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准考证号 姓名
（在此试卷上答题无效）
保密★启用前
泉州市2016届普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
注意事项：
1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4. 考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1） 已知复数满足为z的共轭复数，则等于
A. B. C. D.
（2） 已知全集为R，集合则
A. B. C.或 D..或
（3） 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布
A.30尺 B.90尺 C.150尺 D.180尺
（4） 已知抛物线的焦点为F,P为C上一点，若点P到y轴的距离等于等于3，则点F的坐标为
A. (-1，0) B.(1，0) C.(2，0) D.(-2，0)
（5） 执行如图所示的程序框图，则输出的k值为
A. 7 B.9 C.11 D.13
（6） 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为
A. B. C. D.
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是
A. B. C. D.
（8） 的展开式中的系数等于
A.-48 B.48 C.234 D.432
（9） 设x，y满足若的最小值为-12，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
（10） 已知A,B,C在球的球面上，AB=1,BC=2，，直线OA与截面ABC所成的角为，则球的表面积为
A. B. C. D.
（11）已知函数，当时，，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
（12）已知数列的前n项和为且成等比数列，成等差数列，则等于
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题--第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题--第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）已知为第四象限角，则 .
（14）对于同一平面的单位向量若与的夹角为则的最大值是 .
（15）已知A，B为双曲线右支上两点，O为坐标原点，若是边长为c的等边三角形，且，则双曲线C的渐近线方程为 .
（16） 已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是 .
三、 解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17） （本小题满分12分）
如图，梯形ABCD中，.
(Ⅰ)若求AC的长；
(Ⅱ)若，求的面积.
（18） （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，ABCD是边长为2的菱形，
且是PA的中点，
平面PAC平面ABCD.
(Ⅰ)求证：平面BDE；
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
（19） （本小题满分12分）
某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生，调查对选做题倾向得下表：
(Ⅰ)从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.（只需要做出其中的一种情况）
(Ⅱ)按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.
(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；
(ⅱ)若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为，求的分布列及数学期望.
（17） （本小题满分12分）
以椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)过原点且斜率不为0的直线与椭圆C交于P,Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP,AQ分别与y轴交于点M,N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由.
（18） （本小题满分12分）
已知函数常数且.
(Ⅰ)证明：当时，函数有且只有一个极值点；
(Ⅱ)若函数存在两个极值点证明：且.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
（17） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知是⊙的直径，点是⊙上一点，过点作⊙的切线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点.
(Ⅰ)求证：为等腰三角形；
(Ⅱ)若，求⊙的面积.
（18） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)若为曲线，的公共点，求直线的斜率；
(Ⅱ)若分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求的面积.
（19） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时，解不等式；
(Ⅱ)若存在满足，求的取值范围.
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理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C
7．D 8．B 9．A 10．Ｄ 11．Ｄ 12．B
解析：
第1题 ，，则,选A.
第2题 ，，则或,选C.
第3题 问题模型为一等差数列，首项5，末项1，项数30，其和为，选B.
第4题 由，点到轴的距离等于3 ，根据定义得，，则点的坐标为.选B.
第5题 循环1，；循环2，；循环3，；循环4，
；循环5，. 选C.
第6题 依题意，第4人抽到的是最后一张中奖票，，选C.
第7题
受三视图的启发，据三视图，想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为：在一个水平横躺的底面半径为2，高为4的圆柱中，在其前方、上侧的左侧挖去部分，余下的部分. 所以该几何体的体积为.选Ｄ.
第8题
所以展开式中的系数为.选B.
第9题 在分析可行域时，注意到是斜率为，过定点的直线；的最小值为，即，所以可行域的动点到定点的距离最小值为；因为点到直线的距离恰为，所以在直线上的投影必在可行域内，再考虑到可行域含边界的特征，故直线的斜率必大于或等于某个正数，结合选择项可判断应选A.
第10题 中用余弦定理求得，据勾股定理得为直角，故中点即所在小圆的圆心；面，直线与截面所成的角为，故可在直角三角形中求得球的半径为；计算球的表面积为.选D.
第11题 当时，，；当时，，；当时，，不论取何值都有成立.考察二次函数，可得所以.选D.
第12题 依题意，得因为，所以，即，故
数列等差数列；又由，，可得.所以数列等差数列是首项为2，公差为1的等差数列.所以即，故，故，，故，答案为B.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）．； （14）．； （15）．； （16）. .
解析：
第13题 ，，因为为第四象限角，，所以．
第14题 方法一：在半径为的圆中，以圆心为起点构造单位向量，并满足，分别考察向量，和的几何意义，利用平几知识可得最大值为.
方法二：，注意到，都是相互独立的单位向量，所以的最小值为，所以最大值为.
方法三：，仿方法一可得的最小值为.
第15题 分析几何图形可得点坐标为，代入双曲线得，又由 得
，，，所以的渐近线方程为．
第16题 令，则由，可得，故为偶函数，又当时，即，所以在上为增函数.不等式可化为，所以有，解得.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17） （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为，
所以为钝角，且，，2分
因为，所以.
