武昌区2016届高三年级五月调研考试
文科数学试题及参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则集合的子集共有（ C ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
2．若复数是实数，则实数( B )
A．1 B． C． D．
3．若变量x，y满足约束条件则的最大值是( C )
A． B．0 C． D．
4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D )
A． B． C． D．
5．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为( B )
A． B． C． D．
6．已知，，则( A )
k=k+2
输出k
结束
开始
S=0，k=0
是
否
A． B．1 C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，
则判断框内可填入的条件是( B )
A．
B．
C．
D．
8．设，，，则( C )
A． B． C． D．
9．下面是关于公差的等差数列的四个命题：
p1：数列是递增数列； p2：数列是递增数列；
2
4
5
3
正视图
侧视图
俯视图
p3：数列是递增数列； p4：数列是递增数列．
其中的真命题为( D )
A．， B．，
C．， D．，
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
表面积为( B)
A．54
B．60
C．66
D．72
11．动点A(x，y)在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点A的坐标是，则当时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是( D )
A． B． C． D．和
12．已知椭圆Γ：的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与Γ相交于A，B两点．若，则( B )
A．1 B． C． D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知点，线段PQ的中点M的坐标为．若向量与向量a(λ，1)共线，则λ ．
答案：
14．已知数列{an}是等差数列，若，，构成公比为q的等比数列，则 ．
答案：1
15．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上．若，
，则该球的体积等于 ．
答案：
16．函数在上的最大值为 ．
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，，求a，c．
解：（Ⅰ）由bsinA＝acosB及正弦定理，得sinBsinA＝sinAcosB．
在△ABC中，sinA≠0，
∴sinB＝cosB，∴tanB＝．
∵0＜B＜π，∴B＝．……………………………………………………………6分
（Ⅱ）由sinC＝2sinA及正弦定理，得c＝2a． ①
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得
32＝a2＋c2－2accos，即a2＋c2－ac＝9． ②
解①②，得a＝，c＝2．……………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表：
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
1 40
2 44
3 40
4 41
5 33
6 40
7 45
8 42
9 43
10 36
11 31
12 38
13 39
14 43
15 45
16 39
17 38
18 36
19 27
20 43
21 41
22 37
23 34
24 42
25 37
26 44
27 42
28 34
29 39
30 43
31 38
32 42
33 53
34 37
35 49
36 39
（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值和方差；
（Ⅲ）求这36名工人中年龄在内的人数所占的百分比．
解：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．
由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34，
对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得＝＝40，
s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝．…………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），得＝40，s＝，∴－s＝36，＋s＝43，
由表可知，这36名工人中年龄在(－s，＋s)内共有23人，所占的百分比为×100﹪≈63.89﹪．…………………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
如图，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点，Q为PA的中点，G为的重心，AB是圆O的直径，且．
（Ⅰ）求证：平面PBC；
P
Q
A
B
C
O
G
M
（Ⅱ）求G到平面PAC的距离．
解：（Ⅰ）如图，连结OG并延长交AC于M，连结QM，QO．
∵G为△AOC的重心，∴M为AC的中点．
∵O为AB的中点，∴OM∥BC．
∵OM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴OM∥平面PBC．
同理QM∥平面PBC．
又OM⊂平面QMO，QM⊂平面QMO，OM∩QM＝M，
∴平面QMO∥平面PBC．
∵QG⊂平面QMO，
∴QG∥平面PBC．…………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．
由（Ⅰ），知OM∥BC，∴OM⊥AC．
∵PA⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，∴PA⊥OM．
又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，
∴OM⊥平面PAC，∴GM就是G到平面PAC的距离．
由已知可得，OA＝OC＝AC＝1，
∴△AOC为正三角形，∴OM＝．
又G为△AOC的重心，∴GM＝OM＝．
故G到平面PAC的距离为．…………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，点，直线：．设圆C的半径为1，圆心在上．
（Ⅰ）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（Ⅱ）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：（Ⅰ）由题设，圆心C是直线y＝2x－4与直线y＝x－1的交点，
由解得C(3，2)，于是切线的斜率必存在．
设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，
由题意，＝1，解得k＝0，或k＝－．
故所求切线方程为y＝3，或y＝－x＋3，即y＝3，或3x＋4y－12＝0．……4分
（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线y＝2x－4上，
∴圆C的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1．
设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，得＝2，
化简，得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
∴点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，
∴圆C和圆D有公共点，则2－1≤|CD|≤2＋1，
∴1≤≤3，即1≤≤3．
由5a2－12a＋8≥0，得x∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤．
故圆心C的横坐标a的取值范围为[0，]．…………………………………12分
21．（本小题满分12分）
已知函数（k为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设，其中为的导函数．证明：，．
解：（Ⅰ）由f(x)＝，得f ′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
由已知，得f ′(1)＝＝0，∴k＝1．……………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得g(x)＝(x2＋x)·＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．
设h(x)＝1－x－xlnx，则h′(x)＝－lnx－2，x∈(0，＋∞)．
令h′(x)＝0，得x＝e－2．
当0＜x＜e－2时，h′(x)＞0，∴h(x)在(0，e－2)上是增函数；
当x＞e－2时，h′(x)＜0，∴h(x)在(e－2，＋∞)上是减函数．
故h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，即h(x)≤1＋e－2．
设φ(x)＝ex－(x＋1)，则φ′(x)＝ex－1＞0，x∈(0，＋∞)，
∴φ(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴φ(x)＞φ(0)＝0，即ex－(x＋1)＞0，∴0＜＜1．
∴g(x)＝h(x)＜1＋e－2．
因此，对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2．……………………………………………12分
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
A
B
C
D
E
O
O′
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求线段AE的长．
解：（Ⅰ）∵AC切⊙O′于A，∴∠CAB＝∠ADB，
同理∠ACB＝∠DAB，∴△ACB∽△DAB，
∴＝，即AC·BD＝AB·AD．
∵AC＝BD＝3，∴AB·AD＝9．…………………………………………………5分
（Ⅱ）∵AD切⊙O于A，∴∠AED＝∠BAD，
又∠ADE＝∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴＝，即AE·BD＝AB·AD．
由（Ⅰ）可知，AC·BD＝AB·AD，
∴AE＝AC＝3．……………………………………………………………………10分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；
（Ⅱ）若P是直线上的一点，Q是曲线C上的一点，当取得最小值时，求P的直角坐标．
解：（Ⅰ）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，从而有x2＋y2＝2x，
∴(x－)2＋y2＝3．
∴曲线C是圆心为(，0)，半径为的圆．…………………………………5分
（Ⅱ）由题设条件知，|PQ|＋|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，
即|PQ|≥|PC|－，∴|PQ|min＝|PC|min－．
设P(－t，－5＋t)，又C(，0)，
则|PC|＝＝＝．
当t＝1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，
此时，点P的直角坐标为(－，－)．………………………………………10分
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，，函数的最小值为2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：与不可能同时成立．
解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，
∴f(x)＝|x－a|＋|x＋b|≥|(x－a)－(x＋b)|＝|－a－b|＝|a＋b|＝a＋b，
∴f(x)min＝a＋b．
由题设条件知f(x)min＝2，
∴a＋b＝2．…………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2≤a＋b＝2，∴ab≤1．
假设a2＋a＞2与b2＋b＞2同时成立，
则由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．
同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．
故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分
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