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中原名校2015-2016学年下期高三第一联考
数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3、已知为纯虚数，且为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C． D．
4、“”是“点到直线的距离为3”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5、某程序框图如右图所示，若输入，则输出的结果是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6、某几何体的三视图，如图所示，其中俯视图下半部分是半径
为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
7、如图，在直角梯形中，为BC边
上一点，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8、函数的图象如图所示，
若，则函数饿解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9、已知函数，若函数在R上有三个不同零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11、已知F是双曲线的左焦点定点，
若双曲线上存在一点P满足，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、设A、B是函数的定义域集合的两个自己，如果对任意，都存在，使得，则称函数为定义在集合A、B上的“倒函数”，若函数，为定义在两个集合上的“倒函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、若函数为奇函数，则
14、设满足约束条件，则目标函数的最小值是
15、已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是
16、如图，在中，分别是上一点，
满足，若，
则的面积为
三、解答题：（第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24为选做题，考生根据要求作答，）本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知数列是首项为，公差的等差数列，且。
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，求数列的前n项和。
18、（本小题满分12分）
随着旅游观念的转变和旅游业的发展，国民在旅游休闲方面的投入不断增多，民众对旅游的需求也不断提高，某村村委会统计了2011年到2015年五年间每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：
（1）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数只好有1年多余20个的概率；
（2）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，并判断它们之间是正相关还是负相关；
（3）利用（2）中所求的直线方程估计该村2018年在春节期间外出旅游的家庭数。
参考：用最小二乘法求线性回归方程系数的公式：
19、（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面，其垂足F落在直线上。
（1）求证：；
（2）若，为的中点，求三棱锥的体积。
20、（本小题满分12分）
已知椭圆的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点通过抛物线与的交点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆相较于两点，若且，求面积的最大值。
21、（本小题满分12分）
已知函数
（1）若，且，试讨论函数的单调性；
（2）已知，若不等式对一切恒成立，
求实数的取值范围。
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲
如图，已知D为以AB为斜边的的外接圆上一点，交，的交点分别为，且为中点。
（1）求证：；
（2）过点C作圆的切线交延长线于点H，
若，求的长。
23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，
已知直线，曲线为参数）
（1）将直线化为直角方程，将曲线C化为极坐标方程；
（2）若将直线向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值。
24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
已知函数，若关于的不等式的整数接有且仅有一个值为。
（1）求整数m的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数a的取值范围。
中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考
文科数学答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【答案】D
【解析】因为，所以，故选D．
2．【答案】B
【解析】因为，所以最小正周期，故选B．
3．【答案】D
【解析】设，则，即，所以，则，故选D．
4．【答案】B
【解析】由点到直线的距离为3等价于，解得或，所以“”是“点到直线的距离为3”的充分不必要条件，故选B．
5．【答案】B
【解析】当时，，；当时，；当时，，当时，，满足条件，所以输出的结果为3，故选B．
6．【答案】B
【解析】根据几何体三视图可知该几何题是一个正方体截去了半圆柱所得组合体，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，则几何体的表面积为，故选B．
7．【答案】C
【解析】由为中点，得＝＋＝＋＝
，故选C．
8．【答案】C
