福建省四地六校2015--2016学年下学期第一次联考高二理科数学试卷.doc

‎“四地六校”联考 ‎2015-2016学年下学期第一次月考 高二（理科）数学科试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ ‎：：‎ 一、选择题（单选题，每题仅一个答案正确，每题5分，共60分）‎ ‎1．已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为 ( )‎ A . 4 B. C. 6 D. 0‎ ‎3．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数,则 ( )‎ A. B. ‎0 C. D.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎5． (　 )‎ A． 　　　B．　　　　 C．　　　D．　　‎ ‎6．在正方体中，分别为 的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. [来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎7．已知命题,命题 ‎,若命题“” 是真命题,则实数的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8．如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．不存在这样的实数k ‎10. 点是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别为双曲线左右焦点，且，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）（注：为自然对数的底数）‎ A. B． C． D． ‎ ‎12.已知函数对任意的满足（其中 是函数的导函数），则下列不等式成立的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题（每题5分，共20）‎ ‎13.－1）dx= . ‎ ‎14．已知函数在单调递增，则实数的取值范围是_____________.‎ ‎15.若复数，，且为纯虚数，则= .‎ ‎16．已知，若在区间上任取三个数、、,均存在以、、为边长的三角形，则实数的取值范围为 ．‎ ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（本题满分10分）已知函数。‎ ⑴求曲线在点处的切线方程；‎ ⑵求函数的极值。‎ ‎18．（本小题满分12分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（Ⅰ）求证平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值；‎ ‎19. （本小题满分12分）已知抛物线上的一点的横坐标为，焦点为，且.直线与抛物线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P是x轴上一点，且的面积等于9，求点P的坐标.‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，，若为的中点，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的 大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．‎ ‎21. （本小题满分12分） 已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R 令F（x）=f（x）+g（x）．‎ ‎（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；‎ ‎“四地六校”联考 ‎2015-2016学年下学期第一次月考 高二（理科）数学参考答案及评分标准 一、 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B A C C A D B D C A 二、填空题：‎ ‎13. ；14. ； 15. ;16. .‎ 三、解答题 ‎17．解：⑴由题，.....1分 故。又，……3分 故曲线在点处的切线方程为，即； ……4分 ⑵由可得或，……5分 如下表所示，得 ‎1‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ ‎……………8分 ‎，。…………….10分 ‎18．解：（Ⅰ）（法一）取中点为，连接、，‎ ‎ 且，‎ ‎，则 且．[来源:学科网ZXXK]‎ 四边形为矩形， 且，‎ 且，‎ ‎，则． ……………………4分 平面，平面， ……………………5分 平面．‎ 法二四边形为直角梯形，四边形为矩形，‎ ‎，，‎ 又平面平面，且平面平面， ‎ 平面．‎ ‎……………………1分 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，‎ 所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．‎ 根据题意我们可得以下点的坐标：‎ ‎，，，，，，…………2分 则，．‎ 为平面的一个法向量．…………3分 又，‎ ‎∴ ……………………4分 ‎∵平面 ……………………5分 平面．‎ ‎（Ⅱ）设平面的一个法向量为，，，则 ， 取，得．……………8分 ‎，设直线与平面所成角为，则 ‎．……………………10分 所以 所以与平面所成角的余弦值为 ……………………12分 ‎19．解：（Ⅰ）依题意得，所以 所以抛物线方程为 ……………………4分 ‎（Ⅱ）联立方程，设，‎ 消去得 从而 ………………6分 有弦长公式得，……………………8分 设P(a，0)，P到直线AB的距离为d，则d＝＝，……..9分 又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，‎ ＝⇒|a－2|＝3⇒a＝5或a＝－1，……………..11分 故点P的坐标为(5，0)和(－1，0)．…………..12分 ‎20.（Ⅰ）证明：∵，且，‎ ‎∴为等边三角形 ‎∵为的中点 ∴， ……………………2分 又，且， ……………………3分 ‎∴平面．‎ ‎（Ⅱ）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）[来源:Zxxk.Com]‎ 则，，……………………4分 设，……………………5分 平面的法向量为，‎ ‎∵，，‎ 且，‎ 取，得 ……………………7分 平面的一个法向量为……………………8分[来源:学科网ZXXK]‎ 由题意得，……………………9分 解得或（舍去），……………………11分 ‎∴当的长为时，二面角的值为.……………………12分 设，则………………………7分 又，‎ ‎． ……9分 设存在点，则，，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ， ……10分 要使得(为常数)，只要，[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 从而，‎ 即 ‎ 由（1）得，‎ 代入（2）解得，从而， ‎ 故存在定点，使恒为定值． ……12分 ‎22解答： 解：（1）．‎ 由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．‎ ‎（2）令x+1．‎ 所以=．‎ 当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，‎ 又因为G（1）=﹣．‎ 所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．‎ 当m＞0时，．‎ 令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．‎ 因此函数G（x）在是增函数，在是减函数． ‎ 故函数G（x）的最大值为．‎ 令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=．‎ 又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．‎ 所以整数m的最小值为2． ‎