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南通、扬州、泰州三市2016届高三第二次调研测试
数学（I）
参考公式：锥体的体积，其中为锥体的底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
设复数满足(为虚数单位)，则复数的实部为 ▲ ．
设集合，，，则实数的值为 ▲ ．
下图是一个算法流程图，则输出的的值是 ▲ ．
为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如下表：
使用寿命
只数
5
23
44
25
3
根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是 ▲ ．
电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 ▲ ．
已知函数（）的图像如图所示，则的值是 ▲ ．
设函数（），当且仅当时，取得最大值，则正数的值为 ▲ ．
在等比数列中，，公比．若成等差数列，则的值是
▲ ．
在体积为的四面体中，平面，，，，则长度的所有值为 ▲ ．
在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数的值为 ▲ ．
已知是定义在上的偶函数，且对于任意的，满足，若当时，，则函数在区间上的零点个数为 ▲ ．
设实数满足，则的最小值是 ▲ ．
若存在，使得，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
在斜三角形中，．
（1）求的值；
（2）若，，求的周长．
如图，在正方体中，分别为棱的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形（），如图1所示，其中；
方案② 多边形为等腰梯形（），如图2所示，其中．
请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足．
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积为，求实数的值．
设函数，，其中是实数．
（1）若，解不等式；
（2）若，求关于的方程实根的个数．
设数列的各项均为正数，的前项和，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）等比数列的各项均为正数，，，且存在整数，使得．
（i）求数列公比的最小值（用表示）；
（ii）当时，，求数列的通项公式．
数学（II）（附加题）
21（B）．在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换作用下得到点，将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标．
21（C）．在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）与曲线
（为参数）相交于两点，求线段的长．
22．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，倍的奖励（），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为元．
（1）求概率的值；
（2）为使收益的数学期望不小于0元，求的最小值．
（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）
23．设（），其中（）．当除以4的余数是（）时，数列的个数记为．
（1）当时，求的值；
（2）求关于的表达式，并化简．
参考答案
一、 填空题：（本大题共14题，每小题5分，共计70分．
1. 2．1 3. 17 4. 1400 5. 6. 7. 2 8. 9. 10. 4 11. 7 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15.（本小题满分14分）
解：（1）因为，即，
因为在斜三角形中，，
因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）在中，，则，
由正弦定理，得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
故，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
．
所以的周长为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
16．（本小题满分14分）
证明：（1）在正方体中，因为分别为棱的中点，
所以．
又，故，
所以四边形为平行四边形．
从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
又平面平面，
所以平面；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）
连结，在正方形中，．又分别为棱的中点，故．所以． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
在正方体中，平面，
又平面，
所以． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
而平面，
所以平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又平面，
所以平面平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
17．（本小题满分14分）
解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为．
方案①设，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（当且仅当时，“=”成立）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
方案②设，则． ．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由得，（舍去）．．．．．．．．．．10分
因为，所以，列表：
+
0
-
极大值
所以当时，． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
因为，所以建苗圃时用方案②，且．
答：方案①，②苗圃的最大面积分别为，建苗圃时用方案②，且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）因为，而，
所以．
代入椭圆方程，得，① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又椭圆的离心率为，所以，② ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
由①②，得，
故椭圆的方程为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）设，
因为，所以．
因为，所以，
即
于是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
代入椭圆方程，得，
即，③．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
因为在椭圆上，所以． ④
因为直线的斜率之积为，即，结合②知． ⑤
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
将④⑤代入③，得，
解得． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
19．解：（1）时，，
由，得． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
此时，原不等式为，即，
解得或．
所以原不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由方程得，
． ①
由，得，所以，．
方程①两边平方，整理得．② ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
当时，由②得，所以原方程有唯一解，
当时，由②得判别式，
1）时，，方程②有两个相等的根，
所以原方程有唯一的解． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
2）且时，方程②整理为，
解得．
由于，所以，其中，即．
故原方程有两解． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
3）时，由2）知，即，故不是原方程的解．
而，故原方程有唯一解．
综上所述：当或时，原方程有唯一解；
当且时，原方程有两解． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
注：2）中，法2：，故方程②两实根均大于，所以原方程有两解．
20．（本小题满分16分）
证明：（1）因为，①
所以，②
① -②，得，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为数列的各项均为正数，所以．
从而，，
所以数列为等差数列． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）（1）①中，令，得，所以．
由得，，
所以． ③
由得，，即④．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当时，④恒成立．
当时，④两边取自然对数，整理得，．⑤
记，则．
记，则，
故为上增函数，所以，从而，
故为上减函数，从而的最大值为．
⑤中，，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
当时，同理有，
所以公比的最小值为（整数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
（2）依题意，，
由（2）知，，（整数）．
所以．
从而 ，
当时，，只能，此时，不符；
当时，，只能，此时，不符；
当时，，只能，此时，符合；
综上，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
21．【选做题】
A． （本小题满分10分）
证明：连结，因为，所以．
由圆知，所以．
从而，所以. ……………………………………………………6分
又因为为圆的切线，所以，
又因为，所以． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
B． （本小题满分10分）
解：设，
依题意，由，得． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
则．
记旋转矩阵，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
则，即，解得，
所以点的坐标为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
C．（本小题满分10分）
解：将直线的参数方程化为普通方程，得． ① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
将曲线的参数方程化为普通方程，得． ②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
由①②，得或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
所以，
从而． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
D． （本小题满分10分）
解：由柯西不等式，得． ．．．．．．．．．．．．．6分
因为，
所以．
所以，
所以的最大值为，
当且仅当等号成立． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
22．（本小题满分10分）
解：（1）事件“”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，
则． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）依题意，的可能值为，
且，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
结合（1）知，参加游戏者的收益的数学期望为
（元）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
为使收益的数学期望不小于0元，所以，即．
答：的最小值为110． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）当时，数列中有1个1或5个1，其余为0，所以． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）依题意，数列中有3个1，或7个1，或11个1，…，或个1 ，其余为0，
所以． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
同理，得．
因为，
所以．
又，
所以． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
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