），若N（x，y）满足，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】简单线性规划的应用．
20
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】根据向量数量积的坐标运算公式，得=x+2y．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z=x+2y达到最大值，即取得最大值．
【解答】解：∵M（1，2），N（x，y），∴目标函数z==x+2y
作出不等式组表示的平面区域，
得到直线2x+y﹣4=0下方，且在直线x﹣y+2=0下方的平面区域
即如图的阴影部分，其中A（，）为两条直线的交点
设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（，）=6
故选：B
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、向量数量积的坐标运算公式和简单的线性规划等知识，属于基础题．
8．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3
【考点】命题的真假判断与应用；二元一次不等式的几何意义．
【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
20
【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；
综上所述，p1、p2正确；
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．
9．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．（，1） B．∪（1，+∞） C．（） D．（﹣∞，，+∞）
【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．
【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，
且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣导数为f′（x）=+＞0，
即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
平方得3x2﹣4x+1＜0，
20
解得＜x＜1，
所求x的取值范围是（，1）．
故选A．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．
10．甲罐中5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．P（B）=
B．事件B与事件A1相互独立
C．P（B|A1）=
D．P（B）的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关
【考点】随机事件．
【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A1），P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．
【解答】解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P（A1）==，P（A2）==，P（A3）=；
P（B|A1）==，由此知，C正确；
P（B|A2）=，P（B|A3）=；
而P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=×+×++=．由此知A不正确；
A1，A2，A3是两两互斥的事件，由此知D正确；
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点．
11．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）
20
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．
【解答】解：由tanα=，得：
，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）=cosα=sin（），
∵α∈（0，），β∈（0，），
∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．
12．已知函数f（x）=lg（ax﹣bx）+x中，常数a、b满足a＞1＞b＞0，且a=b+1，那么f（x）＞1的解集为（ ）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，10） D．（10，+∞）
【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．
【专题】综合题；压轴题；函数的性质及应用．
【分析】先根据复合函数的单调性判断f（x）的单调性，然后计算得f（1）=1，再由单调性即可求得不等式的解集．
【解答】解：由ax﹣bx＞0即＞1解得x＞0，所以函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为a＞1＞b＞0，所以ax递增，﹣bx递增，所以t=ax﹣bx递增，
又y=lgt递增，所以f（x）=lg（ax﹣bx）+x为增函数，
而f（1）=lg（a﹣b）+1=lg1+1=1，所以x＞1时f（x）＞1，
故f（x）＞1的解集为（1，+∞）．
故选B．
【点评】本题考查函数单调性的判断及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上.
13．已知是平面内的单位向量，若向量满足•（﹣）=0，则||的取值范围是 [0，1] ．
【考点】平面向量数量积的运算．
20
【专题】压轴题．
【分析】本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，由向量满足•（﹣）=0，变化式子为模和夹角的形式，整理出||的表达式，根据夹角的范围得到结果．
【解答】解：∵，
即，
∴且θ∈[0，π]，
∵为单位向量，
∴，
∴，
∴．
故答案为：[0，1]
【点评】本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算，本题是把向量的数量积同三角函数问题结合在一起．
14．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ﹣20 ．（用数字填写答案）
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；二项式定理．
【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．
【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．
含x2y6的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．
故答案为：﹣20
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
15．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 5 ．
【考点】基本不等式．
【专题】计算题．
【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0
∴
20
∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5
当且仅当即x=2y=1时取等号
故答案为：5
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑
16．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= 8 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】开放型；导数的综合应用．
【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．
【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，
曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．
由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，
故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，
得ax2+ax+2=0，
又a≠0，两线相切有一切点，