在中，由，解得. …5分
（Ⅱ）因为，所以，
故，. …………7分
在中，，
整理得，解得， …………11分
所以. …………12分
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设，连接，
∵分别为的中点，∴， …………1分
∵平面，平面， …………3分
∴平面. …………3分
（Ⅱ）中，，，
由余弦定理（或平几知识）可求得.
在中，∵ 满足，
∴所以, …………4分
又∵平面平面且平面平面， …………5分
∴平面. …………5分
方法一：
如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， …………6分
则,
.………7分
设平面的一个法向量为，
则，整理，得，
令，得. …………9分
设平面的一个法向量为，
则整理，得，
令，得， …………10分
则，
所以二面角大小的余弦值为. …………12分
方法二：前同解法1. …………5分
故， …………6分
又∵，
∴所以，故,
∴所以. …………7分
同理可证， …………8分
∴是二面角的平面角. …………9分
又∵，
∴， …………11分
所以，即二面角的余弦值为. …………12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）可直观判断：倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”
，与性别无关；倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”，与性别有关；倾向“平面几何选讲”或倾向“不等式选讲”，与性别有关. （正确选择一组变量并指出与性别有关即给1分） …………1分
选择一：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量的值.作出如下2×2列联表：
平面几何选讲
坐标系与参数方程
合计
男生
16
4
20
女生
4
8
12
合计
20
12
32
…………2分
由上表，可直观判断：
因为 ， …………4分
所以可以有99%以上的把握，认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”. …………6分
选择二：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量的值.作出如下2×2列联表：
平面几何选讲
不等式选讲
合计
男生
16
6
22
女生
4
12
16
合计
20
18
38
…………2分
因为， …………4分
所以可以有99.9%以上的把握，认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有
关”. ………6分
（Ⅱ）（ⅰ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20：12＝5：3，
所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3. …………7分
（ⅱ）依题意，得， …………8分
， ，
， . …………10分
故的分布列如下:
－3
－1
1
3
所以. …………12分
（20）（本小题满分12分）
方法一：
解：（Ⅰ）依题意，得 …………3分
解得故椭圆的标准方程为. …………5分
（Ⅱ），设，，，
则由题意，可得， ……（*）且，
，. …………6分
因为三点共线，所以，
故有，解得. …………7分
同理，可得. …………8分
假设存在满足题意的轴上的定点，则有，即.……9分
因为，，
所以，即，整理，得，……10分
又由（*），得，所以，解得或.
故以为直径的圆恒过轴上的定点，. …………12分
方法二：
解：（Ⅰ）同方法一；
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，有，，，，此时以为直径的圆经过轴上的点和； …………6分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，解得，
.…7分
设，，
又直线的斜率，直线的斜率，
因为三点共线，所以，解得得， …………8分
同理，可得， …………9分
假设存在满足题意的轴上的定点，则有， …………10分
直线的斜率，直线的斜率，
所以，故有，即，
整理，得，解得或，
综合①②，可知以为直径的圆恒过轴上的定点，. ………12分
（21）（本小题满分12分）
解： 依题意，． ……1分
令，则. ……2分
（Ⅰ）①当时，，，故，
所以在不存在零点，则函数在不存在极值点；………3分
②当时，由，故在单调递增.
又，，
所以在有且只有一个零点. ……4分
又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，，
所以函数在有且只有一个极值点. …………5分
综上知，当时，函数在内有且只有一个极值点. …………5分
（Ⅱ）因为函数存在两个极值点，（无妨设），
所以，是的两个零点，且由（Ⅰ）知，必有. ………6分
令得；令得；令得.
所以在在单调递增，在单调递减， …………7分
又因为，
所以必有. …………8分
令，解得，
此时.
因为是的两个零点，
所以，. …………9分
将代数式视为以为自变量的函数，
则. …………10分
当时，因为，所以，
则在单调递增.
因为，所以，
又因为，所以. …………11分
当时，因为，所以，
则在单调递减，
因为，所以. …………12分
综上知，且． …………12分
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号下的方框涂黑。
(22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连接线段， …………1分
因为为⊙的切线，所以，…………3分
又因为为⊙的直径，，
所以, …………4分
所以，
从而为等腰三角形. …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
因为为的切线，
所以, …………7分
所以，即. …………8分
又∽，故. …………9分
因为，所以，，,
所以⊙的面积为. …………10分
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）消去参数得曲线的普通方程. ……（1） ………1分
将曲线化为直角坐标方程得.……（2）……3分
由得，即为直线的方程，故直线的斜率为. ……5分
注：也可先解出…1分，再求的斜率为. …1分
（Ⅱ）由知曲线是以为圆心，半径为1的圆；由知曲线是以为圆心，半径为2的圆. …………6分
因为，
所以当取最大值时，圆心在直线上，
所以直线（即直线）的方程为：. ………7分
因为到直线的距离为， …………8分
又此时， …………9分
所以的面积为.……10分
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当时，.
由得.
当时，不等式等价于，解得，所以； ………1分
当时，不等式等价于，即，所以；………2分
当时，不等式等价于，解得，所以.……3分
所以原不等式的解集为或. …………5分
（Ⅱ）.……7分
因为原命题等价于， …………9分
所以，所以为所求实数的取值范围. ………10
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