第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数（其中是虚数单位）是纯虚数，则复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3.已知三点不共线，若，则向量与的夹角为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角或钝角
4 .已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.已知圆过坐标原点，面积为，且与直线相切，则圆的方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6.已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是（ ）
A．27 B．16 C．9 D．3
7.一个空间几何体的三视图及尺寸如图1所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
8.运行如图2所示的程序框图，如果在区间内任意输入一个的值，则输出的值不小于常数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9.已知为正实数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件
10.在中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数，则，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知数列满足，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.二项式展开式各项系数和为 .
14.已知，且为锐角，则 .
15.已知实数满足条件，则的取值范围是 .
16.已知抛物线上一点，点是抛物线上的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知数列满足：，.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）
国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”. 根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’” 进行统计，得到如下列联表：
（1）请根据题目信息，将列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量，求的分布列和数学期望及方差.
19. （本小题满分12分）
如图3，在底面为菱形的四棱锥中，平面，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为1，求二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，圆，，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点在圆上，且轴，与在轴两侧，直线分别与轴交于点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数在点处的切线为.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且存在，使得成立，求的最小值.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图4，是边上的一点，内接于圆，且，是的中点，的延长线交于点，证明：
（1）是圆的切线；
（2）.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线（为参数），其中，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，射线，设射线与曲线交于点，当时，射线与曲线交于点，，；当时，射线与曲线交于点，.
（1）求曲线的普通方程；
（2）设直线（为参数，）与曲线交于点，若，求的面积.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）设为正实数，且，求证：.
云南师大附中2016届高考适应性月考卷（八）
理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
B
D
C
A
A
B
D
C
D
D
【解析】
1．由题意得，，，故选B．
2．由题意得，故复数的共轭复数是，故选B．
6．设正四面体的外接球、内切球半径分别为R，r，则．由题意，则外接球的体积是，故选A．
7．该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，故体积为，故选A．
8．由题意得 如图1所示，当时，，故
值不小于常数e的概率是，故选B．
9．令，则，在上为增函数，则，故选D．
10．在边AC上取点D使，则．设，则．在等腰三角形BCD中，DC边上的高为，，故选C．
11．，，∴函数的图象表示焦点在y轴上的双曲线的上支，由于双曲线的渐近线为，所以函数的图象上不同的两点连线的斜率范围为，故，故选D．
12．，，两式相减得，故数列的通项公式为当n为奇数时，可化为，，当时，有最大值，；当n为偶数时，可化为，，当时，有最小值15，，，，故选D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
32
【解析】
13．令，则展开式中各项系数和为．
14．，且为锐角，，，．
15．如图2，可行域为三角形，可看作可行域内的点与原点连线的斜率，则，．
16．设，，
：．∵点M在抛物线上，，．
，，，，
：
，∴直线AB恒过点，则点M到直线AB的距离的最大值为．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，
，①
，②
由①−②得：，
． ………………………………………………………………………（4分）
当时，也满足上式，
． ……………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及得，，， ………………………（7分）
，
， ………………………………………（8分）
．
以上两式相减得：
， …………………………………………………………………（11分）
． ………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男
生，40人为女生，据此列联表中的数据补充如下．
运动时间
性别
运动达人
非运动达人
合计
男生
36
24
60
女生
14
26
40
合计
50
50
100
由表中数据得的观测值，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关．
………………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为，故X ~，
X可取的值为0，1，2，3，
所以，，
，．
X的分布列为：
X
1
3
，． …………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图3，连接BD交AC于点O，连接OE，
∵点O，E分别为BD，PD的中点，．
又，，．
………………………………………………（4分）
（Ⅱ）解：
，． ………………………………（7分）
∵底面四边形为菱形，，
，．
如图3，以O为原点建立空间直角坐标系，，
则．
设平面PBC的法向量为，
，
．
，，．
又，，AC，，
，
∴平面PAC的法向量为，
，
由图可知二面角A−PC−B的平面角是锐角，
∴二面角A−PC−B的余弦值为． ……………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，，，．
∵点在椭圆上，
∴由椭圆的定义，得，
，，
故椭圆C的方程为． …………………………………………………（4分）
（Ⅱ）如图4所示，设，，且，．
由题意，得圆O：．
∵点E在椭圆C上，点F在圆O上，
即
，，
：，：，
∴直线与x轴的交点，直线与x轴的交点，
，，
，
故为定值． ……………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，
，
． ………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）可化为，
令，，使得，
则，
．
令，则，
在上为增函数．
又，
故存在唯一的使得，即．
当时，，
，在上为减函数；
当时，，
，在上为增函数．
，
．
．
的最小值为5． …………………………………………………（12分）
（评分说明：其他解法酌情给分．）
22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】
证明：（Ⅰ）如图5，连接CO与⊙O交于点G，连接GD．
是⊙O的直径，
，．
，
，即，
∴BC是⊙O的切线． …………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）如图5，过点D作AC的平行线交BF于H．
，，，
，．
∵E是CD的中点，，．
∵BC与⊙O切于点C，BDA为⊙O的割线，
∴由切割线定理，得，
． ………………………………………………（10分）
（评分说明：（Ⅰ）问用弦切角定理的逆定理直接证明不给满分．）
23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）∵曲线的参数方程为 (为参数)，且，
∴曲线的普通方程为，
而其极坐标方程为．
∵将射线l：代入曲线：，
得，即点P的极坐标为；
将射线l：代入曲线：，
得，即点Q的极坐标为．
又，即，或．
∵将射线l：代入曲线：，
得，即点P的极坐标为，
又，．
，，
∴曲线的普通方程为． ……………………………………………（5分）
（Ⅱ）∵直线的参数方程为 (t为参数，)，
∴直线的普通方程为，
而其极坐标方程为，
∴将直线：代入曲线：，
得，即．
∵将射线l：代入曲线：，
得，即，
∴设的面积为S，．
………………………………………………………………………………（10分）
（评分说明：其他解法酌情给分．）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（Ⅰ）解：由题意，得
所以在上是减函数，
在上是增函数，在上是增函数，
∴对于任意都有．
又∵不等式恒成立，即，
． ……………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）证明： ，
．
∵m，n，p，q为正实数，，
． ………………………………………………………（10分）
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