【解析】由图象知，，根据图象设，则根据三角函数的图象对称性知，则，所以，，于是由，得，解得（舍去）或，即，所以，，于是由，，故函数的解析式为，故选C．
9．【答案】D
【解析】当时，令，求得或，即在上有两个不同的零点，则由题意知在有且仅有一个零点，则由，得，故选D．
10．【答案】D
【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选D．
11．【答案】A
【解析】因为，，则由，知点在线段的垂直平分线上，即点在上，则直线与双曲线有公共点，所以将代入双曲线方程得，则必有，所以，所以
，故选A．
12．【答案】D
【解析】，则由，得函数增区间为，减区间为、，则，，由此可知的图象，如图所示．设集合，，则对任意，都存在，使得等价于，显然．当，即时，，不满足；当，即，即时，，．由于，有在上的取值范围包含在内，满足；当，即时，有，在上递减，所以，，不满足．综上可知选D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．【答案】
【解析】因为，所以由，得，即．
14．【答案】8
【解析】画出满足约束条件的平面区域，如图所示，当平移直线经过直线与直线的交点时，目标函数取得最小值，且最小值为．
15．
【答案】
【解析】因为直线与圆相切，所以 ．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得 或．
16．
【答案】
【解析】过点作于，如图所示．由，知，再由，得．设，则．又，得，，．于是勾股定理，得．又由余弦定理，得．又，所以，所以，解得或（舍去），所以＝．
三、解答题 （第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由题意，……………2分
则由，得，则，
所以，……………4分
故数列是首项为，公比为的等比数列．……………5分
（2）由（1）知， ，……………6分
∴，
∴，……………8分
两式相减得 ，
化简，得，……………11分
所以．……………12分
18．
【答案】（1）；（2）42．
【解析】（1）从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:（2011，2012），（2011，2013），（2011，2014），（2011，2015），（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共10种，至少有1年多于20人的事件有:（2011，2014）,（2011，2015）,（2012，2014），（2012，2015），,（2013，2014），（2013，2015），（2014，2015）共7种,则至少有1年多于10人的概率为. ……………5分
（2）由已知数据得，……………7分
，……………8分
，……………9分
所以，，……………10分
所以，回归直线的方程为，……………11分
则第2018年的估计值为．……………12分
19．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵在直三棱柱中，平面，
又∵平面，∴．……………………1分
又∵平面，平面，∴．……………………3分
又∵分别为和的中点，∴，∴．……………………4分
而平面，平面，且，
∴平面．
又∵平面，∴． ……………………6分
（2）∵，∴，则由，知，
∴，则．……………………8分
由（1）知平面，则由为的中点，知到平面的距离为到平面的距离的，即为，……………………10分
∴．……………………12分
20．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，令，得，则，所以 ①．
又由题意，得，即 ②．
由①②解得，故椭圆的方程为．……………4分
（2）不妨设直线的方程，设，．
由，消去得，则
，．……………6分
因为以，所以 ．
由 ，得 ．
……………7分
将代入上式，得 .
将 ① 代入上式，解得或（舍）．
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），……………9分
所以．……………10分
设，则，
所以当时，取得最大值．……………12分
21．
【答案】（1）当时，递增区间为、，递减区间为；时，递增区间为；当时，递增区间为、，递减区间为；（2）．
【解析】
试题分析：（1），且，
＝．
令，得或，且……………1分
①当时，若或，则；若，则；所以的递增区间为、，递减区间为．……………2分
②当时，，所以的递增区间为．………4分
③当时，若或，则；若，则；所以的递增区间为、，递减区间为．……………6分
（2）由函数解析式知函数定义域为，且，
所以，则
不等式等价于，
即．
由题意，知不等式对一切恒成立．……………8分
令，则．
因为，则当时，；当时，，
所以当时，取得最小值，……………11分
所以，解得，
故实数的取值范围．……………12分
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】（1）由题意知为圆的直径，则．
又∵为中点，∴，．…………2分
由，知，，
∴，则，
∴，∴，即．……………………4分
（2）∵四点共圆，所以，
又∵为的切线，∴，…………6分
∴，∴，且．…………7分
由（1）知，且，，
∴，．…………8分
由切割线定理，得，
，解得．……………………10分
23．
【答案】（1）；（2）或15．
【解析】（1）直线的参数方程化为，则
由，，得直线的直角坐标方程为．…………………………2分
由，消去参数，得，即（*），
由，，，
代入（*）可得曲线的极坐标方程为．…………………………5分
（2）设直线：与曲线相切．
由（1）知曲线的圆心为，半径为5，则，
解得或，…………………………7分
所以的方程为或，即或．
又将直线的方程化为，
所以或．…………………………10分
24．
【答案】（1）6；（2）．
【解析】（1）由，即，，所以．……2分
不等式的整数解为－3，则，解得．
又不等式仅有一个整数解－3，∴．……………………4分
（2）因为的图象恒在函数的上方，故，
所以对任意恒成立．……………………5分
设，则 ……………7分
作出图象得出当时，取得最小值4，
故时，函数的图象恒在函数的上方，
即实数的取值范围是．……………………10分
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