遂宁市高中2016届二诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，
则
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数为
A． B． C． D．
3．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“若”的否命题为：“若”；
B．“”是“直线互相垂直”的充要条件
C．命题“，使得”的否定是：“，均有”；
D．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则”的逆命题为真命题.
4．要得到函数的图象，只要将函数的图象
A．向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，
纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的倍，
纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变
D. 向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
5．一个几何体的三视图如图所示，其中
正视图为矩形，侧视图为等腰直角三
角形，俯视图为直角梯形，则这个几
何体的体积是
A．144 B．120
C．80 D．72
6．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生填报专业志愿的方法有
种。
A．180 B．200
C．204 D．210
7．执行如图所示的程序框图，
则输出的为
A．2 B．
C． D．
8．若在不等式组所表示的平面区域内，
则的最小值为
A． B． C．5 D．4
9．设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,
且，则点的轨迹为
A．圆或椭圆 B．抛物线或双曲线
C．椭圆或双曲线 D．以上均有可能
10．已知定义域为R的偶函数满足对任意的，
有，且当时，。若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．
11．若的二项展开式中所有项的二项式系数和为，则常数项为 ▲ （用数字作答）
12．已知函数，
则 ▲
13．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东
的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 ▲ 小时
14．若点M是以椭圆的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆E于P，Q两点，椭圆E的右焦点为，则△的周长是 ▲
15．如图，B是AC的中点，，P是矩形内（含边界）的一点，且+。有以下结论：①当时，；②当P是线段CE的中点时，；③若为定值，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④的最大值为－1；其中你认为正确的所有结论的序号为 ▲ 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且。
（1）求角A的大小；
（2）设函数，求函数的单调递增区间
▲
17．（本小题满分12分）
经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
罗非鱼的汞含量（ppm）
《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过ppm．
（1）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；
（2）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望．
▲
18．（本小题满分12分）
如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，，，平面ABCD，EC∥PD，
且PD=2EC=2
（1） 若棱AP的中点为H，证明：
HE∥平面ABCD
（2）求二面角的大小
▲
19．（本小题满分12分）
已知等比数列、等差数列，满足
且数列唯一。
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和
▲
20．（本小题满分13分）
已知点F(0,1)为抛物线的焦点。
（1）求抛物线C的方程；
（2）点A、B、C是抛物线上三点且,求面积的最大值
▲
21．(本小题满分14分)
已知函数.（其中为自然对数的底数,）
（1）若曲线过点，,求曲线在点处的切线方程。
（2）若的两个零点为且,
求的值域。
（3）若恒成立，试比较与的大小，并说明理由。
▲
遂宁市高中2016届二诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×10=50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
B
A
D
C
D
B
二、填空题（55=26分）
11．－20 12．8 13． 14．6 15．②③④
14.根据题意作出图形如图所示，设直线PQ的方程为，由得，有
设，，则，，∴。∵直线与圆相切，∴，即，∴，∵，，∴，同理，∴
因此，△的周长是定值6.
法二：设，，则，
，，∴，又M是圆O的切点，连接OP，OM，∴，∴，同理，∴，因此，△的周长是定值6.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．（本小题满分12分）
解：（1）在△ABC中，因为，所以。…………2分
在△ABC中，因为，由正弦定理可得，
所以，，，故…………6分
（2）由（1）得
……………9分
令，得
即函数的单调递增区间为 ……………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则
，
条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为. ……………4分
（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，………5分
可能取，，，. ……………6分
则 ，，
，．……………10分
其分布列如下：
0
1
2
3
所以. ……………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）∵底面ABCD是平行四边形，，，∴底面ABCD是边长为2的正方形，取AD的中点G，连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，则四边形EHGC是平行四边形 ……………3分
所以HE∥GC，HE平面ABCD，GC平面ABCD，故HE∥平面ABCD
……………5分
（2）法一：如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点K，容易得到∠AKF是二面角A-PB-D的平面角 ……………7分
，～，易得，
从而，所以 ……………8分
由于点M是PB的中点，所以MF是△PDB的中位线，MF∥PD，且，，且MF∥EC，故四边形MFCE是平行四边形，则ME∥AC，又AC
⊥平面PDB，则ME⊥平面PDB，ME平面PBE，所以平面PBE⊥平面PDB，所以二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小与直二面角D-PB-E的大小之和
……………11分
故二面角的大小为 ……………12分
法二：由（1）知，DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，设PA的中点为N，连接DN，则D（0,0,0），A(2,0,0)，B（2,2,0），E（0,2,1），P（0,0,2），N（1,0,1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为 ……………7分
设平面PBE的法向量为，因为，，由得，取，则，，所以为平面PBE的一个法向量。 ……………9分
所以
从图形可知，二面角A-PB-E是钝角，所以二面角A-PB-E的大小为……12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）设的公比为q，则由有
故方程有两个不同的实根，由唯一可知方程必有一根为0，代入方程得
…………3分
从而
，………6分
（2）由（1）知则
……………12分
20．（本小题满分13分）
解（1）由题意知 ……………4分
（2）令，不妨设直线AB与轴交于点
又因为
从而
令
………10分
且当t=0时y
…………13分
21．（本小题满分14分）
解：（1）当时，
，，∴所求切线方程，即
…………3分
（2）由题意，，。 …………4分
令
又
∴在上单调递减
∴
∴
∴的值域为 …………8分
（3）由得，即有
令，则，令，
∴在上单调递增，在上单调递减。
∴，∴ …………10分
又令，则。
令，，又
∴在上单调递增，在上单调递减
又，
∴当时，，即
∴
同理，当时，，当时，。
综上，当时，
当时，，
当时，。 …………14分
【注：若有其它解法，请酌情给分】
微信/支付宝扫码支付