上海市浦东新区2016届高三5月综合练习（三模）数学（理）试题 扫描版含答案.doc

浦东新区2016年高三综合练习 数学卷答案及评分参考细则（理合）‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1.‎ ‎2. 1 ‎ ‎3.___.6‎ ‎4. ．‎ ‎5.___‎ ‎6._______‎ ‎7.‎ ‎8. ＿＿‎ ‎9.‎ ‎10..‎ ‎11．_‎ ‎12.‎ 解答过程：当时，上半圆 当时，函数表示函数的周期为，函数的图像如下 ‎，由于的零点个数为 则直线与第个圆相切，圆心到直线的距离为 有 ‎13. ‎ ‎14.‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.‎ ‎15. A ‎ ‎16．‎ ‎17.B ‎18. B ‎ 解答：（1），显然，命题（1）错误 ‎（2）， 命题（2）正确 ‎（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，命题（3）错误 ‎（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，命题（4）错误 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎19.（本题满分12分）如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动. ‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：无论点在边的何处，都有.‎ ‎（1）∵平面，且四边形为矩形.‎ ‎∴，……………………（3分）‎ ‎∴……………………（6分）‎ ‎（2）∵平面，∴，又∵，且点是的中点，‎ ‎∴……………………（8分）‎ 又，，，∴平面，‎ 又平面，∴……………………（10分）‎ 由平面，又∵平面 ‎∴无论点在边的何处，都有成立.……………………（12分）‎ 注：(建立空间直角坐标系做，参照上面答案相应给分)‎ ‎20、（本题满分14分）‎ 如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块的一角开辟为游客体验活动区。‎ 已知，、的长度均大于米。设, ，且, 总长度为米。‎ ‎（1）当为何值时？游客体验活动区的面积最大，并求最大面积；‎ ‎（2）当为何值时？线段最小，并求最小值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）因为 , 且 ……………………………………2分 ‎ ‎ 所以 ……………………4分 当且仅当时，等号成立。‎ 所以 当米时， 平方米 ………………6分 ‎(2) 因为 …………………………8分 ‎ ‎ ‎ ……………………………………………10分 所以 当米，线段米 ，此时，米。……12分 答： （1）当米时，游客体验活动区的面积最大为平方米；‎ ‎（2）当米时，线段最小为…………………………14分 ‎21. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ ‎ 已知函数，‎ ‎ (1)上恒成立，求的取值范围.‎ ‎ (2)当时，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围.‎ 解：（1）在上恒成立，‎ 所以。 ……………………………………………………………………6分 ‎（2）当时，。‎ 原问题等价于在区间上恒成立。…………………………8分 当时，函数在区间上单调递增，所以。‎ ‎………………………………………………………………10分 故 综上.………………………………………………………………………………14分 ‎22．（满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）‎ 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆。已知椭圆，其左顶点为、右顶点为。‎ ‎（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；‎ ‎（2）设椭圆（），过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值； ‎ ‎（3）已知椭圆与椭圆（）是相似椭圆。椭圆上异于、的任意一点，求证：的垂心在椭圆上.‎ ‎（1）解：显然椭圆的方程为，由椭圆与相似易得：‎ A D O x y 当时；………………………………2分 当时，…………………………4分 所以或 …………………………………………4分 ‎（2）解：易得 所以、的方程分别为、‎ 依题意联立：‎ 又直线与椭圆相切则（又）即…………6分 依题意再联立：‎ 又直线与椭圆相切则（又）即………8分 故，‎ 即 当且仅当时取到等号，此时 所以当时取得最小值； …………………………………………10分 ‎（3）证明：显然椭圆：，椭圆。 ……………………11分 由椭圆上的任意一点于是 ① ………………12分 设的垂心的坐标为 由得 …………………………………………………………………13分 又 ……………………………………………14分 将代入得 ② ‎ 由①②得 …………………………………………………………15分 又代入（1）得即的垂心在椭圆上。…………16分 ‎23.（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）‎ 已知无穷数列满足（）．其中 均为非负实数且不同时为0。‎ ‎（1）若，且，求的值；‎ ‎（2）若，，求数列的前项和；‎ ‎（3）若，，且是单调递减数列，求实数的取值范围。‎ 解：（1）………………………………2分 ‎ 当时，解得 ‎ 当时，无解 所以，……………………………………………………………4分 ‎（2）若，。∴，………………5分 所以当为奇数时，；………………6分 当为偶数时，。………………………………7分 若时，，……………………………………………………8分 所以…………………………………………………10分 ‎（3）由题意，‎ 由，可得，解得 …………………………………11分 若数列是单调递减数列，则，可得 又有 ①‎ 因为，所以即 由①可知，‎ 所以 所以 ②‎ 所以对于任意自然数，恒成立 因为，由，解得………………………14分 下面证明：当时，数列是单调递减数列。‎ 当时，可得 ③‎ 由和，‎ 两式相减得 ……………………16分 因为成立，则有 当时，，即 ④………………17分 由③④可知，当时，恒有 ‎ 对于任意的自然数，恒成立。………………………18分