许昌市四校联考高二下学期第一次考试
理科数学试卷
考试时间：120分钟，分值：150分
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．命题“”的否定（ ）
A． B．
C．
11
11
D．
2．设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则
△ABC的形状为 （ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
3．数列、满足，则“数列是等差数列”是“数列是等比数列”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也必要条件
4．如图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别
为，其大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知中心在原点的椭圆的右焦点，离心率为，则椭圆的方程是（ ）
A. B. C. D.
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯
角分别为，，此时气球的高是，则河流的
宽度BC等于（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
11
8．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，
A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )．
A. B. C. D.
9．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，
点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该
双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10.设实数x，y满足，则xy的最大值为（ ）
A. B. C. 12 D. 14
11.下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①命题“，使得”的否定是“，都有”．
②双曲线中，F为右焦点，为左顶点，点且
，则此双曲线的离心率为．
③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c ，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则
a、c、b成等比数列．
④已知是夹角为的单位向量，则向量与垂直的充要条件是
．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12.设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做
的上确界．若，且，则的上确界为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 ．
11
14.已知，，，若向量共面，则 ．
15.等差数列的前项和分别为，若=，则=_________
16.已知，且，则的最小值是_______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”
（1）若“且”是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围。
19.(本小题满分12分)
如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点 作直线交抛物线于两点，若直线分别与直线交于两点，求的取值范围．
11
21．（本小题满分12分）
设是数列的前项和，．
（1）求的通项；
（2）设，求数列的前项和．
22．（本小题满分12分）
如图，已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为．
(1)求k的取值范围，并求的最小值；
(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗？证明你的结论．
11
高二理科数学参考答案
1．C：根据存在性命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定为命题“”，故选C．
2．B因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，所以△ABC是直角三角形.此类问题关键在于掌握正弦定理和三角恒等变换，准确运算是关键.
3．C：当数列是公差为的等差数列时，，所以数列是等比数列；当数列是公比为的等比数列时，，所以数列是等差数列；因此“数列是等差数列”是“数列是等比数列”的充要条件．
4．A：根据椭圆越扁离心率越大可得到
根据双曲线开口越大离心率越大得到∴可得到
5．D：由题意可知，所以方程为
6． C.：，，，所以
.选C
7．B：由可得即，又由余弦定理可得，所以即，因为，所以，选B．
8．A如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系E－xyz.
则E(0,0,0)，F(－1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(－1,0,2)，C1(0，，2)，G.
∴＝(－2,0，－1)，＝(－1,0,1)，＝，
11
设平面GEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得
令x＝1，则n＝(1，－，1)，设B1F与平面GEF所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝
9．B：在中，，，
，，
，
，故选B．
10．A画出可行域如图
在△ABC区域中结合图象可知当动点在线段AC上时xy取得最大
此时2x＋y＝10
xy＝（2x·y）≤
11
当且仅当x＝，y＝5时取等号，对应点（，5）落在线段AC上，
故最大值为
11．B：①不正确，该命题的否定应是“，都有”；
②正确, ,,,即,,即,解得（舍负）；
③不正确, , ,由正弦定理可得,则三边长成等比数列；
④正确, 向量与垂直则．
综上可得正确命题的个数是3个,故C正确．
12．D：，由基本不等式得
，故答案为D．
13．：命题“”的否定是“”为真命题，即，解得．
考点：命题的真假判定；一元二次不等式的应用．
14．3：由题意可设：，则
考点：向量共线
15．：等差数列的性质．∵在等差数列中，∴，∴，∴．又∵，∴＝．
11
16．：因为，所以，又，则
，当且仅当时等号成立，故所求最小值为．
17．【解析】（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，-------3分
又A为锐角，
则A=；--------5分
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，--------8分
则S△ABC=bcsinA=．--------10分
18．：解：（1）若为真： 1分
解得或 2分
若为真：则 3分
解得或 4分
若“且”是真命题，则 6分
解得或 7分
（2）若为真，则，即 8分
由是的必要不充分条件，
则可得或 9分
即或 11分
解得或 12分
19．：（I）连接，交于，连接．因为侧面为菱形，所以，且为与的中点．又，所以平面，故．又,故．------4分
（II）因为，且为的中点，所以，又因为，．故，从而两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
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因为，所以为等边三角形．又,则，，，．
,,．
设是平面的法向量，则即所以可取．
设是平面的法向量，则同理可取．则．
所以二面角的余弦值为-------------------------12分
20：（1）设抛物线的方程为，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）设A，B，直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围
试题解析：(1) 焦点为 ，，所以---4分
(2)设，直线AB的方程为代入得，，---------6分
由得，同理，所以＝，令，则，-----------8分
则，范围为------12分
11
21.：（1）时，，
整理得，，∴数列是以2为公差的等差数列，其首项为．----------4分
----------6分
（2）由（1）知，
．--------------12分
22 (1)∵l与圆相切，∴1＝∴m2＝1＋k2，①---2分
由得，
∴
∴，∴，故k的取值范围为(－1，1)．----4分
由于，
∴，
∵∴当时，取最小值为2．----6分
(2)由已知可得，的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
∴，，-------8分
11
∴＝=
＝＝
＝＝，
由①，得，--------10分
∴＝＝－(3＋2)为定值．-----12分
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