遂宁市高中2016届二诊考试
数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，
则
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，若复数满足，则为
A． B． C． D．
3．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“若”的否命题为：“若”；
B．“”是“直线互相垂直”的充要条件
C．命题“，使得”的否定是：“，均有”；
D．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则”的逆命题为真命题.
4．要得到函数的图象，只要将函数的图象
A．向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，
纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的倍，
纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变
D. 向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
5．在区间上随机地抽取一个实数，若满足的概率为
，则实数的值为
A． B． C． D．
6．若在不等式组所表示的平面区域内，
则的最大值为
A．4 B．5 C． D．
7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
则这个几何体的体积是
A．72
B．80
C．120
D．144
8．执行如图所示的程序框图，
则输出的为
A．
B．2
C．
D．
9．过双曲线（，）的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．已知定义域为R的偶函数满足对任意的，
有，且当时，。若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．
11．某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ▲
12．已知函数，则 ▲
13．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”
在A处北偏东的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 ▲ 小时
14．如图，B是AC的中点，，P是矩形内（含边界）的一点，且+。则的最大值为 ▲
15．若点M是以椭圆的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆E于P，Q两点，椭圆E的右焦点为，则△的周长是 ▲
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且。
（1）求角A的大小；
（2）设函数，求函数的最大值
▲
17．（本小题满分12分）
为了解我市高三学生参加体育活动的情况，市直属某校高三学生500人参加“体育基本素质技能”比赛活动，按某项比赛结果所在区间分组：第1组：，第2组：，第3组:，第4组:，第5组:，得到不完整的人数统计表如下：
年龄所在区间
人数
50
50
a
150
b
其频率分布直方图为：
（1）求人数统计表中的和的值；
（2）根据频率分布直方图，估计该项比赛结果的中位数；
（3）用分层抽样的方法从第1，2，3组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加上一级比赛活动，求参加上一级比赛活动中至少有1人的比赛结果在第3组的概率．
▲
18．（本小题满分12分）
在下图所示的几何体中，底面为正方形，⊥平面，，且，为线段的中点．
（1）证明：；
（2）求四棱锥的体积．
▲
19．（本小题满分12分）
已知等比数列、等差数列， 满足
（1）若求数列，的通项公式；
（2）若数列唯一，求数列前项和
▲
20．（本小题满分13分）
已知点F(0,1)为抛物线的焦点。
（1）求抛物线C的方程；
（2）点A、B、C是抛物线上三点且,求面积的最大值
▲
21．(本小题满分14分)
已知函数.（其中为自然对数的底数,）
（1）若曲线过点，,求曲线在点处的切线方程。
（2）若恒成立，求m的范围。
（3）若的两个零点为且,
求的值域
▲
遂宁市高中2016届二诊考试
数学（文科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×10=50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
D
B
C
A
C
B
二、填空题（55=25分）
11．80 12．8 13． 14．－1 15．6
15.根据题意作出图形如图所示，设直线PQ的方程为，由得，有
设，，则，，∴。∵直线与圆相切，∴，即，∴，∵，，∴，同理，∴
因此，△的周长是定值6.
法二：设，，则，，，∴，又M是圆O的切点，连接OP，OM，∴，∴，同理，∴，因此，△的周长是定值6.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．(本小题满分12分)
解：（1）在△ABC中，因为，所以。 ………2分
在△ABC中，因为，由正弦定理可得，
所以，，，故 ………6分
（2）由（1）得
………10分
………12分
17．(本小题满分12分)
解：（1）由题设可知，=0.08×5×500=200，=0.02×5×500=50． ………3分
（2）根据频率分布直方图，估计的中位数为：35+=38.75． ………6分
（3）∵第1，2，3组共有50+50+200=300人，∴利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，第1组抽取的人数为=1，第2组抽取的人数为=1，第3组抽取的人数为． ………8分
记第1组抽取的1位同学为，第2组抽取的1位同学为B，第3组抽取的4位同学为，，，．∴从6位同学中抽两位同学有：，，，，，，，，，，，，，，．共有15种等可能． ………10分
其中2人比赛结果都不在第3组的有：（A，B），共1种可能．∴至少有1人比赛结果在第3组的概率为． ………12分
18．(本小题满分12分)
解：（1）连接AC，BD．令AC交BD于F．连接NF
∵四边形ABCD是正方形，∴F为BD的中点．
∵N为PB的中点．∴且． ………2分
又∵EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC．
∴四边形NFCE为平行四边形． ………3分
∴NE∥FC，即NE∥AC．
又∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC．
∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．
∵，平面，平面， ………5分
∴⊥平面．
∵NE∥AC，∴NE⊥平面．∴NE⊥PD． ………6分
（2）∵PD⊥平面ABCD，平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，且BC平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．∴BC是四棱锥B－PDCE的高． ………9分
∵，四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=2，EC=1．
………10分
∵， ………11分
∴四棱锥B－CEPD的体积．
……12分
19．(本小题满分12分)
解：（1）设的公比为q，则由有
………2分
…6分
（2）由题意知
故关于的方程有两个不同的实根，由唯一可知方程必有一根为0，
代入方程得，从而 ………8分
，
………12分
20．(本小题满分13分)
解：（1）由题意知. ………4分
（2）令，不妨设直线AB与轴交于点
………5分
又因为
从而 ………7分
令
………10分
且当t=0时y
………13分
21．(本小题满分14分)
解：（1）当时，
，，∴所求切线方程，即
………3分
（2）由得，即有
令，则， ………5分
令，
∴在上单调递增，在上单调递减。
∴，∴ ………8分
（3）由题意，，。 ………9分
令
又
∴在上单调递减
∴ ………13分
∴
∴的值域为 ………14分
【注：若有其它解法，请酌情给分】
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