所以有△=a2﹣8a=0，
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2015•新课标II）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；
（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，
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（+）2=c+d+2，
由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则＞，
即有（+）2＞（+）2，
则+＞+；
（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，
即为a+b+2＞c+d+2，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
则有（+）2＞（+）2．
综上可得， +＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．
18．（12分）（2013•屯溪区校级模拟）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c．若向量=，，向量=（1，，且=﹣1．
（1）求A的值；
（2）若，三角形面积，求b+c的值．
【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）由2 =﹣1求得得，又A∈（0，π），从而求得A的值．
（2）由三角形面积，求得bc=4，再根据余弦定理求得b+c的值．
【解答】解：（1）∵向量，向量，且 2 =﹣1．
∴，…（3分）
20
求得，又A∈（0，π），所以，．…（5分）
（2），∴bc=4．…（7分）
又由余弦定理得：．…（9分）
∴16=（b+c）2，所以b+c=4．…（12分）
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，余弦定理的应用，属于中档题．
19．（12分）（2015•新课标II）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．
（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∴x2+y2=2y．
同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，
联立，
解得，，
∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．
20
（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∴A（2sinα，α），B．
∴|AB|==4，
当时，|AB|取得最大值4．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2012秋•黄冈期中）已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题．
【分析】依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，，所以=．由直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，知ax2+（b+1）x﹣4=0中△=（b+1）2+16a=0，由此能求出S达到最大值的a，b值及S的最大值．
【解答】解：依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，，
所以=（）
=+
=（1）…（4分）
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，
即它们有唯一的公共点
由方程组，
得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式△必须为0，
即△=（b+1）2+16a=0，
于是，…（8分）
20
代入（1）式得：，
．
令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3；
当0＜b＜3时，S′（b）＞0；
当b＞3时，S′（b）＜0．
故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，
即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．…（12分）
【点评】本题考查抛物线和直线的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意定积分的合理运用．
21．（12分）（2007•北京）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题．
【分析】（1）由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40，根据平均数的求法，计算可得答案．
（2）欲求他们参加活动次数恰好相等的概率，频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，利用公式P0=即可；
（3）ξ可能取值是：0，1，2．分别计算出取这此值时的概率即得分布列，再根据数学期望即可计算出结果．
【解答】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．
（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为
==2.3．
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（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
P0==．
（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知
P（ξ=1）=P（A）+P（B）=+=；
P（ξ=2）=P（C）==；
ξ的分布列：
ξ的数学期望：Eξ=0×+1×+2×=．
【点评】考点：①求概率②求随机变量的分布列和期望，本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（12分）（2013•屯溪区校级模拟）已知函数，b∈N*），满足f（2）=2，f（3）＞2．
（1）求k，b的值；
（2）若各项为正的数列{an}的前n项和为Sn，且有，设，求数列{n•bn}的前n项和Tn；
（3）在（2）的条件下，证明：ln（1+bn）＜bn．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；数列的函数特性；数列的求和；数列递推式．
【专题】压轴题；导数的综合应用；等差数列与等比数列．
【分析】（1）由f（2）=2，f（3）＞2消掉b得k的不等式，再由k∈N*即可求得k值，从而求得b值；
（2）由可得．n≥2时，．③﹣④整理可判断{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此可求得an，进而得bn，再用错位相减法即可求得Tn；
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（3）即证ln（1+2n）＜2n，构造函数f（x）=ln（1+2x）﹣2x（x≥1且x∈R），转化为f（x）max＜0，利用导数即可求得最大值．
【解答】解：（1）由，
由①代入②可得，且k∈N*．
当k=2时，b=2（成立），当k=1时，b=0（舍去）．
所以k=2，b=2．
（2），即．
n≥2时，．
所以，当n≥2时，由③﹣④可得，
整理得，（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0．
又∵an＞0得an﹣an﹣1=1，且a1=1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n，
．∴．
，
，
由上两式相减得 =．
∴．
（3）由（2）知，只需证ln（1+2n）＜2n．
设f（x）=ln（1+2x）﹣2x（x≥1且x∈R）．
则，
可知f（x）在[1，+∞）上递减，∴f（x）max=f（1）=ln3﹣2＜0．
由x∈N*，则f（n）≤f（1）＜0，
故ln（1+bn）＜bn．
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【点评】本题考查数列求和、利用导数求函数的最值及数列的函数特性，考查学生分析问题解决问题的能力，考查数列求和的基本方法．
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